Страница 104 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

28.25 [н] Котёнок массой 1,5 кг запрыгнул на шкаф высотой 120 см, а затем спрыгнул на стул высотой 50 см. Чему равна работа силы тяжести при движении котёнка вверх? вниз? Какую полную работу совершило поле тяготения?

Дано:

$m = 1,5$ кг
$h_1 = 120 \text{ см} = 1,2 \text{ м}$
$h_2 = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$A_{вверх}$ - ?
$A_{вниз}$ - ?
$A_{полн}$ - ?

Решение:

при движении котенка вверх

Работа силы тяжести вычисляется по формуле $A = F_т s \cos\alpha$, где $F_т = mg$ – сила тяжести, $s$ – перемещение, а $\alpha$ – угол между вектором силы и вектором перемещения. Когда котенок запрыгивает на шкаф, он перемещается вверх на высоту $h_1$. Сила тяжести направлена вниз. Таким образом, угол между силой и перемещением составляет $180^\circ$.

Работа силы тяжести в этом случае отрицательна:

$A_{вверх} = mgh_1 \cos(180^\circ) = -mgh_1$

Подставим числовые значения:

$A_{вверх} = -1,5 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1,2 \text{ м} = -17,64 \text{ Дж}$

Ответ: работа силы тяжести при движении вверх равна -17,64 Дж.

вниз

Когда котенок спрыгивает со шкафа (высота $h_1$) на стул (высота $h_2$), он перемещается вниз. Величина вертикального перемещения равна $s = h_1 - h_2$. Сила тяжести также направлена вниз, поэтому угол между силой и перемещением $\alpha = 0^\circ$.

Работа силы тяжести в этом случае положительна:

$A_{вниз} = mg(h_1 - h_2) \cos(0^\circ) = mg(h_1 - h_2)$

Подставим числовые значения:

$A_{вниз} = 1,5 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1,2 \text{ м} - 0,5 \text{ м}) = 14,7 \text{ Н} \cdot 0,7 \text{ м} = 10,29 \text{ Дж}$

Ответ: работа силы тяжести при движении вниз равна 10,29 Дж.

Какую полную работу совершило поле тяготения?

Полная работа, совершенная силой тяжести (полем тяготения), является суммой работ на отдельных участках траектории. Также, поскольку сила тяжести является консервативной, ее работа зависит только от начального и конечного положений тела.

Способ 1: Суммирование работ

Полная работа равна сумме работы при движении вверх и работы при движении вниз.

$A_{полн} = A_{вверх} + A_{вниз} = -17,64 \text{ Дж} + 10,29 \text{ Дж} = -7,35 \text{ Дж}$

Способ 2: Через разность высот

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком: $A = -(E_{p,кон} - E_{p,нач})$. Начальное положение котенка — пол (высота $h_{нач} = 0$), конечное — стул (высота $h_{кон} = h_2 = 0,5$ м).

$A_{полн} = -(mgh_{кон} - mgh_{нач}) = -(mgh_2 - 0) = -mgh_2$

$A_{полн} = -1,5 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,5 \text{ м} = -7,35 \text{ Дж}$

Ответ: полная работа, совершенная полем тяготения, равна -7,35 Дж.

28.26 [687] Тело массой $10 \text{ кг}$ перенесли в горизонтальной плоскости на расстояние $5 \text{ м}$, а затем подняли на высоту $5 \text{ м}$. Чему равна работа силы тяжести на каждом этапе движения?

Дано:

Все исходные данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$A_{g1}$ — работа силы тяжести на первом этапе
$A_{g2}$ — работа силы тяжести на втором этапе

Решение:

Работа постоянной силы вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

где $F$ — это модуль силы, $s$ — модуль перемещения тела, а $\alpha$ — угол между вектором силы $\vec{F}$ и вектором перемещения $\vec{s}$.

Сила тяжести, действующая на тело, определяется как $F_g = mg$ и всегда направлена вертикально вниз. Для расчетов примем значение ускорения свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Работа силы тяжести на первом этапе движения

На первом этапе тело перемещается в горизонтальной плоскости на расстояние $s_1 = 5$ м. Вектор перемещения $\vec{s_1}$ направлен горизонтально. Сила тяжести $\vec{F_g}$ направлена вертикально вниз. Таким образом, угол $\alpha_1$ между вектором силы тяжести и вектором перемещения составляет $90^\circ$.

