Страница 89 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

25.29 [568] На рисунке III-65 представлен один и тот же стратостат на различных высотах над землёй. Какому из положений стратостата соответствует большая высота подъёма? На основании чего вы делаете вывод?

Рис. III-65

Решение

При подъёме стратостата на большую высоту внешнее атмосферное давление уменьшается, так как воздух становится более разреженным. Оболочка стратостата является эластичной, поэтому газ, находящийся внутри (например, гелий или водород), расширяется до тех пор, пока его давление практически не сравняется с давлением окружающего воздуха.

Согласно закону Бойля — Мариотта, для определённой массы газа при постоянной температуре его объём ($V$) обратно пропорционален давлению ($P$):

$P \cdot V = \text{const}$

Это означает, что при уменьшении внешнего атмосферного давления газ внутри стратостата будет расширяться, и объём оболочки увеличится.

На рисунке справа стратостат имеет больший объём, он более раздутый, чем стратостат на рисунке слева. Больший объём свидетельствует о том, что газ внутри него находится под меньшим давлением. Меньшее внешнее давление соответствует большей высоте.

Ответ: большей высоте подъёма соответствует положение стратостата, изображённое справа. Вывод сделан на основании того, что с увеличением высоты уменьшается атмосферное давление, что приводит к расширению газа в оболочке стратостата и, как следствие, к увеличению его объёма.

25.30 [569] Можно ли для опыта Торричелли воспользоваться трубками, изображёнными на рисунке III-66? (Длина самой короткой из них 1 м.)

Рис. III-66

Дано:

$L_{min} = 1 \text{ м}$ (длина самой короткой трубки)
Опыт проводится с ртутью при нормальном атмосферном давлении.
$P_{атм} \approx 101325 \text{ Па}$ (нормальное атмосферное давление)
$\rho_{рт} \approx 13600 \text{ кг/м}^3$ (плотность ртути)
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

Можно ли для опыта Торричелли воспользоваться трубками, изображёнными на рисунке?

Решение:

Опыт Торричелли заключается в уравновешивании столба ртути в запаянной с одного конца трубке давлением наружного воздуха. Высота этого столба при нормальном атмосферном давлении является постоянной величиной и не зависит от формы или диаметра трубки.

Давление, создаваемое столбом ртути, определяется по формуле: $P_{рт} = \rho_{рт} g h$ где $h$ — высота столба ртути.

В состоянии равновесия это давление равно атмосферному давлению $P_{атм}$: $P_{атм} = \rho_{рт} g h$

Отсюда можно выразить высоту столба ртути, которую должно поддерживать атмосферное давление: $h = \frac{P_{атм}}{\rho_{рт} g}$

Подставим числовые значения для нормальных условий: $h = \frac{101325 \text{ Па}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx 0.76 \text{ м}$

Таким образом, для проведения опыта необходима трубка, длина которой превышает 0.76 м, чтобы над столбиком ртути могла образоваться торричеллиева пустота. По условию, длина самой короткой из предложенных трубок составляет 1 м, что удовлетворяет этому требованию ($1 \text{ м} > 0.76 \text{ м}$).

Согласно закону Паскаля и основному принципу гидростатики, давление в жидкости на определенной глубине зависит только от высоты столба жидкости и ее плотности, но не зависит от формы сосуда. Поэтому изгибы, наклоны или расширения трубок не повлияют на вертикальную высоту столба ртути, которую уравновешивает атмосферное давление. Во всех четырех трубках ртуть установится на одной и той же вертикальной высоте, равной примерно 76 см.

Ответ: Да, можно. Все трубки имеют достаточную длину (более 76 см), а их форма не влияет на высоту столба ртути в опыте Торричелли, которая определяется только величиной атмосферного давления.

25.31 [570] Больше или меньше атмосферного давление газа в колбе на рисунке III-67? Чему равна разница в давлении между газом в сосуде и наружным воздухом, если разность уровней ртути в манометре равна 7 мм?

