Страница 105 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

28.34 [691] Определите силу сопротивления, преодолеваемую резцом станка, если на пути $0,5 \text{ м}$ была совершена работа $1 \text{ кДж}$.

Дано:

$s = 0,5 \text{ м}$

$A = 1 \text{ кДж}$

$A = 1 \text{ кДж} = 1 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 1000 \text{ Дж}$

Найти:

$F_{сопр}$ - ?

Решение:

Механическая работа $A$ определяется как произведение силы $F$ на путь $s$, пройденный телом под действием этой силы, если направление силы совпадает с направлением перемещения.

$A = F \cdot s$

В данном случае совершается работа по преодолению силы сопротивления $F_{сопр}$. Это означает, что сила, которую прикладывает станок к резцу, по своему модулю равна силе сопротивления (при условии, что резец движется равномерно, то есть без ускорения).

Следовательно, мы можем использовать ту же формулу, подставив в нее силу сопротивления:

$A = F_{сопр} \cdot s$

Чтобы найти силу сопротивления, выразим ее из этой формулы:

$F_{сопр} = \frac{A}{s}$

Подставим числовые значения величин, предварительно переведя работу в систему СИ (Джоули):

$F_{сопр} = \frac{1000 \text{ Дж}}{0,5 \text{ м}} = 2000 \text{ Н}$

Полученное значение можно также выразить в килоньютонах: $2000 \text{ Н} = 2 \text{ кН}$.

Ответ: $2000 \text{ Н}$.

28.35 [692] При чистке пылесосом напольного ковра человек, продвигаясь равномерно вперёд, прикладывает силу 4,9 Н вдоль трубки пылесоса, которую держит под углом $45^\circ$ к полу. Какую работу по преодолению трения надо совершить, чтобы очистить ковёр в помещении шириной 1,5 м и длиной 10 м, если ширина щётки равна 30 см? Какой массы груз надо поднять на высоту 1 м, чтобы совершить такую же работу?

Дано:

Сила, прикладываемая человеком, $F = 4,9$ Н
Угол наклона трубки к полу, $\alpha = 45^\circ$
Ширина ковра, $W = 1,5$ м
Длина ковра, $L = 10$ м
Ширина щётки, $w = 30$ см = $0,3$ м
Высота подъёма груза, $h = 1$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Работу по преодолению трения, $A_{тр}$ - ?
Массу груза, $m$ - ?

Решение:

Какую работу по преодолению трения надо совершить, чтобы очистить ковёр?

Работа по преодолению силы трения определяется формулой $A_{тр} = F_{тр} \cdot S$, где $F_{тр}$ – сила трения, а $S$ – общий путь, пройденный щёткой пылесоса.

Поскольку пылесос продвигается равномерно, сила тяги (горизонтальная составляющая приложенной силы $F_x$) уравновешивает силу трения $F_{тр}$.

Горизонтальная составляющая силы $F$ равна: $F_x = F \cdot \cos(\alpha)$

Следовательно, сила трения равна: $F_{тр} = F_x = 4,9 \cdot \cos(45^\circ) = 4,9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ Н.

Теперь найдём общий путь $S$, который проходит щётка для очистки всего ковра. Человек проходит по длине ковра $L$ несколько раз. Количество проходов $n$ равно отношению ширины ковра $W$ к ширине щётки $w$: $n = \frac{W}{w} = \frac{1,5 \text{ м}}{0,3 \text{ м}} = 5$ проходов.

Общий путь равен произведению количества проходов на длину ковра: $S = n \cdot L = 5 \cdot 10 \text{ м} = 50$ м.

Теперь можем вычислить работу по преодолению трения: $A_{тр} = F_{тр} \cdot S = \left(4,9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{ Н} \cdot 50 \text{ м} = 122,5 \sqrt{2} \text{ Дж} \approx 173,2$ Дж.

Ответ: работа по преодолению трения составляет примерно 173 Дж.

Какой массы груз надо поднять на высоту 1 м, чтобы совершить такую же работу?

Работа, совершаемая при поднятии груза массой $m$ на высоту $h$, равна изменению его потенциальной энергии: $A_{подъёма} = m \cdot g \cdot h$

По условию, эта работа равна работе по преодолению трения: $A_{подъёма} = A_{тр}$

Отсюда можем выразить массу $m$: $m \cdot g \cdot h = A_{тр} \implies m = \frac{A_{тр}}{g \cdot h}$

Подставим числовые значения: $m = \frac{122,5 \sqrt{2} \text{ Дж}}{9,8 \text{ м/с²} \cdot 1 \text{ м}} = 12,5 \sqrt{2} \text{ кг} \approx 17,7$ кг.

