Страница 97 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

$27.24^\circ$ $[619^\circ]$ На рисунке III-90 изображён поплавок, который можно использовать как весы. Объясните, как действуют такие весы.

$\text{см}^3$

Рис. III-90

27.24 [619]

Решение

Принцип действия данного устройства, используемого в качестве весов, основан на законе Архимеда. Этот закон гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила (сила Архимеда), равная весу вытесненной жидкости.
Формула для силы Архимеда: $F_А = \rho_ж \cdot g \cdot V_{погр}$, где $\rho_ж$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{погр}$ — объем погруженной части тела.

1. Когда поплавок без груза плавает в жидкости (например, в воде), он находится в равновесии. Это означает, что его вес $P_{попл}$ уравновешен выталкивающей силой $F_{А1}$:$P_{попл} = F_{А1}$

2. Когда на специальную площадку на верху поплавка помещают взвешиваемый груз, его вес $P_{груза}$ добавляется к весу поплавка. Чтобы система снова пришла в равновесие, поплавок погружается глубже. Глубина погружения увеличивается до тех пор, пока новая, увеличившаяся выталкивающая сила $F_{А2}$ не уравновесит суммарный вес поплавка и груза:$P_{попл} + P_{груза} = F_{А2}$

3. Вычтем из второго уравнения первое:$(P_{попл} + P_{груза}) - P_{попл} = F_{А2} - F_{А1}$$P_{груза} = F_{А2} - F_{А1} = \Delta F_А$Вес груза равен изменению выталкивающей силы.

4. Изменение выталкивающей силы связано с изменением погруженного объема $\Delta V = V_{погр2} - V_{погр1}$:$\Delta F_А = \rho_ж \cdot g \cdot \Delta V$

5. Приравняем выражения для веса груза ($P_{груза} = m_{груза} \cdot g$):$m_{груза} \cdot g = \rho_ж \cdot g \cdot \Delta V$Сократив $g$, получаем прямую зависимость массы груза от изменения погруженного объема:$m_{груза} = \rho_ж \cdot \Delta V$

Шкала на поплавке проградуирована в единицах объема (см³), и она измеряет как раз это изменение погруженного объема $\Delta V$ относительно начального положения (нулевой отметки). Если в качестве жидкости использовать воду, плотность которой очень близка к $1 \text{ г/см}^3$, то масса груза в граммах будет численно равна показаниям шкалы в см³:$m_{груза} \text{ (в граммах)} \approx 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot \Delta V \text{ (в см}^3\text{)}$Таким образом, поместив груз на поплавок, можно по его шкале напрямую узнать массу груза в граммах.

Ответ: Действие весов основано на законе Архимеда. Масса груза, помещенного на поплавок, пропорциональна увеличению объема его погруженной части ($m_{груза} = \rho_ж \cdot \Delta V$). Шкала на поплавке показывает это увеличение объема ($\Delta V$). Если использовать воду, плотность которой приблизительно равна $1 \text{ г/см}^3$, то масса груза в граммах будет численно равна показаниям шкалы в см³.

27.25* [620*] Пробирка, в которой находится брусок пластилина, плавает в воде (рис. III-91, а). Изменится ли глубина погружения пробирки в воду, если пластилин вынуть из пробирки и подклеить к её дну (рис. III-91, б)? Если изменится, то как? Ответ поясните.

а) б)

Рис. III-91

Да, глубина погружения пробирки изменится. Она уменьшится.

Для объяснения этого явления воспользуемся законом Архимеда и условием плавания тел.

1. Случай а): Пробирка с пластилином внутри.

Система «пробирка + пластилин» плавает, значит, действующая на нее сила тяжести уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда). Общая сила тяжести системы равна сумме сил тяжести пробирки и пластилина: $P = (m_{пробирки} + m_{пластилина})g$

В этом случае выталкивающая сила $F_{A1}$ создается только объемом погруженной части пробирки ($V_1$), так как пластилин находится внутри и не контактирует с водой. $F_{A1} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_1$

По условию плавания $F_{A1} = P$, следовательно: $\rho_{воды} \cdot g \cdot V_1 = (m_{пробирки} + m_{пластилина})g$

2. Случай б): Пластилин приклеен ко дну пробирки.

