Страница 99 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

27.45 [639] Какой максимальной подъёмной силой обладает плот, сделанный из 10 брёвен объёмом по $0,6 \text{ м}^3$ каждое, если плотность дерева $700 \text{ кг}/\text{м}^3$?

Дано:

Количество брёвен $N = 10$
Объём одного бревна $V_1 = 0,6 \text{ м}^3$
Плотность дерева $\rho_{д} = 700 \text{ кг/м}^3$
Плотность пресной воды $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$

Найти:

Максимальную подъёмную силу $F_{под}$.

Решение:

Максимальная подъёмная сила плота представляет собой разницу между максимальной выталкивающей силой (силой Архимеда), которая действует на плот при его полном погружении в воду, и силой тяжести самого плота. Эта сила показывает, какой максимальный вес груза плот может удержать на плаву, не утонув.

1. Сначала определим общий объём плота $V_{п}$. Он равен произведению количества брёвен на объём одного бревна:

$V_{п} = N \cdot V_1 = 10 \cdot 0,6 \text{ м}^3 = 6 \text{ м}^3$

2. Затем рассчитаем силу тяжести, действующую на плот, $P_{п}$. Сила тяжести равна произведению массы плота $m_{п}$ на ускорение свободного падения $g$. Массу плота найдём через плотность дерева $\rho_{д}$ и общий объём плота $V_{п}$.

$P_{п} = m_{п} \cdot g = (\rho_{д} \cdot V_{п}) \cdot g$

$P_{п} = 700 \text{ кг/м}^3 \cdot 6 \text{ м}^3 \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 4200 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 41160 \text{ Н}$

3. Максимальная выталкивающая сила $F_{А,макс}$ возникает, когда плот полностью погружен в воду. По закону Архимеда, она равна весу воды в объёме, равном объёму плота.

$F_{А,макс} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{п}$

$F_{А,макс} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 6 \text{ м}^3 = 6000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} = 58800 \text{ Н}$

4. Максимальная подъёмная сила $F_{под}$ равна разности между максимальной выталкивающей силой и силой тяжести плота.

$F_{под} = F_{А,макс} - P_{п}$

$F_{под} = 58800 \text{ Н} - 41160 \text{ Н} = 17640 \text{ Н}$

Эту величину можно также выразить в килоньютонах: $17640 \text{ Н} = 17,64 \text{ кН}$.

Ответ: максимальная подъёмная сила плота составляет $17640 \text{ Н}$ (или $17,64 \text{ кН}$).

27.46 [640] Плот состоит из 12 сухих еловых брусьев. Длина каждого бруса 4 м, ширина 30 см и толщина 25 см. Можно ли на этом плоту переправить через реку автомашину весом 10 кН?

Дано:

Можно ли переправить автомашину на плоту?

Для того чтобы плот мог переправить автомашину, его грузоподъемность должна быть больше или равна весу автомобиля. Грузоподъемность — это максимальный вес груза, который может удержать плот на плаву. Она равна разности между максимальной выталкивающей (архимедовой) силой, действующей на плот при его полном погружении, и собственным весом плота.

1. Найдем объем одного елового бруса:

$V_{бруса} = l \cdot w \cdot h = 4 \text{ м} \cdot 0.3 \text{ м} \cdot 0.25 \text{ м} = 0.3 \text{ м}^3$

2. Определим общий объем всего плота, состоящего из 12 брусьев:

$V_{плота} = N \cdot V_{бруса} = 12 \cdot 0.3 \text{ м}^3 = 3.6 \text{ м}^3$

3. Рассчитаем максимальную выталкивающую силу, которая будет действовать на плот, если он полностью погрузится в воду. Эта сила равна весу воды в объеме плота:

$F_{А, макс} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{плота} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 3.6 \text{ м}^3 = 36000 \text{ Н}$

4. Найдем вес самого плота:

$P_{плота} = m_{плота} \cdot g = (\rho_{ели} \cdot V_{плота}) \cdot g = 450 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3.6 \text{ м}^3 \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 16200 \text{ Н}$

5. Вычислим грузоподъемность плота (максимальный вес груза, который он может нести):

$P_{груза} = F_{А, макс} - P_{плота} = 36000 \text{ Н} - 16200 \text{ Н} = 19800 \text{ Н}$

6. Сравним грузоподъемность плота с весом автомашины:

Грузоподъемность плота $P_{груза} = 19800$ Н.

