Страница 95 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

27.4 [н] Почему мыльный пузырь опускается медленно на землю, а капля мыльного раствора с такой же массой — быстро?

Решение

На оба тела (мыльный пузырь и каплю) во время падения в воздухе действуют три силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз, а также выталкивающая сила Архимеда $F_A$ и сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, направленные вертикально вверх.

Согласно условию задачи, массы тел одинаковы ($m_{пузыря} = m_{капли} = m$), следовательно, действующая на них сила тяжести также одинакова: $F_т = mg$.

Разница в скорости падения обусловлена различием двух других сил, которые зависят от геометрических размеров тел.

1. Объем и выталкивающая сила. Мыльный пузырь — это тонкая сферическая пленка жидкости, заполненная воздухом. При той же массе, что и у капли, пузырь имеет значительно больший объем ($V_{пузыря} \gg V_{капли}$). Выталкивающая сила прямо пропорциональна объему тела ($F_A = \rho_{воздуха}gV$). Следовательно, выталкивающая сила, действующая на пузырь, намного больше, чем на каплю. Эта сила противодействует силе тяжести и замедляет падение.

2. Площадь поперечного сечения и сила сопротивления воздуха. Мыльный пузырь имеет гораздо большую площадь поперечного сечения ($S_{пузыря} \gg S_{капли}$). Сила сопротивления воздуха зависит от этой площади и квадрата скорости ($F_{сопр} \propto S v^2$). Из-за большой площади пузырь испытывает значительное сопротивление воздуха даже при небольшой скорости.

Падение тела становится равномерным (происходит с постоянной, так называемой установившейся скоростью), когда равнодействующая всех сил становится равной нулю. Это происходит, когда сила тяжести уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы сопротивления:

$F_т = F_A + F_{сопр}$

В случае мыльного пузыря, большие значения $F_A$ и $F_{сопр}$ (даже при малой скорости) быстро уравновешивают силу тяжести. Поэтому его установившаяся скорость падения мала.

В случае капли, выталкивающая сила $F_A$ и площадь поперечного сечения $S$ малы. Чтобы сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$ выросла до значения, способного в сумме с $F_A$ уравновесить силу тяжести, капля должна развить значительно большую скорость.

Ответ: При одинаковой массе мыльный пузырь имеет значительно больший объем и большую площадь поперечного сечения, чем капля. Поэтому на пузырь действуют гораздо большие выталкивающая сила и сила сопротивления воздуха. Эти две силы в сумме уравновешивают силу тяжести уже при очень малой скорости падения, в то время как капле для достижения такого равновесия сил необходимо набрать большую скорость.

27.5 [607] В сосуд на разную глубину погружены три железных шарика равных объёмов (рис. III-86). Одинаковы ли силы, выталкивающие шарики? (Вследствие слабой сжимаемости плотность жидкости на любой глубине считайте одинаковой.)¹

Рис. III-86

Дано:

Три железных шарика.
Объемы шариков одинаковы: $V_1 = V_2 = V_3 = V$.
Шарики полностью погружены в жидкость на разную глубину.
Плотность жидкости $\rho_{ж}$ постоянна и не зависит от глубины.

Найти:

Сравнить выталкивающие силы (силы Архимеда), действующие на шарики: $F_{А1}$, $F_{А2}$, $F_{А3}$.

Решение:

На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила (сила Архимеда), которая определяется по формуле:

$F_А = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{п.ч.т.}$

где $\rho_{ж}$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, $V_{п.ч.т.}$ – объем погруженной части тела.

Согласно условию задачи, все три шарика полностью погружены в жидкость. Это значит, что объем погруженной части каждого шарика равен его полному объему. Так как объемы всех шариков равны между собой ($V_1 = V_2 = V_3 = V$), то и объемы вытесненной ими жидкости также будут одинаковы:

$V_{п.ч.т.1} = V_{п.ч.т.2} = V_{п.ч.т.3} = V$

В условии также указано, что плотность жидкости $\rho_{ж}$ следует считать одинаковой на любой глубине. Ускорение свободного падения $g$ также является постоянной величиной.