Работа силы тяжести на этом этапе равна:

$A_{g1} = F_g \cdot s_1 \cdot \cos(\alpha_1) = mgs_1\cos(90^\circ)$

Так как косинус угла $90^\circ$ равен нулю ($\cos(90^\circ) = 0$), то и работа силы тяжести равна нулю.

$A_{g1} = 10 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0 = 0$ Дж.

Ответ: работа силы тяжести при перемещении в горизонтальной плоскости равна 0 Дж.

Работа силы тяжести на втором этапе движения

На втором этапе тело поднимают на высоту $h = 5$ м. Вектор перемещения $\vec{h}$ направлен вертикально вверх. Сила тяжести $\vec{F_g}$ по-прежнему направлена вертикально вниз. Следовательно, угол $\alpha_2$ между вектором силы и вектором перемещения составляет $180^\circ$.

Работа силы тяжести на этом этапе равна:

$A_{g2} = F_g \cdot h \cdot \cos(\alpha_2) = mgh\cos(180^\circ)$

Так как косинус угла $180^\circ$ равен -1 ($\cos(180^\circ) = -1$), работа силы тяжести будет отрицательной, поскольку сила направлена в сторону, противоположную перемещению.

$A_{g2} = -mgh$

Подставим числовые значения в формулу:

$A_{g2} = - (10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}) = -500$ Дж.

Ответ: работа силы тяжести при подъеме на высоту равна -500 Дж.

28.27 [688] Лежавший в горизонтальном положении столб поставили вертикально. Определите работу, произведённую против силы тяжести, если масса столба 150 кг, длина 6 м, а сечение столба одинаково по всей длине.

Дано:

Масса столба $m = 150$ кг
Длина столба $L = 6$ м
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ Н/кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу против силы тяжести $A$.

Решение:

Работа, произведённая против силы тяжести, равна изменению потенциальной энергии тела. Для протяженного тела, каким является столб, его потенциальная энергия определяется высотой его центра масс.

Формула для работы, совершаемой против силы тяжести, имеет вид: $A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = mg(h_2 - h_1)$ где $h_1$ и $h_2$ — это начальная и конечная высота центра масс столба над поверхностью земли.

Так как столб имеет одинаковое сечение по всей длине, он является однородным. Центр масс однородного стержня находится в его геометрическом центре, то есть на расстоянии $L/2$ от любого из его концов.

1. В начальном положении столб лежит в горизонтальном положении. Примем уровень земли за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии ($h=0$). В этом случае высота центра масс столба над землей равна нулю (пренебрегая радиусом сечения столба), то есть $h_1 = 0$.

2. В конечном положении столб поставили вертикально. Теперь его центр масс находится на высоте, равной половине его длины: $h_2 = \frac{L}{2}$

Вычислим конечную высоту центра масс: $h_2 = \frac{6 \text{ м}}{2} = 3 \text{ м}$

Теперь мы можем рассчитать работу, подставив найденные значения в формулу: $A = mg(h_2 - h_1) = mg(\frac{L}{2} - 0) = mg\frac{L}{2}$

$A = 150 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 3 \text{ м} = 4410 \text{ Дж}$

Работу также можно выразить в килоджоулях: $A = 4410 \text{ Дж} = 4.41 \text{ кДж}$

Ответ: работа, произведённая против силы тяжести, равна 4410 Дж (или 4.41 кДж).

28.28 [689] Груз массой 100 кг поднят по наклонному помосту, длина которого равна 10 м, а угол наклона равен 30°. Чему равна работа по подъёму груза? Трение не учитывайте.

Дано:

$m = 100$ кг
$l = 10$ м
$\alpha = 30^\circ$
$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$A$

Решение:

Работа по подъёму груза по наклонной плоскости без учёта трения равна изменению его потенциальной энергии. Потенциальная энергия $E_p$ зависит от массы тела $m$, ускорения свободного падения $g$ и высоты подъёма $h$.