Ответ: чтобы совершить такую же работу, надо поднять груз массой примерно 17,7 кг.

28.36 [н] Можно ли утверждать, что работа силы трения (подобно работе силы тяжести) равна нулю при движении тела по замкнутой траектории?

Нет, такое утверждение неверно. Работа силы трения при движении тела по замкнутой траектории не равна нулю, в отличие от работы силы тяжести. Это связано с фундаментальным различием между этими двумя силами.

Сила тяжести является консервативной силой. Это означает, что работа, совершаемая этой силой, зависит только от начального и конечного положения тела в пространстве, но не от формы траектории между этими точками. Работа консервативной силы по любой замкнутой траектории (когда начальная и конечная точки совпадают) всегда равна нулю. Работа силы тяжести выражается через изменение потенциальной энергии: $A_{тяж} = -\Delta E_p = -(E_{p2} - E_{p1})$. Для замкнутой траектории $E_{p1} = E_{p2}$, следовательно, $A_{тяж} = 0$.

Сила трения, напротив, является неконсервативной (диссипативной) силой. Работа этой силы зависит от пройденного пути. Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения тела, то есть против вектора скорости $\vec{v}$ и вектора элементарного перемещения $d\vec{s}$.

Работа силы трения на элементарном участке пути $d\vec{s}$ равна: $dA_{тр} = \vec{F}_{тр} \cdot d\vec{s} = |\vec{F}_{тр}| \cdot |d\vec{s}| \cdot \cos(\alpha)$ Поскольку угол $\alpha$ между вектором силы трения и вектором перемещения всегда равен $180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$, то элементарная работа всегда отрицательна: $dA_{тр} = -F_{тр}ds$

Полная работа силы трения по замкнутой траектории — это интеграл от элементарной работы по всей длине траектории $S$: $A_{тр} = \oint dA_{тр} = \oint (-F_{тр}ds) = -\int_0^S F_{тр}ds$ Так как величина силы трения $F_{тр}$ и элемент пути $ds$ всегда являются неотрицательными величинами, их произведение также неотрицательно. Следовательно, интеграл $\int_0^S F_{тр}ds$ будет положительным, если тело движется по пути ненулевой длины и на него действует сила трения. Это означает, что полная работа силы трения $A_{тр}$ на замкнутой траектории всегда будет отрицательной.

Отрицательное значение работы силы трения означает, что механическая энергия системы не сохраняется, а переходит в другие виды энергии, в основном во внутреннюю (тепловую), вызывая нагрев трущихся поверхностей.

Ответ: Нет, утверждать, что работа силы трения (подобно работе силы тяжести) равна нулю при движении тела по замкнутой траектории, нельзя. Работа силы трения на замкнутой траектории всегда отрицательна (при наличии трения и движения), так как сила трения является неконсервативной и всегда направлена против перемещения.

28.37 [н] Правильно решив задачу на определение работы силы трения, ученик так озвучил ответ: «Проекция равна минус 20 кДж». Что не понравилось учителю в ответе ученика?

Решение

Учителю не понравилась фраза ученика, потому что она содержит грубую физическую ошибку. Ошибка заключается в том, что ученик применил термин «проекция» к физической величине «работа».

Работа, обозначаемая как $A$, является скалярной величиной. Это означает, что она характеризуется только числовым значением (которое может быть положительным, отрицательным или нулевым) и единицей измерения (в данном случае, килоджоулями), но не имеет направления в пространстве. Работа определяется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ и вектора перемещения $\vec{s}$: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$.

Понятие «проекция» применимо только к векторным величинам, таким как сила, скорость или перемещение. Вектор имеет и величину, и направление, и его можно представить в виде составляющих (проекций) по осям координат.

Таким образом, говорить о «проекции работы» некорректно с точки зрения физики. Ученик, вероятно, правильно вычислил значение работы силы трения ($A_{тр} = -20$ кДж), так как эта работа обычно отрицательна, но неверно сформулировал ответ, перепутав свойства скалярных и векторных величин. Правильно было бы сказать: «Работа силы трения равна минус 20 кДж».

Ответ: Учителю не понравилось то, что ученик назвал работу «проекцией». Работа является скалярной величиной и не имеет проекций, в отличие от векторных величин (например, силы), для которых понятие проекции имеет смысл.

28.38 [н] График работы силы трения на трёх различных горизонтальных участках дороги, по которой скользили санки, представлен на рисунке IV-8. На каком участке пути санки скользили по льду? по асфальту? по снегу?