Вес автомашины $P_{авто} = 10000$ Н.

Поскольку $19800 \text{ Н} > 10000 \text{ Н}$, то есть $P_{груза} > P_{авто}$, грузоподъемности плота достаточно, чтобы переправить автомашину.

Ответ: да, на этом плоту можно переправить через реку автомашину весом 10 кН.

27.47[641]

Прямоугольная баржа длиной 5 м и шириной 3 м после загрузки осела на 50 см. Определите вес груза на барже.

Дано:

Длина баржи, $L = 5$ м
Ширина баржи, $W = 3$ м
Осадка после загрузки, $\Delta h = 50$ см
Плотность пресной воды, $\rho_{воды} \approx 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

Вес груза, $P_{груза}$

Решение:

Когда на баржу помещают груз, она погружается глубже в воду. Вес груза $P_{груза}$ уравновешивается увеличением выталкивающей (Архимедовой) силы $\Delta F_A$, действующей на баржу. Согласно условию плавания, вес добавленного груза равен дополнительной выталкивающей силе:

$P_{груза} = \Delta F_A$

Выталкивающая сила определяется по закону Архимеда:

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}$

где $\rho_{воды}$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $V_{погр}$ — объем погруженной части тела.

Увеличение выталкивающей силы $\Delta F_A$ происходит за счет увеличения погруженного объема баржи на величину $\Delta V$:

$\Delta F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot \Delta V$

Так как баржа имеет прямоугольную форму, дополнительный погруженный объем равен объему прямоугольного параллелепипеда, основание которого — площадь дна баржи $S = L \cdot W$, а высота — величина осадки $\Delta h$.

$\Delta V = S \cdot \Delta h = L \cdot W \cdot \Delta h$

Объединив формулы, получаем выражение для веса груза:

$P_{груза} = \rho_{воды} \cdot g \cdot L \cdot W \cdot \Delta h$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$P_{груза} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 5 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м} = 75000 \text{ Н}$

Этот результат можно также выразить в килоньютонах (кН):

$75000 \text{ Н} = 75 \text{ кН}$

Ответ: вес груза на барже равен $75000$ Н (или $75$ кН).

27.48 [642] Судно, погружённое в пресную воду до ватерлинии, вытесняет воду объёмом 15 000 $m^3$. Вес судна без груза равен $5 \cdot 10^6$ Н. Чему равен вес груза?

Дано:

$V_в = 15000 \text{ м³}$

$P_{судна} = 5 \cdot 10^6 \text{ Н}$

$\rho_в = 1000 \text{ кг/м³}$ (плотность пресной воды)

$g \approx 10 \text{ Н/кг}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$P_{груза}$ - ?

Решение:

Судно с грузом плавает на поверхности воды, это означает, что сила тяжести, действующая на судно с грузом, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда).

Общий вес судна с грузом $P_{общ}$ равен сумме веса судна без груза $P_{судна}$ и веса груза $P_{груза}$:

$P_{общ} = P_{судна} + P_{груза}$

Выталкивающая сила $F_А$ по закону Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Вес вытесненной воды можно найти по формуле:

$F_А = \rho_в \cdot g \cdot V_в$

где $\rho_в$ - плотность пресной воды, $g$ - ускорение свободного падения, $V_в$ - объем вытесненной воды.

Рассчитаем выталкивающую силу:

$F_А = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 15000 \text{ м³} = 150 000 000 \text{ Н} = 150 \cdot 10^6 \text{ Н}$

Согласно условию плавания тел, общий вес судна с грузом равен выталкивающей силе:

$P_{общ} = F_А$

$P_{судна} + P_{груза} = F_А$

Отсюда можем выразить вес груза:

$P_{груза} = F_А - P_{судна}$

Подставим числовые значения и вычислим вес груза:

$P_{груза} = 150 \cdot 10^6 \text{ Н} - 5 \cdot 10^6 \text{ Н} = (150 - 5) \cdot 10^6 \text{ Н} = 145 \cdot 10^6 \text{ Н}$

Вес груза можно также выразить в меганьютонах (МН): $145 \cdot 10^6 \text{ Н} = 145 \text{ МН}$.