Рис. III-67

Больше или меньше атмосферного давление газа в колбе на рисунке III-67?

На рисунке изображен жидкостный U-образный манометр, который измеряет давление газа в колбе относительно атмосферного давления. Давление газа из колбы действует на поверхность ртути в левом колене манометра, а атмосферное давление — на поверхность ртути в правом колене, которое открыто.

Поскольку уровень ртути в левом колене, соединенном с колбой, находится ниже, чем в правом, это означает, что газ в колбе оказывает на жидкость большее давление, чем окружающий воздух. Таким образом, давление газа в колбе превышает атмосферное давление.

Ответ: Давление газа в колбе больше атмосферного.

Чему равна разница в давлении между газом в сосуде и наружным воздухом, если разность уровней ртути в манометре равна 7 мм?

Дано:

Для вычисления давления в Паскалях (СИ) переведем данные и используем справочные значения:

Найти:

Решение:

Разница давлений между газом в сосуде ($P_{газа}$) и наружным воздухом ($P_{атм}$) уравновешивается гидростатическим давлением столба ртути высотой $h$. Эту разницу давлений $\Delta P$ можно найти по формуле гидростатического давления:

$\Delta P = \rho_{рт} \cdot g \cdot h$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta P = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.007 \text{ м} = 932.96 \text{ Па}$

Округлим результат до целого значения: $\Delta P \approx 933 \text{ Па}$.

Также разницу давлений можно выразить во внесистемных единицах — миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.). В этом случае она численно равна разности уровней ртути в манометре.

$\Delta P = 7 \text{ мм рт. ст.}$

Ответ: Разница в давлении составляет 7 мм рт. ст., что приблизительно равно 933 Па.

25.32 [571] Через отверстие А насос откачивает воздух (рис. III-68). Почему при этом жидкости поднимаются по трубкам? Почему уровень керосина выше уровней воды и ртути? Высота столба керосина 900 мм. Чему равны высоты столбов воды и ртути?

Рис. III-68

Почему при этом жидкости поднимаются по трубкам?

Насос, подключенный к отверстию А, откачивает воздух из замкнутого пространства над поверхностями жидкостей в трубках. В результате этого давление воздуха внутри трубок $(p_{вн})$ становится ниже, чем атмосферное давление $(p_{атм})$, которое действует на открытую поверхность жидкостей в сосудах. Возникает разность давлений $(\Delta p = p_{атм} - p_{вн})$, под действием которой атмосферное давление выталкивает жидкости вверх по трубкам. Жидкости поднимаются до тех пор, пока вес столба жидкости, создающий гидростатическое давление $(p_{ж} = \rho g h)$, не уравновесит эту разность давлений.

Ответ: Жидкости поднимаются по трубкам из-за разности между атмосферным давлением снаружи и пониженным давлением внутри трубок, созданным насосом.

Почему уровень керосина выше уровней воды и ртути?

Высота, на которую поднимается жидкость, зависит от ее плотности. Давление, создаваемое столбом поднявшейся жидкости, уравновешивает одну и ту же разность давлений для всех трех трубок. Давление столба жидкости рассчитывается по формуле $p = \rho g h$, где $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота столба. Так как давление $p$ для всех трех столбов одинаково, то $p = \rho_к g h_к = \rho_в g h_в = \rho_р g h_р$ (индексы к, в, р обозначают керосин, воду и ртуть соответственно). Из этого равенства следует, что высота столба жидкости $h$ обратно пропорциональна ее плотности $\rho$. Плотности жидкостей следующие: плотность керосина $(\rho_к \approx 800 \text{ кг/м}^3)$ меньше плотности воды $(\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3)$, а плотность воды значительно меньше плотности ртути $(\rho_р \approx 13600 \text{ кг/м}^3)$. Следовательно, чем меньше плотность жидкости, тем на большую высоту она поднимется. Поэтому уровень керосина самый высокий, а ртути — самый низкий.