Формула для работы в данном случае выглядит так:

$A = \Delta E_p = m \cdot g \cdot h$

Высоту подъёма $h$ можно найти, зная длину наклонного помоста $l$ и угол наклона $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, где $l$ является гипотенузой, а $h$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$, получаем:

$h = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения, чтобы найти высоту:

$h = 10 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) = 10 \text{ м} \cdot 0.5 = 5 \text{ м}$

Теперь, зная высоту, можем вычислить работу по подъёму груза:

$A = 100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 5 \text{ м} = 4900 \text{ Дж}$

Работу также можно выразить в килоджоулях: $4900 \text{ Дж} = 4.9 \text{ кДж}$.

Ответ: работа по подъёму груза равна 4900 Дж.

28.29 [684] У лыжника есть две возможности спуститься с вершины горы в долину: по извилистой лыжной трассе и на фуникулёре — подвесной канатной дороге. Одинаковой ли будет работа поля тяготения в обоих случаях?

Дано:

Найти:

Решение:

Работа, совершаемая полем тяготения (силой тяжести), определяется по формуле:

$A = mgh$

где $m$ - масса тела, $g$ - ускорение свободного падения, а $h$ - изменение высоты тела по вертикали.

Важной особенностью силы тяжести является то, что она является консервативной (потенциальной) силой. Это означает, что работа, совершаемая этой силой, не зависит от формы траектории движения тела, а зависит только от его начального и конечного положения, а именно от разности высот.

В обоих рассматриваемых случаях лыжник перемещается из одной и той же начальной точки (вершина горы) в одну и ту же конечную точку (долина). Следовательно, изменение высоты $h$ для обоих случаев одинаково и равно $h = h_1 - h_2$.

1. Для спуска по извилистой лыжной трассе работа поля тяготения равна $A_1 = mg(h_1 - h_2)$.

2. Для спуска на фуникулере работа поля тяготения равна $A_2 = mg(h_1 - h_2)$.

Поскольку масса лыжника $m$, ускорение свободного падения $g$ и разность высот $(h_1 - h_2)$ в обоих случаях одинаковы, то и работа поля тяготения будет одинаковой.

$A_1 = A_2$

Различие в длине и форме траекторий не влияет на величину работы, совершаемой силой тяжести.

Ответ: Работа поля тяготения в обоих случаях будет одинаковой, так как она зависит только от массы лыжника и разности высот между начальной и конечной точками, которые в данных случаях идентичны.

28.30 [685] Чему равна работа силы тяжести при обращении искусственного спутника Земли по круговой орбите?

Решение

Работа, совершаемая силой, определяется по формуле: $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$ где $A$ — работа, $F$ — модуль силы, $s$ — модуль перемещения, а $\alpha$ — угол между вектором силы и вектором перемещения.

При движении искусственного спутника Земли по круговой орбите на него действует сила тяжести $\vec{F}_{тяж}$. Эта сила всегда направлена к центру Земли, то есть по радиусу орбиты.

Вектор мгновенной скорости спутника $\vec{v}$, а следовательно, и его малое перемещение $\vec{ds}$ в каждый момент времени направлены по касательной к окружности орбиты.

Поскольку радиус и касательная к окружности в точке касания всегда перпендикулярны, угол $\alpha$ между вектором силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ и вектором перемещения $\vec{ds}$ составляет $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$

Таким образом, работа силы тяжести при движении спутника по круговой орбите равна нулю: $A = F_{тяж} \cdot s \cdot \cos(90^\circ) = F_{тяж} \cdot s \cdot 0 = 0$

Сила тяжести в данном случае является центростремительной силой. Она изменяет направление скорости спутника, заставляя его двигаться по окружности, но не изменяет модуль его скорости, а значит, и его кинетическую энергию. Следовательно, работа этой силы равна нулю.

Ответ: Работа силы тяжести при обращении искусственного спутника Земли по круговой орбите равна нулю.

28.31 [н] Тело, брошенное в горизонтальном направлении с некоторой высоты $h = |\Delta y|$ (рис. IV-6), упало на землю, пройдя путь $s$ и совершив перемещение $\vec{r}$. По каким из формул, приведённых ниже, можно вычислить работу силы тяжести $\vec{F}$?