Следовательно, все три величины, от которых зависит сила Архимеда ($\rho_{ж}$, $g$ и $V_{п.ч.т.}$), одинаковы для каждого из трех шариков. Таким образом, и выталкивающие силы, действующие на них, будут равны.

$F_{А1} = \rho_{ж} \cdot g \cdot V$

$F_{А2} = \rho_{ж} \cdot g \cdot V$

$F_{А3} = \rho_{ж} \cdot g \cdot V$

Из этого следует, что $F_{А1} = F_{А2} = F_{А3}$. Глубина погружения тела не влияет на величину выталкивающей силы, если тело полностью погружено и плотность жидкости постоянна.

Ответ: Силы, выталкивающие шарики, одинаковы.

27.6 [608] Свинцовая дробинка опускается с постоянной скоростью на дно сосуда, наполненного маслом. Какие силы действуют на дробинку?

Решение

На свинцовую дробинку, опускающуюся с постоянной скоростью в сосуде с маслом, действуют следующие силы:

1. Сила тяжести ($F_т$). Эта сила обусловлена притяжением дробинки к Земле. Она всегда направлена вертикально вниз к центру Земли. Рассчитывается по формуле $F_т = mg$, где $m$ – масса дробинки.

2. Выталкивающая сила (сила Архимеда, $F_А$). Поскольку дробинка погружена в жидкость (масло), на нее действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. По закону Архимеда, ее величина равна весу масла в объеме, занимаемом дробинкой: $F_А = \rho_{масла}gV$, где $\rho_{масла}$ – плотность масла, а $V$ – объем дробинки.

3. Сила сопротивления среды ($F_с$). При движении тела в вязкой среде, какой является масло, возникает сила сопротивления, которая препятствует этому движению. Эта сила направлена в сторону, противоположную вектору скорости. Так как дробинка опускается вниз, сила сопротивления направлена вертикально вверх.

Согласно условию задачи, дробинка движется с постоянной скоростью. По первому закону Ньютона, это означает, что ускорение дробинки равно нулю ($a = 0$), а следовательно, векторная сумма всех действующих на нее сил также равна нулю. В проекции на вертикальную ось силы, направленные вверх, уравновешивают силу, направленную вниз:

$F_т = F_А + F_с$

Таким образом, сила тяжести, действующая на дробинку, уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы сопротивления среды.

Ответ: на дробинку действуют три силы: сила тяжести (направлена вертикально вниз), выталкивающая сила или сила Архимеда (направлена вертикально вверх) и сила сопротивления среды (направлена вертикально вверх).

27.7 [н] Сколько процентов составляет архимедова сила, действующая на человека в воздушной атмосфере вблизи земной поверхности, от веса, вычисленного по формуле $P = mg$? (Плотность тела человека примите равной $1036 \text{ кг/м}^3$.)1

Дано:

Плотность тела человека: $\rho_{ч} = 1036 \text{ кг/м}^3$

Плотность воздуха при нормальных условиях (справочное значение): $\rho_{в} \approx 1.29 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$\frac{F_A}{P} \cdot 100\%$

Решение:

Вес человека $P$ вычисляется по формуле $P = mg$, где $m$ — масса человека, а $g$ — ускорение свободного падения. Массу человека можно выразить через его плотность $\rho_{ч}$ и объем $V$ как $m = \rho_{ч}V$. Таким образом, вес равен:

$P = \rho_{ч}Vg$

Архимедова сила $F_A$, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ, равна весу вытесненного объема жидкости или газа. Для человека в воздухе она вычисляется по формуле:

$F_A = \rho_{в}gV$

где $\rho_{в}$ — плотность воздуха, а $V$ — объем тела человека.