Ответ: вес груза равен $145 \cdot 10^6 \text{ Н}$ или $145 \text{ МН}$.

27.49 [643] После разгрузки баржи её осадка в реке уменьшилась на 60 см. Определите вес груза, снятого с баржи, если площадь сечения баржи на уровне воды равна $240 \text{ м}^2$.

Дано:

$\Delta h = 60 \text{ см}$
$S = 240 \text{ м}^2$

Переведем единицы в систему СИ:
$\Delta h = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
Примем плотность речной воды $\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ и ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Найти:

$P_{груза}$ — вес снятого груза.

Решение:

Когда баржу разгружают, ее вес уменьшается. Чтобы баржа оставалась на плаву, выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на нее, также должна уменьшиться. Уменьшение выталкивающей силы происходит за счет уменьшения объема погруженной в воду части баржи, то есть за счет уменьшения осадки.

Согласно закону Архимеда, вес снятого груза $P_{груза}$ равен изменению выталкивающей силы $\Delta F_{А}$: $P_{груза} = \Delta F_{А}$

Изменение выталкивающей силы определяется как: $\Delta F_{А} = \rho_{воды} \cdot g \cdot \Delta V$ где $\rho_{воды}$ — плотность речной воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $\Delta V$ — изменение объема погруженной части баржи.

Изменение объема погруженной части можно найти, умножив площадь сечения баржи на уровне воды $S$ на величину, на которую уменьшилась осадка $\Delta h$. Мы предполагаем, что форма баржи вблизи ватерлинии близка к прямоугольному параллелепипеду. $\Delta V = S \cdot \Delta h$

Объединив формулы, получаем выражение для расчета веса груза: $P_{груза} = \rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot \Delta h$

Подставим числовые значения в формулу: $P_{груза} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 240 \text{ м}^2 \cdot 0.6 \text{ м} = 1440000 \text{ Н}$

Для удобства переведем результат в меганьютоны (МН), учитывая, что $1 \text{ МН} = 10^6 \text{ Н}$: $1440000 \text{ Н} = 1.44 \text{ МН}$

Ответ: вес груза, снятого с баржи, равен $1.44 \text{ МН}$.

27.50 [644] Площадь сечения теплохода на уровне воды равна $2000 \text{ м}^2$. Сколько нужно добавить груза, чтобы теплоход погрузился в морской воде ещё на 1,5 м? Считайте, что борта теплохода на данном уровне вертикальны.

Дано:

$S = 2000 \, \text{м}^2$

$\Delta h = 1,5 \, \text{м}$

$\rho_{воды} \approx 1030 \, \text{кг/м}^3$ (плотность морской воды)

$g \approx 9,8 \, \text{Н/кг}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$m_{груза}$

Решение:

Для того чтобы теплоход погрузился глубже, на него необходимо добавить груз. Вес этого груза будет уравновешен увеличением выталкивающей силы (силы Архимеда), действующей на теплоход со стороны воды.

Условие равновесия можно записать как равенство веса добавленного груза $P_{груза}$ и увеличения выталкивающей силы $\Delta F_{A}$:

$P_{груза} = \Delta F_{A}$

Вес груза определяется его массой $m_{груза}$ и ускорением свободного падения $g$: $P_{груза} = m_{груза} \cdot g$.

Увеличение выталкивающей силы, согласно закону Архимеда, равно весу дополнительно вытесненной жидкости:

$\Delta F_{A} = \rho_{воды} \cdot g \cdot \Delta V$

Здесь $\rho_{воды}$ — это плотность морской воды, а $\Delta V$ — это дополнительный объем погруженной части теплохода.

В условии сказано, что борта теплохода на данном уровне вертикальны. Это означает, что площадь поперечного сечения $S$ не меняется при погружении на глубину $\Delta h$. Следовательно, дополнительный погруженный объем можно найти как объем призмы с площадью основания $S$ и высотой $\Delta h$:

$\Delta V = S \cdot \Delta h$

Теперь подставим выражения для веса и силы Архимеда в исходное уравнение равновесия:

$m_{груза} \cdot g = \rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot \Delta h$

Сократим ускорение свободного падения $g$ в обеих частях уравнения:

$m_{груза} = \rho_{воды} \cdot S \cdot \Delta h$

Подставим известные значения в формулу:

$m_{груза} = 1030 \, \text{кг/м}^3 \cdot 2000 \, \text{м}^2 \cdot 1,5 \, \text{м} = 3090000 \, \text{кг}$

Полученную массу можно перевести в тонны для более наглядного представления: $3090000 \, \text{кг} = 3090 \, \text{т}$.