Общая масса системы, а значит и общая сила тяжести $P$, не изменилась. Однако теперь выталкивающая сила действует как на погруженную часть пробирки (объемом $V_2$), так и на сам пластилин (объемом $V_{пластилина}$), который теперь тоже находится в воде.

Суммарная выталкивающая сила $F_{A2}$ равна: $F_{A2} = F_{А, пробирки} + F_{А, пластилина} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_2 + \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{пластилина}$

По условию плавания $F_{A2} = P$: $\rho_{воды} \cdot g \cdot V_2 + \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{пластилина} = (m_{пробирки} + m_{пластилина})g$

3. Сравнение.

Так как правые части уравнений для обоих случаев равны (это одна и та же сила тяжести $P$), мы можем приравнять их левые части: $F_{A1} = F_{A2}$ $\rho_{воды} \cdot g \cdot V_1 = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_2 + \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{пластилина}$

Сократив обе части на $\rho_{воды} \cdot g$, получим: $V_1 = V_2 + V_{пластилина}$

Отсюда $V_2 = V_1 - V_{пластилина}$.

Так как объем пластилина $V_{пластилина}$ является положительной величиной, то объем погруженной части пробирки во втором случае ($V_2$) меньше, чем в первом ($V_1$). Глубина погружения пробирки прямо пропорциональна объему ее погруженной части. Следовательно, глубина погружения пробирки уменьшится.

Это происходит потому, что во втором случае пластилин, будучи погруженным в воду, сам создает дополнительную выталкивающую силу, которая "помогает" всей системе плавать. В результате пробирке нужно вытеснять меньший объем воды, и она всплывает.

Ответ: Глубина погружения пробирки уменьшится.

27.26 [621] Стальной брусок подвешен к пружине и опущен в воду (рис. III-92). С одинаковой ли силой давит вода на верхнюю и нижнюю поверхности бруска? Ответ обоснуйте.

Рис. III-92

Решение

Давление, которое оказывает жидкость на погруженное в нее тело, называется гидростатическим давлением. Оно зависит от плотности жидкости и глубины погружения. Гидростатическое давление рассчитывается по формуле:

$p = \rho g h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — глубина (высота столба жидкости над рассматриваемой точкой).

Сила давления, действующая на некоторую поверхность, равна произведению давления на площадь этой поверхности:

$F = pS$

Рассмотрим силы, с которыми вода давит на верхнюю и нижнюю поверхности стального бруска. Пусть верхняя грань бруска площадью $S$ находится на глубине $h_1$ от поверхности воды. Тогда давление на нее равно $p_1 = \rho_{воды} g h_1$. Сила, с которой вода давит на верхнюю грань, направлена вниз и равна:

$F_1 = p_1 S = \rho_{воды} g h_1 S$

Нижняя грань бруска, имеющая такую же площадь $S$, находится на большей глубине $h_2$. Давление на нее равно $p_2 = \rho_{воды} g h_2$. Сила, с которой вода давит на нижнюю грань, направлена вверх и равна:

$F_2 = p_2 S = \rho_{воды} g h_2 S$

Поскольку нижняя поверхность бруска находится глубже, чем верхняя, то $h_2 > h_1$. Следовательно, и давление на нижнюю поверхность будет больше, чем на верхнюю: $p_2 > p_1$.

Так как площади верхней и нижней поверхностей бруска одинаковы ($S$), то и сила давления на нижнюю поверхность будет больше силы давления на верхнюю:

$F_2 > F_1$

Именно разность этих сил ($F_2 - F_1$) создает выталкивающую силу (силу Архимеда), действующую на брусок.

Ответ: нет, сила, с которой вода давит на верхнюю и нижнюю поверхности бруска, не одинакова. Сила давления на нижнюю поверхность больше, чем на верхнюю, так как нижняя поверхность находится на большей глубине, где гидростатическое давление выше.

27.27 [622] Подвешенный на нити стальной брусок погружён в воду (см. рис. III-92). Назовите взаимодействующие тела и силы, действующие на брусок. Изобразите эти силы графически.

Рис. III-92

Назовите взаимодействующие тела и силы, действующие на брусок.

В данной системе можно выделить следующие взаимодействия, в которых участвует стальной брусок:

1. Взаимодействие с Землей. Любое тело, находящееся вблизи Земли, притягивается к ней. Сила этого взаимодействия называется силой тяжести. Обозначается $F_{тяж}$ и направлена вертикально вниз, к центру Земли. Приложена к центру масс бруска.