Чтобы найти, какую долю в процентах составляет архимедова сила от веса, необходимо найти их отношение и умножить на 100%:

$\frac{F_A}{P} \cdot 100\% = \frac{\rho_{в}gV}{\rho_{ч}gV} \cdot 100\%$

В этом выражении ускорение свободного падения $g$ и объем тела $V$ сокращаются. В результате отношение зависит только от плотностей воздуха и тела человека:

$\frac{F_A}{P} \cdot 100\% = \frac{\rho_{в}}{\rho_{ч}} \cdot 100\%$

Подставим числовые значения в формулу:

$\frac{1.29 \text{ кг/м}^3}{1036 \text{ кг/м}^3} \cdot 100\% \approx 0.00124517 \cdot 100\% \approx 0.124517\%$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: архимедова сила составляет примерно $0.125\%$ от веса человека.

27.8 [н] На уроке физики ученик дал такое определение закона Архимеда: «Выталкивающая сила, действующая на погружённое в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной этим телом». Что бы вы добавили к этому определению?

Решение

Определение, которое дал ученик, является классической и в целом верной формулировкой закона Архимеда. Однако для более полного и строгого понимания этого физического закона его можно дополнить несколькими важными уточнениями.

1. Направление силы
В определении используется термин «выталкивающая сила», который интуитивно понятен, но для физической строгости необходимо явно указать направление действия этой силы. Следует добавить, что сила Архимеда направлена вертикально вверх, то есть противоположно силе тяжести, действующей на тело. Это является фундаментальным свойством, объясняющим, почему тела в жидкости или газе теряют в весе или даже плавают.

2. Уточнение объема
Формулировка «весу жидкости..., вытесненной этим телом» корректна, но ее можно конкретизировать. Объем вытесненной жидкости равен объему погруженной части тела. Это уточнение особенно важно для плавающих тел, которые погружены в жидкость лишь частично. Для полностью погруженного тела объем вытесненной жидкости равен всему объему тела. Таким образом, формула для расчета силы Архимеда $F_A$ имеет вид: $F_A = \rho_ж g V_п$, где $\rho_ж$ – плотность жидкости или газа, $g$ – ускорение свободного падения, а $V_п$ – объем погруженной части тела.

3. Причина возникновения силы
Для более глубокого понимания закона можно было бы добавить объяснение физической причины возникновения выталкивающей силы. Она возникает из-за того, что давление внутри жидкости или газа увеличивается с глубиной. Вследствие этого сила давления, действующая на нижнюю поверхность погруженного тела, оказывается больше, чем сила давления, действующая на его верхнюю поверхность. Разность этих сил и создает результирующую выталкивающую силу, направленную вверх.

Ответ: К приведенному определению стоит добавить, что выталкивающая сила направлена вертикально вверх. Также полезно уточнить, что ее величина определяется весом жидкости в объеме погруженной части тела, и объяснить, что причиной возникновения этой силы является разность давлений жидкости на разных глубинах.

27.9 [н] Существованием какой силы изначально обусловлено наличие архимедовой силы?

27.9 [н]

Решение

Наличие архимедовой силы (выталкивающей силы), действующей на тело, погруженное в жидкость или газ, изначально обусловлено существованием силы тяжести.

Рассмотрим детально, как это происходит:

1. Сила тяжести действует на все молекулы жидкости или газа, придавая им вес. В результате этого верхние слои среды давят на нижние.

2. Это давление, называемое гидростатическим, передается во все стороны и увеличивается с глубиной. Давление $p$ на глубине $h$ в жидкости плотностью $\rho$ можно рассчитать по формуле: $p = \rho g h$. В этой формуле $g$ — это ускорение свободного падения, которое является прямой характеристикой силы тяжести.

3. Когда тело погружается в жидкость, на его поверхность действуют силы давления со стороны жидкости. Так как давление на нижнюю часть тела (находящуюся на большей глубине) больше, чем давление на верхнюю часть, то и сила давления, действующая на тело снизу, будет больше силы давления, действующей сверху.

4. Разница этих сил и создает результирующую выталкивающую силу, направленную вертикально вверх. Эта сила и есть сила Архимеда.

Таким образом, если бы не было силы тяжести (например, в условиях невесомости, где $g=0$), то жидкость не имела бы веса, гидростатическое давление не возникало бы, и, как следствие, не существовало бы и архимедовой силы.