Ответ: Уровень керосина выше, потому что керосин имеет наименьшую плотность среди трех жидкостей, а высота столба жидкости при одинаковом давлении обратно пропорциональна ее плотности.

Высота столба керосина 900 мм. Чему равны высоты столбов воды и ртути?

Дано:
Высота столба керосина $h_к = 900 \text{ мм}$
Плотность керосина $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$
Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность ртути $\rho_р = 13600 \text{ кг/м}^3$

$h_к = 900 \text{ мм} = 0.9 \text{ м}$

Найти:
Высота столба воды $h_в - ?$
Высота столба ртути $h_р - ?$

Решение:

Давления, создаваемые столбами жидкостей, равны между собой, так как они уравновешивают одну и ту же разность давлений:

$p_к = p_в = p_р$

Используя формулу гидростатического давления $p = \rho g h$, получаем равенства:

$\rho_к g h_к = \rho_в g h_в$

$\rho_к g h_к = \rho_р g h_р$

Ускорение свободного падения $g$ сокращается. Выразим и найдем высоту столба воды $h_в$:

$h_в = h_к \frac{\rho_к}{\rho_в} = 0.9 \text{ м} \cdot \frac{800 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72 \text{ м} = 720 \text{ мм}$

Аналогично выразим и найдем высоту столба ртути $h_р$:

$h_р = h_к \frac{\rho_к}{\rho_р} = 0.9 \text{ м} \cdot \frac{800 \text{ кг/м}^3}{13600 \text{ кг/м}^3} \approx 0.9 \cdot 0.0588 \approx 0.053 \text{ м} = 53 \text{ мм}$

Ответ: высота столба воды равна $720 \text{ мм}$, высота столба ртути – приблизительно $53 \text{ мм}$.

25.33 [572] В один и тот же час в течение нескольких суток учащиеся одной из школ Санкт-Петербурга отмечали атмосферное давление и по полученным данным построили кривую суточного изменения давления (рис. III-69). Сколько дней вёлся учёт давления? Какое самое малое давление было отмечено? Каким было самое большое давление? (Выразите давление в гектопаскалях.) Сколько дней давление было выше нормального? На сколько изменилось давление между седьмыми и восьмыми сутками?

Ось Y: $p$, мм рт. ст.

Ось X: сут.

Рис. III-69

Дано:

График зависимости атмосферного давления $p$ (в мм рт. ст.) от времени $t$ (в сутках).
Нормальное атмосферное давление $p_н = 760$ мм рт. ст.

Перевод единиц давления в СИ (Паскали) и внесистемные единицы (гектопаскали):
$1 \text{ мм рт. ст.} \approx 133.322 \text{ Па}$
$1 \text{ гПа} = 100 \text{ Па}$
$p_н = 760 \text{ мм рт. ст.} = 760 \times 133.322 \text{ Па} \approx 101325 \text{ Па} = 1013.25 \text{ гПа}$.

Найти:

1. Сколько дней вёлся учёт давления?
2. Какое самое малое давление $p_{min}$ было отмечено?
3. Каким было самое большое давление $p_{max}$?
4. Выразить $p_{min}$ и $p_{max}$ в гектопаскалях.
5. Сколько дней давление было выше нормального?
6. На сколько изменилось давление $\Delta p$ между седьмыми и восьмыми сутками?

Решение:

Для решения задачи проанализируем данные, представленные на графике. Сначала определим цену делений на осях.
По горизонтальной оси (время): одно большое деление соответствует 2 суткам, одна малая клетка — 1 суткам.
По вертикальной оси (давление): одно большое деление соответствует 10 мм рт. ст. Между соседними оцифрованными делениями находится 5 малых делений, значит цена одного малого деления составляет $(750 - 740) / 5 = 2$ мм рт. ст.

Сколько дней вёлся учёт давления?