$A$

$0$

$s$

a

b

c

Рис. IV-8

Решение

На представленном графике показана зависимость работы силы трения $A$ от пройденного санками пути $s$. Работа силы трения вычисляется по формуле $A = F_{тр} \cdot s \cdot \cos(\alpha)$. Сила трения скольжения $F_{тр}$ всегда направлена противоположно вектору перемещения, поэтому угол $\alpha$ между ними равен $180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$. Таким образом, работа силы трения всегда отрицательна и равна $A_{тр} = -F_{тр} \cdot s$.

Для тела, скользящего по горизонтальной поверхности, сила трения равна $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения скольжения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры, равная силе тяжести $mg$. Следовательно, $F_{тр} = \mu mg$.

Подставив это выражение в формулу для работы, получим зависимость работы силы трения от пути: $A_{тр}(s) = -(\mu m g)s$.

Эта зависимость является линейной. График $A(s)$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, с угловым коэффициентом $k = \frac{\Delta A}{\Delta s} = -\mu m g$. Модуль углового коэффициента (крутизна наклона графика) равен $|k| = \mu m g$. Поскольку масса санок $m$ и ускорение свободного падения $g$ постоянны, модуль наклона графика прямо пропорционален коэффициенту трения $\mu$. Чем больше коэффициент трения, тем круче наклон графика.

Сравним коэффициенты трения для указанных поверхностей. Наименьший коэффициент трения у льда, затем идет снег, и наибольший — у асфальта:

$\mu_{лед} < \mu_{снег} < \mu_{асфальт}$

Теперь проанализируем наклоны участков графика. Участок a имеет самый пологий наклон, участок b — средний, а участок c — самый крутой. Это означает, что для соответствующих коэффициентов трения выполняется соотношение:

$\mu_a < \mu_b < \mu_c$

Сопоставляя эти два неравенства, мы можем однозначно определить, по какой поверхности санки скользили на каждом из участков.

По льду

Движению по льду соответствует участок с наименьшим коэффициентом трения ($\mu_{лед}$). На графике это участок a, так как он имеет наименьший по модулю наклон.

Ответ: по льду санки скользили на участке a.

По асфальту

Движению по асфальту соответствует участок с наибольшим коэффициентом трения ($\mu_{асфальт}$). На графике это участок c, так как он имеет наибольший по модулю наклон.

Ответ: по асфальту санки скользили на участке c.

По снегу

Движению по снегу соответствует участок со средним значением коэффициента трения ($\mu_{снег}$). На графике это участок b, так как его наклон имеет промежуточное значение.

Ответ: по снегу санки скользили на участке b.

28.39* [693*] Легкий игрушечный парашют с грузом массой $30 \, \text{г}$, спускаясь равномерно и прямолинейно с высоты $3 \, \text{м}$, до падения на поверхность земли преодолел путь $5 \, \text{м}$ под действием ветра, дующего в горизонтальном направлении. Определите силу, с которой ветер действует на парашют, работу этой силы, работу силы тяжести, а также работу силы сопротивления воздуха, действующей на внутреннюю поверхность парашюта.

Рис. IV-8

Дано:

Масса груза, $m = 30$ г
Высота спуска, $h = 3$ м
Пройденный путь, $s = 5$ м
Движение равномерное и прямолинейное ($v = \text{const}$)
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

$m = 30 \text{ г} = 0.03 \text{ кг}$

Найти:

$F_{ветра}$ - сила, с которой ветер действует на парашют
$A_{ветра}$ - работа силы ветра
$A_{тяж}$ - работа силы тяжести
$A_{сопр}$ - работа силы сопротивления воздуха

Решение:

Поскольку парашют спускается равномерно и прямолинейно, его ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на систему "парашют с грузом", равна нулю:

$\vec{F}_{тяж} + \vec{F}_{ветра} + \vec{F}_{сопр} = 0$

Парашют движется по прямой. Его перемещение можно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальное перемещение (снижение по высоте) равно $h = 3$ м. Полный пройденный путь $s = 5$ м. Горизонтальное перемещение $x$ можно найти по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный путем, высотой и горизонтальным смещением:

$s^2 = h^2 + x^2$

$x = \sqrt{s^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ м.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально в направлении ветра. Запишем условие равновесия в проекциях на эти оси. На парашют действуют: сила тяжести $\vec{F}_{тяж}$ (вниз), сила ветра $\vec{F}_{ветра}$ (горизонтально) и сила сопротивления воздуха $\vec{F}_{сопр}$ (против направления движения).

Пусть $\alpha$ - угол между траекторией и вертикалью. Тогда из геометрии движения имеем $\cos\alpha = \frac{h}{s}$ и $\sin\alpha = \frac{x}{s}$.