1) $A = F \cdot s$

2) $A = |\vec{F}| \cdot h$

3) $A = F \cdot r$

4) $A = \vec{F} \cdot \vec{r}$

5) $|\vec{F}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos \alpha$

Рис. IV-6

Работа $A$, совершаемая постоянной силой, определяется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор перемещения $\vec{r}$. В данном случае сила тяжести $\vec{F}$ является постоянной (направлена вертикально вниз и по модулю равна $mg$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения). Перемещение тела — это вектор $\vec{r}$, соединяющий начальную и конечную точки траектории.

Общая формула для работы постоянной силы $\vec{F}$ при перемещении $\vec{r}$:

$A = \vec{F} \cdot \vec{r} = |\vec{F}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{F}$ и $\vec{r}$.

Работа силы тяжести также может быть найдена как изменение потенциальной энергии со знаком минус: $A = -\Delta U = -(U_f - U_i)$. Если принять уровень земли (ось X) за ноль потенциальной энергии ($U_f = 0$), то начальная потенциальная энергия на высоте $h$ равна $U_i = mgh$. Тогда работа силы тяжести равна $A = -(0 - mgh) = mgh$.

Проанализируем каждую из предложенных формул на предмет ее корректности для вычисления работы силы тяжести.

1) $A = F \cdot s$

В этой формуле $F = |\vec{F}|$ — модуль силы тяжести, а $s$ — это длина пути, то есть длина дуги параболической траектории. Работа силы зависит от вектора перемещения, а не от пройденного пути. Данная формула была бы верна только для случая, когда сила постоянна по направлению и величине и действует вдоль прямолинейной траектории движения. В рассматриваемой задаче траектория криволинейная, и путь $s$ всегда больше модуля перемещения $|\vec{r}|$. Поэтому эта формула неверна.

Ответ: Неверно.

2) $A = |\vec{F}| \cdot h$

Здесь $|\vec{F}|$ — модуль силы тяжести, а $h$ — это модуль вертикального перемещения тела. Работа силы тяжести, как консервативной силы, зависит только от разности высот начальной и конечной точек. Сила тяжести $\vec{F}$ направлена вертикально вниз. Вертикальная составляющая перемещения также направлена вниз и равна по модулю $h$. Поскольку направление силы совпадает с направлением вертикальной составляющей перемещения, работа положительна и равна произведению модуля силы на модуль вертикального перемещения: $A = |\vec{F}| \cdot h = mgh$. Эта формула верна.

Ответ: Верно.

3) $A = F \cdot r$

Здесь $F = |\vec{F}|$ — модуль силы, а $r = |\vec{r}|$ — модуль полного вектора перемещения. Эта формула представляет собой произведение модулей векторов силы и перемещения. Она была бы верна, только если бы векторы силы и перемещения были сонаправлены (угол между ними $\alpha=0$, и $\cos\alpha=1$). В данном случае сила тяжести направлена вертикально вниз, а вектор перемещения $\vec{r}$ направлен под углом $\alpha > 0$ к вертикали. Следовательно, эта формула неверна.

Ответ: Неверно.

4) $A = \vec{F} \cdot \vec{r}$

Это фундаментальное определение работы, совершаемой постоянной силой $\vec{F}$ на перемещении $\vec{r}$. Поскольку сила тяжести в поле тяготения Земли (вблизи ее поверхности) является постоянной по величине и направлению, эта формула абсолютно верна для вычисления ее работы. В координатной форме: $\vec{F}=(0, -mg)$, $\vec{r}=(x, -h)$. Тогда их скалярное произведение: $A = \vec{F} \cdot \vec{r} = 0 \cdot x + (-mg) \cdot (-h) = mgh$. Формула верна.

Ответ: Верно.

5) $A = |\vec{F}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos\alpha$

Эта формула является определением скалярного произведения векторов через их модули и косинус угла между ними. На рисунке угол $\alpha$ — это угол между вектором силы $\vec{F}$ (направлен вертикально вниз) и вектором перемещения $\vec{r}$. Из прямоугольного треугольника, образованного горизонтальной и вертикальной составляющими перемещения, видно, что вертикальная составляющая $h$ связана с модулем перемещения $|\vec{r}|$ через $h = |\vec{r}| \cdot \cos\alpha$. Подставляя это в формулу, получаем: $A = |\vec{F}| \cdot (|\vec{r}| \cos\alpha) = |\vec{F}| \cdot h = mgh$. Таким образом, эта формула эквивалентна формуле 2 и является верной.