2. Взаимодействие с нитью (подвесом). Нить, на которой подвешен брусок, растягивается под его весом и, в свою очередь, действует на брусок с силой упругости, которую в данном случае называют силой натяжения нити. Обозначается $T$ или $F_{упр}$ и направлена вертикально вверх, вдоль нити.

3. Взаимодействие с водой. Согласно закону Архимеда, на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила. Эта сила, называемая силой Архимеда, возникает из-за разности давлений жидкости на нижнюю и верхнюю поверхности тела. Обозначается $F_A$ и направлена вертикально вверх.

Ответ: Взаимодействующие тела: Земля, нить, вода. Силы, действующие на брусок: сила тяжести ($F_{тяж}$), сила натяжения нити ($F_{упр}$) и выталкивающая сила ($F_A$).

Изобразите эти силы графически.

Поскольку брусок находится в состоянии покоя, он находится в равновесии. По первому закону Ньютона, это означает, что векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось это условие можно записать в виде равенства модулей сил, направленных вверх, и сил, направленных вниз:

$F_{упр} + F_A = F_{тяж}$

Графически силы, действующие на брусок, изображаются в виде векторов (стрелок), приложенных к одной точке (чаще всего к центру масс тела). Направление векторов соответствует направлению сил, а их относительные длины должны отражать соотношение между модулями сил.

На рисунке показаны три силы, приложенные к центру масс бруска. Сила тяжести $F_{тяж}$ направлена вниз. Сила натяжения нити $F_{упр}$ и выталкивающая сила $F_A$ направлены вверх. Для наглядности векторы $F_{упр}$ и $F_A$ изображены немного смещенными по горизонтали. Длина вектора $F_{тяж}$ равна сумме длин векторов $F_{упр}$ и $F_A$.

Ответ: Графическое изображение сил представлено на рисунке выше, где соблюдено условие равновесия: сумма сил, направленных вверх, уравновешивает силу, направленную вниз ($F_{упр} + F_A = F_{тяж}$).

27.28 [623] Деревянный шар плавает на поверхности воды (рис. III-93). Назовите силы, действующие на шар. Изобразите эти силы графически.

Рис. III-93

Решение:

На деревянный шар, который плавает на поверхности воды, действуют две основные силы.

1. Сила тяжести ($\vec{F_т}$). Эта сила является результатом гравитационного притяжения шара к Земле. Она всегда направлена строго вертикально вниз и приложена к центру масс шара. Поскольку шар можно считать однородным, его центр масс совпадает с его геометрическим центром. Величина силы тяжести вычисляется по формуле $F_т = mg$, где $m$ – это масса шара, а $g$ – ускорение свободного падения.

2. Выталкивающая сила (также известная как сила Архимеда, $\vec{F_А}$). Эта сила возникает со стороны жидкости (в данном случае воды) и действует на любую погруженную в нее часть тела. Сила Архимеда направлена вертикально вверх и приложена к центру объема погруженной части тела (этот центр называют центром водоизмещения). По закону Архимеда, модуль этой силы равен весу вытесненной жидкости: $F_А = \rho_{воды} g V_{погр}$, где $\rho_{воды}$ – это плотность воды, а $V_{погр}$ – объем той части шара, которая находится под водой.

Согласно условию задачи, шар плавает, то есть он находится в состоянии покоя (в равновесии). Из первого закона Ньютона следует, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Таким образом, сила тяжести, действующая на шар, уравновешивается выталкивающей силой: $$ \vec{F_т} + \vec{F_А} = 0 $$ Это означает, что в проекции на вертикальную ось модули этих сил равны друг другу: $$ F_т = F_А $$

Графически эти силы можно изобразить в виде двух векторов, как показано на рисунке ниже. Вектор силы тяжести $\vec{F_т}$ направлен вниз от центра шара. Вектор выталкивающей силы $\vec{F_А}$ направлен вверх от центра погруженной части шара. Поскольку силы равны по модулю, длины этих векторов на схеме должны быть одинаковыми.

Ответ:

На деревянный шар, плавающий на поверхности воды, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_т}$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $\vec{F_А}$, направленная вертикально вверх. Поскольку шар находится в равновесии (плавает), эти силы компенсируют друг друга, то есть они равны по модулю ($F_т = F_А$) и противоположны по направлению. Графическое изображение сил представлено на рисунке выше.