Уравнения равновесия сил в проекциях на оси:

На ось OX: $F_{ветра} - F_{сопр} \sin\alpha = 0$

На ось OY: $F_{сопр} \cos\alpha - mg = 0$

Силу, с которой ветер действует на парашют

Из уравнения для оси OY выразим силу сопротивления: $F_{сопр} = \frac{mg}{\cos\alpha}$.

Подставим это выражение в уравнение для оси OX:

$F_{ветра} = F_{сопр} \sin\alpha = \frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = mg \tan\alpha$

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению горизонтального перемещения $x$ к вертикальному $h$: $\tan\alpha = \frac{x}{h}$.

$F_{ветра} = mg \frac{x}{h} = 0.03 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{4 \text{ м}}{3 \text{ м}} = 0.392$ Н.

Ответ: $F_{ветра} \approx 0.39$ Н.

Работу этой силы

Работа силы определяется по формуле $A = F \cdot d \cdot \cos\beta$, где $d$ - перемещение, а $\beta$ - угол между силой и перемещением. Сила ветра горизонтальна, и горизонтальное перемещение равно $x$. Работа силы ветра положительна.

$A_{ветра} = F_{ветра} \cdot x = 0.392 \text{ Н} \cdot 4 \text{ м} = 1.568$ Дж.

Ответ: $A_{ветра} \approx 1.6$ Дж.

Работу силы тяжести

Сила тяжести направлена вертикально вниз, вертикальное перемещение также направлено вниз и равно $h$. Работа силы тяжести положительна.

$A_{тяж} = F_{тяж} \cdot h = mgh = 0.03 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \text{ м} = 0.882$ Дж.

Ответ: $A_{тяж} \approx 0.88$ Дж.

Работу силы сопротивления воздуха, действующей на внутреннюю поверхность парашюта

Так как движение равномерное, то кинетическая энергия системы не изменяется ($\Delta E_k = 0$). Согласно теореме о кинетической энергии, полная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.

$A_{полная} = A_{тяж} + A_{ветра} + A_{сопр} = \Delta E_k = 0$

Отсюда можем найти работу силы сопротивления воздуха:

$A_{сопр} = -(A_{тяж} + A_{ветра}) = -(0.882 \text{ Дж} + 1.568 \text{ Дж}) = -2.45$ Дж.

Работа силы сопротивления отрицательна, так как эта сила всегда направлена против вектора скорости (перемещения).

Ответ: $A_{сопр} = -2.45$ Дж.

28.40 [694] Двое рабочих передвигают равномерно по полу ящик весом 900 Н. При этом один толкает его сзади с силой 300 Н, направленной под углом 30° к полу, а другой тянет его за верёвку с такой же по модулю силой, направленной горизонтально. Какую работу совершат рабочие, передвигая равномерно ящик на расстояние 20 м? Чему равен коэффициент трения?

Дано:

Вес ящика, $P = 900$ Н
Сила, прикладываемая первым рабочим, $F_1 = 300$ Н
Угол приложения силы первого рабочего, $\alpha = 30°$
Сила, прикладываемая вторым рабочим, $F_2 = 300$ Н
Расстояние, на которое передвигают ящик, $s = 20$ м
Движение равномерное, следовательно, ускорение $a = 0$ м/с$^2$

Найти:

1. Общую работу рабочих, $A_{общ}$
2. Коэффициент трения, $\mu$

Решение:

Какую работу совершат рабочие, передвигая равномерно ящик на расстояние 20 м?

Общая работа, совершаемая рабочими, равна сумме работ, совершённых каждым из них по отдельности: $A_{общ} = A_1 + A_2$. Работа вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\theta$, где $F$ — модуль силы, $s$ — модуль перемещения, а $\theta$ — угол между направлением силы и направлением перемещения.

Первый рабочий толкает ящик с силой $F_1$ под углом $\alpha = 30°$ к горизонтали. Перемещение происходит горизонтально, поэтому угол между силой $F_1$ и перемещением $s$ равен $\alpha$. Работа первого рабочего: $A_1 = F_1 s \cos\alpha = 300 \text{ Н} \cdot 20 \text{ м} \cdot \cos(30°) = 6000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3000\sqrt{3}$ Дж.

Второй рабочий тянет ящик горизонтально, поэтому угол между силой $F_2$ и перемещением $s$ равен $0°$. Работа второго рабочего: $A_2 = F_2 s \cos(0°) = 300 \text{ Н} \cdot 20 \text{ м} \cdot 1 = 6000$ Дж.