Ответ: необходимо добавить 3 090 000 кг (или 3090 т) груза.

27.51 [645] Сколько воды вытесняет плавающий деревянный брус длиной 3 м, шириной 30 см и высотой 20 см? (Плотность дерева $600 \, \text{кг}/\text{м}^3$.)

Дано:

Длина бруса, $l = 3$ м
Ширина бруса, $b = 30$ см = $0.3$ м
Высота бруса, $h = 20$ см = $0.2$ м
Плотность дерева, $\rho_д = 600$ кг/м³
Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м³ (табличное значение)

Найти:

Объем вытесненной воды $V_{выт}$ или массу вытесненной воды $m_{выт}$.

Решение:

Поскольку деревянный брус плавает в воде, это означает, что действующая на него сила тяжести $F_т$ уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_A$.

$F_т = F_A$

Сила тяжести, действующая на брус, равна произведению его массы $m_д$ на ускорение свободного падения $g$:
$F_т = m_д \cdot g$

Массу бруса можно найти через его плотность $\rho_д$ и объем $V_д$:
$m_д = \rho_д \cdot V_д$

Объем бруса, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равен произведению его длины, ширины и высоты:
$V_д = l \cdot b \cdot h = 3 \text{ м} \cdot 0.3 \text{ м} \cdot 0.2 \text{ м} = 0.18 \text{ м}^3$

Теперь найдем массу бруса:
$m_д = 600 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.18 \text{ м}^3 = 108 \text{ кг}$

Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна весу вытесненной воды:
$F_A = m_{выт} \cdot g$, где $m_{выт}$ — масса вытесненной воды.

Приравнивая силу тяжести и силу Архимеда, получаем:
$m_д \cdot g = m_{выт} \cdot g$
Отсюда следует, что масса вытесненной воды равна массе плавающего тела:
$m_{выт} = m_д = 108 \text{ кг}$

Чтобы найти объем вытесненной воды $V_{выт}$, нужно массу вытесненной воды разделить на плотность воды:
$V_{выт} = \frac{m_{выт}}{\rho_в} = \frac{108 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.108 \text{ м}^3$

Вопрос "Сколько воды вытесняет" может подразумевать как массу, так и объем. Мы нашли обе величины.

Ответ: плавающий деревянный брус вытесняет $0.108 \text{ м}^3$ воды, что по массе составляет $108 \text{ кг}$.

27.52 [646] Площадь льдины $8 \text{ м}^2$, толщина 25 см. Погрузится ли она целиком в пресную воду, если на неё встанет человек, вес которого 600 Н?

Дано:

Площадь льдины, $S = 8 \text{ м}^2$
Толщина льдины, $h = 25 \text{ см}$
Вес человека, $P_{чел} = 600 \text{ Н}$
Плотность пресной воды, $\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)
Плотность льда, $\rho_{льда} \approx 900 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Перевод в систему СИ:

$h = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Погрузится ли льдина целиком в воду?

Решение:

Чтобы определить, погрузится ли льдина целиком, необходимо сравнить общую силу тяжести, действующую на льдину с человеком, с максимальной выталкивающей силой (силой Архимеда), которая будет действовать на льдину при ее полном погружении. Если сила тяжести окажется больше или равна максимальной силе Архимеда, льдина погрузится полностью.