Ответ: существованием силы тяжести.

27.10 [н] Можно ли утверждать, что сила Архимеда равна результирующей силе гидростатического давления по модулю и направлению?

Решение

Да, можно утверждать. По своему определению, сила Архимеда — это и есть результирующая всех сил давления, которые жидкость или газ оказывают на поверхность погруженного в них тела.

Природа возникновения этой силы заключается в следующем. В жидкости или газе существует гидростатическое давление, которое увеличивается с глубиной. Для несжимаемой жидкости на глубине $h$ давление равно $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, а $g$ — ускорение свободного падения (здесь мы не учитываем давление на поверхности жидкости).

Когда тело погружено в жидкость, на разные точки его поверхности действуют разные силы давления, так как они находятся на разной глубине. Сила давления на элемент поверхности всегда направлена перпендикулярно этому элементу.

Так как нижние части тела находятся на большей глубине, чем верхние, давление на них больше. Векторное сложение всех сил давления, действующих на поверхность тела, дает ненулевую результирующую силу. Горизонтальные составляющие сил давления, действующие на боковые поверхности, взаимно компенсируют друг друга. Вертикальные составляющие создают результирующую силу, направленную вверх, так как сила давления на нижнюю часть тела больше, чем на верхнюю.

Эта результирующая сила и называется силой Архимеда. Таким образом, сила Архимеда по определению является результирующей силой гидростатического давления, а значит, она равна ей и по модулю, и по направлению.

Ответ: да, можно утверждать, что сила Архимеда равна результирующей силе гидростатического давления по модулю и по направлению, поскольку это является ее физическим определением.

27.11 [н] В кабине космического корабля тела находятся в воздухе. Действует ли на них архимедова сила? Ответ обоснуйте.

Решение

Архимедова сила, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ, определяется как вес вытесненной телом жидкости или газа. Формула для расчета архимедовой силы имеет вид:

$F_A = \rho_{ср} \cdot g \cdot V_{т}$

где $\rho_{ср}$ — это плотность среды (в данном случае воздуха), $V_{т}$ — объем погруженной части тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

Причиной возникновения этой силы является разность гидростатического давления на разных глубинах. Давление в нижней части тела оказывается больше, чем в верхней, из-за веса столба жидкости или газа.

В кабине космического корабля, который движется по орбите, наблюдается состояние невесомости. Это означает, что и сам корабль, и все находящиеся в нем объекты (включая воздух) находятся в состоянии непрерывного свободного падения. В таких условиях ускорение свободного падения $g$ эффективно равно нулю ($g \approx 0$).

Если подставить это значение в формулу для архимедовой силы, то получим:

$F_A = \rho_{возд} \cdot 0 \cdot V_{т} = 0$

Поскольку в невесомости воздух, как и все остальные тела, не имеет веса, он не может оказывать выталкивающее действие. Давление воздуха во всех точках кабины становится одинаковым, и разность давлений, порождающая архимедову силу, исчезает.

Ответ: Нет, на тела в кабине космического корабля, находящегося в состоянии невесомости, архимедова сила не действует. Это связано с тем, что в условиях невесомости (свободного падения) ускорение свободного падения $g$ фактически равно нулю, а значит, и сила Архимеда, прямо пропорциональная $g$, также равна нулю.

27.12 [д. 104] Почему потерпевшую аварию подводную лодку труднее поднять с илистого дна, чем с каменистого, при одинаковой глубине погружения?

Для подъема подводной лодки со дна необходимо приложить силу, которая как минимум превысит разность между силой тяжести, действующей на лодку, и выталкивающей силой (силой Архимеда). Однако условия на дне вносят существенные коррективы в величину необходимой подъемной силы. Разница между подъемом с илистого и каменистого дна объясняется двумя основными физическими явлениями: разностью давлений и силами межмолекулярного сцепления.