Измерения проводились ежедневно. Горизонтальная ось размечена до 16 суток, и последняя точка на графике соответствует именно этому дню. Следовательно, учёт давления проводился в течение 16 дней.

Ответ: Учёт давления вёлся 16 дней.

Какое самое малое давление было отмечено?

Самое малое давление соответствует самой низкой точке (минимуму) на графике. Такие точки наблюдаются на 3-й и 14-й день. Значение давления в этих точках находится на одно малое деление выше отметки 750 мм рт. ст.
$p_{min} = 750 \text{ мм рт. ст.} + 1 \times 2 \text{ мм рт. ст.} = 752 \text{ мм рт. ст.}$

Ответ: Самое малое отмеченное давление — 752 мм рт. ст.

Каким было самое большое давление? (Выразите давление в гектопаскалях.)

Самое большое давление соответствует самой высокой точке (максимуму) на графике. Максимум наблюдался на 9-й день. Эта точка находится на одно малое деление ниже отметки 780 мм рт. ст.
$p_{max} = 780 \text{ мм рт. ст.} - 1 \times 2 \text{ мм рт. ст.} = 778 \text{ мм рт. ст.}$

Теперь, согласно требованию в скобках, выразим самое малое и самое большое давление в гектопаскалях (гПа), используя соотношение $1 \text{ мм рт. ст.} = \frac{101325}{760} \text{ Па}$.

Самое малое давление в гПа:
$p_{min} = 752 \text{ мм рт. ст.} \times \frac{101325}{760} \frac{\text{Па}}{\text{мм рт. ст.}} \approx 100258 \text{ Па} = 1002.58 \text{ гПа} \approx 1002.6 \text{ гПа}$.

Самое большое давление в гПа:
$p_{max} = 778 \text{ мм рт. ст.} \times \frac{101325}{760} \frac{\text{Па}}{\text{мм рт. ст.}} \approx 103725 \text{ Па} = 1037.25 \text{ гПа} \approx 1037.3 \text{ гПа}$.

Ответ: Самое большое давление было 778 мм рт. ст. В гектопаскалях самое малое давление составляет примерно 1002.6 гПа, а самое большое – примерно 1037.3 гПа.

Сколько дней давление было выше нормального?

Нормальное атмосферное давление — $p_н = 760$ мм рт. ст. Посчитаем количество дней, когда давление на графике было строго больше этой величины:
- 7-й день: $p_7 = 764 \text{ мм рт. ст.} > 760$
- 8-й день: $p_8 = 768 \text{ мм рт. ст.} > 760$
- 9-й день: $p_9 = 778 \text{ мм рт. ст.} > 760$
- 10-й день: $p_{10} = 774 \text{ мм рт. ст.} > 760$
- 11-й день: $p_{11} = 770 \text{ мм рт. ст.} > 760$
- 12-й день: $p_{12} = 766 \text{ мм рт. ст.} > 760$
- 16-й день: $p_{16} = 764 \text{ мм рт. ст.} > 760$
В 6-й и 13-й дни давление было равно нормальному, но не выше. Таким образом, всего 7 дней давление было выше нормального.

Ответ: Давление было выше нормального в течение 7 дней.

На сколько изменилось давление между седьмыми и восьмыми сутками?

Определим по графику значения давления для 7-х и 8-х суток.
Давление на 7-й день (2 малых деления выше 760): $p_7 = 760 + 2 \times 2 = 764$ мм рт. ст.
Давление на 8-й день (4 малых деления выше 760): $p_8 = 760 + 4 \times 2 = 768$ мм рт. ст.
Изменение давления $\Delta p$ равно их разности:
$\Delta p = p_8 - p_7 = 768 \text{ мм рт. ст.} - 764 \text{ мм рт. ст.} = 4 \text{ мм рт. ст.}$

Ответ: Между седьмыми и восьмыми сутками давление увеличилось на 4 мм рт. ст.