1. Вычислим объем льдины ($V_{льдины}$): $V_{льдины} = S \cdot h$ $V_{льдины} = 8 \text{ м}^2 \cdot 0.25 \text{ м} = 2 \text{ м}^3$

2. Найдем максимальную выталкивающую силу ($F_{А, макс}$), которая может действовать на льдину. Она равна весу воды, вытесненной всем объемом льдины. $F_{А, макс} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{льдины}$ $F_{А, макс} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 2 \text{ м}^3 = 20000 \text{ Н}$

3. Рассчитаем общую силу тяжести ($F_{тяж, общ}$), которая состоит из веса самой льдины ($P_{льдины}$) и веса человека ($P_{чел}$). Сначала найдем вес льдины: $P_{льдины} = m_{льдины} \cdot g = \rho_{льда} \cdot V_{льдины} \cdot g$ $P_{льдины} = 900 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \text{ м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} = 18000 \text{ Н}$

Теперь найдем общую силу тяжести: $F_{тяж, общ} = P_{льдины} + P_{чел}$ $F_{тяж, общ} = 18000 \text{ Н} + 600 \text{ Н} = 18600 \text{ Н}$

4. Сравним общую силу тяжести с максимальной выталкивающей силой. $F_{тяж, общ} = 18600 \text{ Н}$ $F_{А, макс} = 20000 \text{ Н}$

Так как $F_{тяж, общ} < F_{А, макс}$ ($18600 \text{ Н} < 20000 \text{ Н}$), это означает, что общая сила тяжести меньше, чем максимальная выталкивающая сила. Следовательно, для уравновешивания силы тяжести льдине не нужно погружаться полностью. Она будет плавать, и ее часть будет находиться над водой.

Ответ: нет, льдина не погрузится целиком в пресную воду.

27.53 [647] Какой минимальный объем должна иметь подводная часть надувной лодки массой 7 кг, чтобы удержать на воде юного рыболова, вес которого 380 Н?

Дано:

Масса надувной лодки $m_л = 7 \text{ кг}$
Вес рыболова $P_р = 380 \text{ Н}$
Плотность пресной воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$ (примем это значение, так как вес рыболова $380 \text{ Н}$ соответствует массе $38 \text{ кг}$ при $g=10 \text{ Н/кг}$)

Найти:

Минимальный объём подводной части лодки $V_{подв}$ — ?

Решение:

Для того чтобы лодка с рыболовом удерживалась на воде, необходимо, чтобы выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на подводную часть лодки, была равна суммарному весу лодки и рыболова. Это условие равновесия.

Сила Архимеда $F_A$ определяется по формуле:
$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{подв}$
где $\rho_в$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $V_{подв}$ — объём погружённой в воду части тела.

Суммарный вес $P_{общ}$, действующий на лодку, складывается из веса самой лодки $P_л$ и веса рыболова $P_р$:
$P_{общ} = P_л + P_р$
Вес лодки найдём по формуле $P_л = m_л \cdot g$.
$P_{общ} = m_л \cdot g + P_р$

Приравняем силу Архимеда и суммарный вес (условие плавания):
$F_A = P_{общ}$
$\rho_в \cdot g \cdot V_{подв} = m_л \cdot g + P_р$

Отсюда выразим минимальный объём подводной части лодки $V_{подв}$:
$V_{подв} = \frac{m_л \cdot g + P_р}{\rho_в \cdot g}$

Подставим числовые значения и произведём вычисления:
$V_{подв} = \frac{7 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} + 380 \text{ Н}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг}} = \frac{70 \text{ Н} + 380 \text{ Н}}{10000 \text{ Н/м}^3} = \frac{450 \text{ Н}}{10000 \text{ Н/м}^3} = 0.045 \text{ м}^3$

Ответ: минимальный объём подводной части лодки должен быть $0.045 \text{ м}^3$.

27.54 [648] Известно, что масса мраморной плиты равна 40,5 кг. Какую силу надо прикладывать, чтобы удерживать эту плиту на подвесе в воде?

Дано:

масса мраморной плиты $m = 40,5$ кг
плотность мрамора $\rho_{м} = 2700$ кг/м$^3$ (справочное значение)
плотность пресной воды $\rho_{в} = 1000$ кг/м$^3$ (справочное значение)
ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Все исходные данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

силу, которую надо прикладывать для удержания плиты в воде $F$ — ?

Решение:

Когда мраморная плита находится на подвесе в воде, на нее действуют три силы:

1. Сила тяжести ($F_g$), направленная вертикально вниз.
2. Выталкивающая сила, или сила Архимеда ($F_A$), направленная вертикально вверх.
3. Сила натяжения подвеса ($F$), которую необходимо приложить для удержания плиты, также направленная вертикально вверх.