27.29* [624*] Стальной брусок, вес которого 15,6 Н, прикрепили к пружине и погрузили в воду (см. рис. III-92). Определите значение и направление силы натяжения пружины.

Рис. III-92

Дано:

Вес стального бруска в воздухе $P = 15,6$ Н

Брусок погружен в воду.

Плотность стали (справочное значение) $\rho_{ст} = 7800$ кг/м³

Плотность воды (справочное значение) $\rho_{в} = 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ Н/кг

Найти:

Силу натяжения пружины $F_{упр}$ и ее направление.

Решение:

На брусок, погруженный в воду и находящийся в равновесии, действуют три силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз; выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_А$, направленная вертикально вверх; и сила упругости (натяжения) пружины $F_{упр}$.

По определению, вес тела $P$ в воздухе равен силе тяжести, действующей на него, поэтому $F_т = P = 15,6$ Н.

Запишем условие равновесия для бруска в проекции на вертикальную ось, направив ее вверх. Поскольку плотность стали ($7800$ кг/м³) больше плотности воды ($1000$ кг/м³), сила тяжести будет больше выталкивающей силы. Следовательно, чтобы брусок был в равновесии, пружина должна быть растянута и тянуть его вверх. Сила упругости $F_{упр}$ направлена вверх. Условие равновесия:

$F_{упр} + F_A - F_т = 0$

Отсюда сила натяжения пружины равна:

$F_{упр} = F_т - F_A$

Выталкивающая сила $F_A$ определяется по формуле:

$F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot V$

где $\rho_{в}$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $V$ — объем бруска (так как он погружен полностью).

Объем бруска можно найти, зная его силу тяжести и плотность стали:

$F_т = m \cdot g = \rho_{ст} \cdot V \cdot g$

Из этой формулы выразим объем:

$V = \frac{F_т}{\rho_{ст} \cdot g}$

Теперь подставим выражение для объема в формулу для силы Архимеда, чтобы связать ее с силой тяжести:

$F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot \left( \frac{F_т}{\rho_{ст} \cdot g} \right) = F_т \cdot \frac{\rho_{в}}{\rho_{ст}}$

Рассчитаем числовое значение выталкивающей силы, используя справочные значения плотностей:

$F_A = 15,6 \, \text{Н} \cdot \frac{1000 \, \text{кг/м³}}{7800 \, \text{кг/м³}} = 15,6 \cdot \frac{1}{7,8} \, \text{Н} = 2,0 \, \text{Н}$

Теперь мы можем найти силу натяжения пружины:

$F_{упр} = F_т - F_A = 15,6 \, \text{Н} - 2,0 \, \text{Н} = 13,6 \, \text{Н}$

Полученное значение силы натяжения положительно, что подтверждает наше предположение о том, что сила направлена вверх.

Ответ: сила натяжения пружины равна $13,6$ Н, направлена вертикально вверх.

27.30 [625] Вычислите выталкивающую силу, действующую на гранитную глыбу, которая при полном погружении в воду вытесняет $0.8 \text{ м}^3$ воды.

Дано:

Объем вытесненной воды (равный объему погруженной части глыбы), $V = 0,8 \, м^3$
Плотность воды, $\rho_в \approx 1000 \, кг/м^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \, Н/кг$

Все данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

Выталкивающую силу (силу Архимеда) $F_A$

Решение:

Выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, определяется по закону Архимеда. Она равна весу жидкости, вытесненной телом. Формула для расчета силы Архимеда ($F_A$) выглядит следующим образом:

$F_A = \rho_{жидкости} \cdot g \cdot V_{погр}$

где:

• $\rho_{жидкости}$ – плотность жидкости (в данном случае воды, $\rho_в = 1000 \, кг/м^3$);
• $g$ – ускорение свободного падения (принимаем $g \approx 10 \, Н/кг$);
• $V_{погр}$ – объем погруженной части тела.