Суммарная работа, совершённая обоими рабочими: $A_{общ} = A_1 + A_2 = 3000\sqrt{3} + 6000 \text{ Дж}$. Вычислим числовое значение: $A_{общ} \approx 3000 \cdot 1.732 + 6000 = 5196 + 6000 = 11196$ Дж. Округляя, получаем $A_{общ} \approx 11.2$ кДж.

Ответ: $A_{общ} = 6000 + 3000\sqrt{3} \text{ Дж} \approx 11.2 \text{ кДж}.$

Чему равен коэффициент трения?

По условию, ящик движется равномерно, значит, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к ящику, равна нулю. Запишем это условие в проекциях на горизонтальную (ось OX) и вертикальную (ось OY) оси.

На ящик действуют: сила тяжести $P$, сила нормальной реакции опоры $N$, силы рабочих $F_1$ и $F_2$, а также сила трения скольжения $F_{тр}$.

Проекция на ось OY (направлена вертикально вверх): $N - P - F_{1y} = 0$. Вертикальная составляющая силы $F_1$ направлена вниз, так как рабочий толкает ящик, и равна $F_{1y} = F_1 \sin\alpha$. Тогда сила нормальной реакции опоры: $N = P + F_1 \sin\alpha = 900 \text{ Н} + 300 \text{ Н} \cdot \sin(30°) = 900 + 300 \cdot 0.5 = 1050$ Н.

Проекция на ось OX (направлена по движению): $F_{1x} + F_{2x} - F_{тр} = 0$. Горизонтальные составляющие сил рабочих $F_{1x} = F_1 \cos\alpha$ и $F_{2x} = F_2$. Сила трения $F_{тр}$ направлена против движения. $F_{тр} = F_1 \cos\alpha + F_2 = 300 \text{ Н} \cdot \cos(30°) + 300 \text{ Н} = 300 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 300 = 150\sqrt{3} + 300$ Н. $F_{тр} \approx 150 \cdot 1.732 + 300 = 259.8 + 300 = 559.8$ Н.

Коэффициент трения скольжения $\mu$ связан с силой трения и силой нормальной реакции опоры соотношением $F_{тр} = \mu N$. Отсюда: $\mu = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{150\sqrt{3} + 300}{1050} = \frac{150(\sqrt{3} + 2)}{1050} = \frac{\sqrt{3} + 2}{7}$. Вычислим числовое значение: $\mu \approx \frac{559.8}{1050} \approx 0.533$.

Ответ: $\mu = \frac{\sqrt{3} + 2}{7} \approx 0.53.$

28.41* [695*] Определите работу силы трения, если конькобежец массой 50 кг при скольжении по инерции до остановки за 10 с проезжает путь 10 м, двигаясь с постоянным ускорением.

Дано:

Масса конькобежца, $m = 50$ кг

Время движения до остановки, $t = 10$ с

Пройденный путь, $s = 10$ м

Конечная скорость, $v = 0$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу силы трения, $A_{тр}$

Решение:

Работу силы трения можно определить, используя теорему об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A_{полная} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Поскольку конькобежец скользит по инерции на горизонтальной поверхности, единственной силой, совершающей работу, является сила трения. Следовательно, полная работа равна работе силы трения, $A_{полная} = A_{тр}$.

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Начальная кинетическая энергия тела равна $E_{k1} = \frac{mv_0^2}{2}$, где $v_0$ — начальная скорость.

Конечная кинетическая энергия равна $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$. Так как конькобежец останавливается, его конечная скорость $v=0$, следовательно, $E_{k2} = 0$.

Таким образом, формула для работы силы трения принимает вид:

$A_{тр} = 0 - E_{k1} = -\frac{mv_0^2}{2}$

Для вычисления работы необходимо найти начальную скорость $v_0$. Движение конькобежца является равнозамедленным (с постоянным ускорением). Для такого движения пройденный путь $s$ связан с начальной ($v_0$), конечной ($v$) скоростями и временем ($t$) соотношением:

$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Подставим известные значения ($s=10$ м, $v=0$ м/с, $t=10$ с) и выразим из формулы начальную скорость $v_0$:

$10 \text{ м} = \frac{v_0 + 0}{2} \cdot 10 \text{ с}$

$10 = v_0 \cdot \frac{10}{2}$

$10 = v_0 \cdot 5$

$v_0 = \frac{10}{5} = 2$ м/с

Теперь, зная начальную скорость, можем вычислить работу силы трения:

$A_{тр} = -\frac{mv_0^2}{2} = -\frac{50 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{2} = -\frac{50 \cdot 4}{2} = -\frac{200}{2} = -100$ Дж

Работа силы трения отрицательна, так как вектор силы трения направлен противоположно вектору перемещения.

Ответ:

работа силы трения равна -100 Дж.