На каменистом дне корпус подводной лодки опирается на твердые камни. Между корпусом и дном остаются многочисленные зазоры и каналы, по которым свободно циркулирует вода. Когда начинается подъем, вода беспрепятственно поступает под корпус лодки. Давление воды под лодкой практически мгновенно выравнивается с давлением окружающей воды на той же глубине. Таким образом, для отрыва лодки от дна нужно преодолеть в основном ее "остаточный вес" в воде, то есть разность силы тяжести $F_т$ и архимедовой силы $F_А$: $F_{подъема} \ge F_т - F_А$.

На илистом дне ситуация кардинально иная. Мягкий и вязкий ил плотно облегает корпус лодки, часто "засасывая" ее, и создает герметичное соединение. При попытке подъема происходят следующие процессы:
1. Эффект "присоски" (разность давлений). Когда подъемный трос натягивается и пытается оторвать лодку от дна, под ее корпусом образуется область разреженного пространства. Вода не может быстро заполнить это пространство из-за вязкости и плотности ила. В то же время на верхнюю часть корпуса продолжает давить вся толща воды, создавая огромное давление $P = \rho g h$. Возникает значительная разность давлений над и под лодкой, которая создает дополнительную огромную силу, прижимающую лодку ко дну. Эту силу $F_{давл}$ можно оценить как $F_{давл} = \Delta P \cdot S$, где $S$ — площадь контакта с илом, а $\Delta P$ — разность давлений.
2. Силы адгезии (сцепления). Ил состоит из мелких частиц, воды и органических веществ. Между частицами ила и материалом корпуса лодки возникают значительные силы межмолекулярного сцепления (адгезии). Чтобы оторвать лодку, необходимо преодолеть эти силы, что требует дополнительного усилия.

Таким образом, при подъеме с илистого дна подъемная сила должна преодолеть не только остаточный вес лодки в воде, но и дополнительную силу, создаваемую разностью давлений, а также силы сцепления с илом.

Ответ: При подъеме подводной лодки с илистого дна возникает эффект "присоски": под дном лодки создается область пониженного давления, в то время как сверху на нее давит вся толща воды. Это создает огромную дополнительную силу, прижимающую лодку ко дну. Кроме того, вязкий ил "прилипает" к корпусу за счет сил межмолекулярного сцепления. На каменистом дне эти эффекты отсутствуют, так как вода свободно проникает под корпус, выравнивая давление.

27.13 [н] Плоская бетонная плита лежит горизонтально на илистом дне водоёма. Действует ли на плиту архимедова сила? Какие силы действуют на плиту и как они направлены?

Действует ли на плиту архимедова сила?

Архимедова (выталкивающая) сила возникает из-за разности давлений жидкости на нижнюю и верхнюю поверхности погруженного в неё тела. Давление в жидкости увеличивается с глубиной, поэтому сила давления на нижнюю поверхность тела больше, чем на верхнюю. Эта разность сил и создает выталкивающую силу, направленную вверх.

В условии задачи плита лежит на илистом дне. Если предположить, что плита прилегает ко дну плотно и вода не может проникнуть в зазор между плитой и дном, то на нижнюю поверхность плиты вода давить не будет. В то же время на верхнюю поверхность плиты давит столб воды, создавая силу, направленную вертикально вниз.

Таким образом, отсутствует главный компонент, создающий выталкивающую силу — давление жидкости на нижнюю поверхность. Следовательно, в этом случае архимедова сила на плиту не действует.

Ответ: Нет, на плиту не действует архимедова сила, так как из-за плотного прилегания ко дну под плитой нет воды, которая могла бы создавать давление, направленное вверх.

Какие силы действуют на плиту и как они направлены?

На плиту, находящуюся в равновесии на дне водоёма, действуют следующие силы:

1. Сила тяжести ($F_т$). Она приложена к центру масс плиты и направлена вертикально вниз.

2. Сила давления воды ($F_{давл}$). Она действует на верхнюю грань плиты и направлена вертикально вниз. Её модуль равен произведению гидростатического давления воды на глубине нахождения плиты на площадь её верхней грани.