Поскольку плита находится в равновесии, сумма сил, направленных вверх, равна силе, направленной вниз:

$F + F_A = F_g$

Отсюда искомая сила $F$ равна разности силы тяжести и выталкивающей силы:

$F = F_g - F_A$

Сила тяжести рассчитывается по формуле:

$F_g = m \cdot g$

Выталкивающая сила, действующая на полностью погруженное тело, равна весу жидкости в объеме этого тела:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$

где $V$ — объем мраморной плиты. Объем можно найти, зная массу плиты $m$ и плотность мрамора $\rho_м$:

$V = \frac{m}{\rho_м}$

Теперь объединим формулы. Подставим выражение для объема $V$ в формулу для силы Архимеда:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot \frac{m}{\rho_м}$

Подставим выражения для $F_g$ и $F_A$ в основную формулу для силы $F$:

$F = m \cdot g - \rho_в \cdot g \cdot \frac{m}{\rho_м}$

Для удобства расчетов вынесем общий множитель $m \cdot g$ за скобки:

$F = m \cdot g \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_м}\right)$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения:

$F = 40,5 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \left(1 - \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}\right)$

$F = 405 \text{ Н} \cdot \left(1 - \frac{10}{27}\right) = 405 \text{ Н} \cdot \left(\frac{27 - 10}{27}\right) = 405 \text{ Н} \cdot \frac{17}{27}$

Сократим дробь ($405 / 27 = 15$):

$F = 15 \cdot 17 \text{ Н} = 255 \text{ Н}$

Ответ: чтобы удерживать мраморную плиту на подвесе в воде, надо прикладывать силу 255 Н.

27.55° [649] Какую силу надо приложить, чтобы удержать под водой кусок пробкового дерева, масса которого 80 г?

Дано:

Найти:

Решение:

Чтобы удержать кусок пробкового дерева под водой, он должен находиться в состоянии равновесия. Это означает, что сумма всех действующих на него сил равна нулю. На кусок действуют три силы:

1. Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз.
2. Выталкивающая сила или сила Архимеда ($F_A$), направленная вертикально вверх.
3. Внешняя удерживающая сила ($F$), которую необходимо приложить. Поскольку плотность пробки ($\rho_п = 240 \text{ кг/м³}$) меньше плотности воды ($\rho_в = 1000 \text{ кг/м³}$), кусок будет стремиться всплыть. Следовательно, для удержания его под водой, силу $F$ нужно направить вертикально вниз.

Условие равновесия записывается как равенство сил, действующих вверх, и сил, действующих вниз:

$F_A = F_т + F$

Отсюда выразим искомую силу $F$:

$F = F_A - F_т$

Сначала рассчитаем силу тяжести $F_т$:

$F_т = m \cdot g = 0.08 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 0.784 \text{ Н}$

Далее для расчета выталкивающей силы $F_A$ нам понадобится объем куска пробки $V$. Найдем его через массу и плотность пробки:

$V = \frac{m}{\rho_п} = \frac{0.08 \text{ кг}}{240 \text{ кг/м³}} = \frac{1}{3000} \text{ м³}$

Выталкивающая сила равна весу воды в объеме, равном объему погруженного тела. Так как кусок полностью находится под водой, объем вытесненной воды равен объему куска $V$:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot \frac{1}{3000} \text{ м³} = \frac{9800}{3000} \text{ Н} \approx 3.267 \text{ Н}$

Теперь можем найти удерживающую силу $F$:

$F = F_A - F_т \approx 3.267 \text{ Н} - 0.784 \text{ Н} = 2.483 \text{ Н}$

Округляя результат до двух значащих цифр (так как исходные данные имеют 2 значащие цифры), получаем $F \approx 2.5 \text{ Н}$.

Ответ: чтобы удержать кусок пробкового дерева под водой, надо приложить силу, равную примерно 2.5 Н.

27.56* [650*] Плавающее тело вытесняет керосин объёмом 120 $см^3$. Какой объём воды будет вытеснять это тело? Определите массу тела.

Дано:

Объём вытесненного керосина, $V_к = 120 \text{ см}^3$
Плотность керосина (справочное значение), $\rho_к \approx 800 \text{ кг/м}^3$
Плотность воды (справочное значение), $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:
$V_к = 120 \text{ см}^3 = 120 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 120 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1.2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

$V_в$ — объём вытесненной воды?
$m$ — масса тела?