Ответ: Верно.

28.32 [н] Траектория полёта птицы, вылетевшей из гнезда в точке O, представлена на рисунке IV-7. На каких участках траектории работа силы тяжести, действующей на птицу, имеет положительные значения, а на каких — отрицательные?

Рис. IV-7

Решение

Работа $A_g$, совершаемая силой тяжести $\vec{F_g}$, зависит от изменения вертикального положения (высоты) тела. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз. Работа силы тяжести при перемещении тела из точки с начальной высотой $h_i$ в точку с конечной высотой $h_f$ определяется формулой:

$A_g = mg(h_i - h_f)$

где $m$ — масса птицы, а $g$ — ускорение свободного падения.

Исходя из этой формулы, можно сделать следующие выводы о знаке работы:

• Работа силы тяжести положительна ($A_g > 0$), если птица опускается, то есть её конечная высота меньше начальной ($h_f < h_i$). В этом случае вектор силы тяжести и вертикальная составляющая вектора перемещения сонаправлены.
• Работа силы тяжести отрицательна ($A_g < 0$), если птица поднимается, то есть её конечная высота больше начальной ($h_f > h_i$). В этом случае вектор силы тяжести направлен противоположно вертикальной составляющей вектора перемещения.

Проанализируем каждый участок траектории, показанный на рисунке, чтобы определить, поднимается или опускается птица, следуя направлениям, указанным стрелками.

Участки, на которых работа силы тяжести имеет положительные значения

На этих участках птица должна снижаться. Согласно стрелкам, указывающим направление полета, это происходит на следующих участках:

• 1: Птица летит от верхней точки траектории вниз к точке 2. Высота уменьшается.
• 4: Птица летит с вершины левой петли вниз. Высота уменьшается.
• 5: Птица летит по дуге вниз и влево. Высота уменьшается.
• 6: Птица летит от точки 2 вниз к нижней части петли. Высота уменьшается.

Ответ: работа силы тяжести имеет положительные значения на участках 1, 4, 5, 6.

Участки, на которых работа силы тяжести имеет отрицательные значения

На этих участках птица должна набирать высоту. Согласно стрелкам, это происходит на следующих участках:

• 2: Стрелка показывает полет вверх от точки 2. Высота увеличивается.
• 3: Птица летит от нижней точки левой петли вверх к точке 2. Высота увеличивается.
• 7: Птица летит от нижней точки правой петли вверх к точке O. Высота увеличивается.

Ответ: работа силы тяжести имеет отрицательные значения на участках 2, 3, 7.

28.33 [690] Какая работа совершается двигателем при равномерном перемещении по рельсам вагонетки массой 1,5 т на расстояние 600 м, если коэффициент трения равен 0,008?

Дано:

$m = 1,5$ т
$s = 600$ м
$\mu = 0,008$

Перевод в систему СИ:
$m = 1,5 \text{ т} = 1500 \text{ кг}$

Найти:

$A$ — работу двигателя.

Решение:

Работа, совершаемая двигателем, определяется по формуле: $A = F_т \cdot s$, где $F_т$ — сила тяги двигателя, а $s$ — пройденное расстояние.

Поскольку вагонетка движется равномерно, ее ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на вагонетку, равна нулю. В горизонтальном направлении на вагонетку действуют сила тяги двигателя $F_т$ и сила трения $F_{тр}$, направленная в противоположную сторону.

Из условия равномерного движения следует, что сила тяги по модулю равна силе трения: $F_т = F_{тр}$

Сила трения вычисляется по формуле: $F_{тр} = \mu \cdot N$, где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Так как вагонетка движется по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры $N$ равна по модулю силе тяжести $mg$: $N = mg$, где $g$ — ускорение свободного падения. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Таким образом, для силы тяги двигателя получаем: $F_т = \mu m g$

Теперь подставим это выражение в формулу для работы: $A = (\mu m g) \cdot s$

Произведем вычисления, подставив числовые значения: $A = 0,008 \cdot 1500 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 600 \text{ м} = 72000 \text{ Дж}$

Результат можно выразить в килоджоулях (кДж), зная что $1 \text{ кДж} = 1000 \text{ Дж}$: $A = 72 \text{ кДж}$

Ответ: работа, совершаемая двигателем, равна $72$ кДж.