3. Сила нормальной реакции опоры ($N$). Она действует со стороны дна на нижнюю грань плиты и направлена вертикально вверх, перпендикулярно поверхности дна.

Поскольку плита находится в покое, эти силы уравновешивают друг друга. Сила реакции опоры, направленная вверх, по модулю равна сумме сил, направленных вниз: $N = F_т + F_{давл}$.

Ответ: На плиту действуют три силы: сила тяжести (направлена вниз), сила давления воды на верхнюю поверхность (направлена вниз) и сила нормальной реакции опоры со стороны дна (направлена вверх).

$27.14^0$ $[609^0]$ К чашам рычажных весов подвешены две гири равного веса: фарфоровая и железная. Нарушится ли равновесие весов, если гири опустить в воду?

Дано:

Вес фарфоровой гири: $P_ф$
Вес железной гири: $P_ж$
$P_ф = P_ж$ (в воздухе)
Плотность фарфора: $\rho_ф$
Плотность железа: $\rho_ж$
Плотность воды: $\rho_в$

Найти:

Нарушится ли равновесие весов, если гири опустить в воду?

Решение:

Изначально рычажные весы находятся в равновесии. Это означает, что силы, действующие на чаши весов, равны. В воздухе (пренебрегая выталкивающей силой воздуха) на гири действует только сила тяжести, которая и определяет их вес.

$P_ф = P_ж$

Поскольку вес $P$ связан с массой $m$ соотношением $P = mg$, где $g$ — ускорение свободного падения, равенство весов означает и равенство масс гирь:

$m_ф g = m_ж g \implies m_ф = m_ж = m$

Теперь рассмотрим, что произойдет, когда гири опустят в воду. На каждую гирю, погруженную в жидкость, начнет действовать выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Эта сила уменьшит вес каждой гири. Новый, "кажущийся" вес $P'$ будет равен разности между силой тяжести и силой Архимеда $F_A$:

$P' = P - F_A = mg - F_A$

Сила Архимеда определяется по формуле:

$F_A = \rho_в g V$, где $\rho_в$ — плотность воды, а $V$ — объем погруженного тела.

Для равновесия весов в воде необходимо, чтобы кажущиеся веса гирь были равны:

$P'_ф = P'_ж$

$m_ф g - F_{A,ф} = m_ж g - F_{A,ж}$

Так как массы гирь равны ($m_ф = m_ж$), условие равновесия сводится к равенству выталкивающих сил:

$F_{A,ф} = F_{A,ж}$

$\rho_в g V_ф = \rho_в g V_ж \implies V_ф = V_ж$

Таким образом, равновесие сохранится только в том случае, если объемы гирь одинаковы. Выразим объемы гирь через их массу $m$ и плотность $\rho$:

$V = m / \rho$

$V_ф = m / \rho_ф$
$V_ж = m / \rho_ж$

Сравним плотности материалов. Плотность железа ($\rho_ж \approx 7800 \text{ кг/м}^3$) значительно больше плотности фарфора ($\rho_ф \approx 2300 \text{ кг/м}^3$).

$\rho_ж > \rho_ф$

Поскольку массы гирь одинаковы, а плотности различны, то их объемы также будут различны. Тело с меньшей плотностью (фарфор) будет иметь больший объем:

$V_ф > V_ж$

Раз объемы гирь не равны, то и выталкивающие силы, действующие на них в воде, не будут равны. На гирю с большим объемом (фарфоровую) будет действовать большая выталкивающая сила:

$F_{A,ф} > F_{A,ж}$

Это означает, что вес фарфоровой гири уменьшится сильнее, чем вес железной. Кажущийся вес железной гири станет больше кажущегося веса фарфоровой:

$P'_ж > P'_ф$

В результате равновесие весов нарушится. Чаша с железной гирей опустится вниз, а чаша с фарфоровой гирей поднимется.

Ответ: Да, равновесие весов нарушится. Чаша с железной гирей перевесит, так как на фарфоровую гирю, имеющую больший объем при той же массе, действует большая выталкивающая сила.