Решение:

Задача решается в два этапа: сначала находим массу тела, исходя из условия его плавания в керосине, а затем, зная массу, находим объём воды, который оно будет вытеснять.

1. Найдём массу тела.По условию, тело плавает в керосине. Условие плавания тела гласит, что сила тяжести, действующая на тело ($F_g$), равна выталкивающей силе Архимеда ($F_А$).

$F_g = F_{А,к}$

Сила тяжести $F_g = m \cdot g$, а сила Архимеда в керосине $F_{А,к} = \rho_к \cdot g \cdot V_к$.

$m \cdot g = \rho_к \cdot g \cdot V_к$

Сократив ускорение свободного падения $g$, получим формулу для массы тела:

$m = \rho_к \cdot V_к$

Подставим значения в системе СИ:

$m = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1.2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 0.096 \text{ кг}$

2. Найдём объём вытесненной воды.Когда это же тело будет плавать в воде, на него будет действовать та же сила тяжести, которая будет уравновешена новой силой Архимеда со стороны воды, $F_{А,в}$.

$F_g = F_{А,в}$

Поскольку сила тяжести тела не изменилась, то и выталкивающие силы в керосине и в воде равны между собой:

$F_{А,к} = F_{А,в}$

$\rho_к \cdot g \cdot V_к = \rho_в \cdot g \cdot V_в$

Сократив $g$, получаем соотношение:

$\rho_к \cdot V_к = \rho_в \cdot V_в$

Отсюда выражаем искомый объём вытесненной воды $V_в$:

$V_в = V_к \cdot \frac{\rho_к}{\rho_в}$

Подставим числовые значения. В данном случае можно использовать любые согласованные единицы, так как нас интересует соотношение.

$V_в = 120 \text{ см}^3 \cdot \frac{800 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} = 120 \text{ см}^3 \cdot 0.8 = 96 \text{ см}^3$

Ответ: объём воды, который будет вытеснять это тело, равен 96 см³; масса тела равна 0.096 кг (или 96 г).

27.57 [651] Используя данные рисунка III-96, определите плотность камня.

$12 \text{ Н}$ $7 \text{ Н}$

Камень в воздухе

Камень в воде

Рис. III-96

Дано:

Найти:

Решение:

Вес камня в воздухе $P_1$, измеренный динамометром, равен силе тяжести $F_{тяж}$, действующей на камень. Когда камень погружен в воду, на него дополнительно действует выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх. Поэтому вес камня в воде $P_2$ оказывается меньше его веса в воздухе и равен $P_2 = P_1 - F_A$.

Из этого соотношения мы можем найти величину выталкивающей силы:

$F_A = P_1 - P_2 = 12 \text{ Н} - 7 \text{ Н} = 5 \text{ Н}$

Согласно закону Архимеда, выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости. Так как камень погружен полностью, объем вытесненной воды равен объему камня $V_{камня}$.

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{камня}$

где $g$ – ускорение свободного падения. Отсюда объем камня:

$V_{камня} = \frac{F_A}{\rho_{воды} \cdot g}$

Массу камня $m$ найдем из его веса в воздухе $P_1 = m \cdot g$:

$m = \frac{P_1}{g}$

Плотность камня $\rho_{камня}$ по определению равна отношению массы к объему. Подставим полученные выражения для массы и объема:

$\rho_{камня} = \frac{m}{V_{камня}} = \frac{P_1 / g}{F_A / (\rho_{воды} \cdot g)} = \frac{P_1 \cdot \rho_{воды} \cdot g}{F_A \cdot g}$

Как видно из формулы, ускорение свободного падения $g$ сокращается. Подставив выражение для $F_A$, получаем окончательную расчетную формулу:

$\rho_{камня} = \frac{P_1}{F_A} \cdot \rho_{воды} = \frac{P_1}{P_1 - P_2} \cdot \rho_{воды}$

Произведем вычисления:

$\rho_{камня} = \frac{12 \text{ Н}}{12 \text{ Н} - 7 \text{ Н}} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = \frac{12}{5} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 2.4 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 2400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность камня составляет $2400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.