Из условия задачи известно, что гранитная глыба полностью погружена в воду и вытесняет объем воды $0,8 \, м^3$. Следовательно, объем погруженной части глыбы $V_{погр}$ равен объему вытесненной воды:

$V_{погр} = 0,8 \, м^3$

Теперь подставим все известные значения в формулу для силы Архимеда:

$F_A = 1000 \, \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \, \frac{Н}{кг} \cdot 0,8 \, м^3$

$F_A = 10000 \cdot 0,8 \, Н = 8000 \, Н$

Полученное значение можно также выразить в килоньютонах (кН):

$8000 \, Н = 8 \, кН$

Ответ: выталкивающая сила, действующая на гранитную глыбу, равна $8000 \, Н$ (или $8 \, кН$).

27.31 [626] Железобетонная плита размерами $3,5 \times 1,5 \times 0,2$ м полностью погружена в воду. Вычислите архимедову силу, действующую на плиту.

27.31 [626]

Дано:

длина плиты $l = 3,5$ м
ширина плиты $w = 1,5$ м
высота плиты $h = 0,2$ м
плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг/м³
ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ Н/кг

Найти:

Архимедову силу $F_A$.

Решение:

Архимедова (выталкивающая) сила, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ, равна весу жидкости в объеме погруженной части тела. Она вычисляется по формуле: $F_A = \rho_ж \cdot g \cdot V_{погруж}$ где $\rho_ж$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{погруж}$ — объем погруженной в жидкость части тела.

Согласно условию задачи, железобетонная плита полностью погружена в воду. Это означает, что объем погруженной части тела равен полному объему плиты ($V_{погруж} = V$).

Плита имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому ее объем $V$ можно найти как произведение ее длины, ширины и высоты: $V = l \cdot w \cdot h$

Подставим числовые значения и вычислим объем плиты: $V = 3,5 \text{ м} \cdot 1,5 \text{ м} \cdot 0,2 \text{ м} = 5,25 \text{ м}^2 \cdot 0,2 \text{ м} = 1,05 \text{ м}^3$

Теперь, зная объем плиты, мы можем рассчитать архимедову силу. В качестве плотности жидкости $\rho_ж$ используем плотность пресной воды $\rho_в = 1000$ кг/м³. $F_A = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 1,05 \text{ м}^3 = 10290 \text{ Н}$

Для удобства можно перевести результат в килоньютоны (кН), учитывая, что $1 \text{ кН} = 1000 \text{ Н}$: $10290 \text{ Н} = 10,29 \text{ кН}$

Ответ: архимедова сила, действующая на плиту, равна $10290$ Н (или $10,29$ кН).

27.32 [627] Железобетонная плита размерами $4 \times 0,3 \times 0,25$ м погружена в воду на половину своего объёма. Чему равна выталкивающая сила, действующая на плиту?

Дано:

Размеры плиты: $l = 4$ м, $w = 0,3$ м, $h = 0,25$ м
Плотность воды, $\rho_{в} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

Выталкивающую силу $F_{А}$

Решение:

Выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость (сила Архимеда), определяется по формуле: $F_{А} = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{п.ч.т.}$ где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{п.ч.т.}$ — объем погруженной части тела.

1. Сначала вычислим полный объем железобетонной плиты. Так как плита имеет форму прямоугольного параллелепипеда, ее объем $V$ равен произведению ее длины, ширины и высоты: $V = l \cdot w \cdot h$ $V = 4 \text{ м} \cdot 0,3 \text{ м} \cdot 0,25 \text{ м} = 0,3 \text{ м}^3$

2. По условию задачи, плита погружена в воду на половину своего объема. Следовательно, объем погруженной части плиты $V_{п.ч.т.}$ составляет: $V_{п.ч.т.} = \frac{1}{2} V = \frac{1}{2} \cdot 0,3 \text{ м}^3 = 0,15 \text{ м}^3$

3. Теперь можем рассчитать выталкивающую силу, подставив известные значения в формулу силы Архимеда. Плотность воды $\rho_{в}$ принимаем равной $1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. $F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{п.ч.т.}$ $F_{А} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0,15 \text{ м}^3 = 1470 \text{ Н}$

Для удобства можно перевести результат в килоньютоны (кН), зная, что $1 \text{ кН} = 1000 \text{ Н}$: $F_{А} = \frac{1470}{1000} \text{ кН} = 1,47 \text{ кН}$

Ответ: выталкивающая сила, действующая на плиту, равна $1470 \text{ Н}$ (или $1,47 \text{ кН}$).