Страница 85 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

24.42* [545*] В сообщающихся сосудах находятся ртуть, вода и керосин (рис. III-50). Какова высота слоя керосина, если высота столба воды равна 20 см и уровень ртути в правом колене ниже, чем в левом, на 0,5 см?

Рис. III-50

§ 25 Атмосферное давление

Дано:

Найти:

Решение:

Задача решается на основе закона сообщающихся сосудов, который гласит, что давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково.

Рассмотрим U-образный сосуд. В левом колене налита вода, в правом – керосин. Жидкости не смешиваются и находятся в равновесии поверх ртути. Уровень ртути в правом колене (с керосином) ниже, чем в левом (с водой).

Выберем в качестве горизонтального уровня отсчета плоскость, проходящую через границу раздела ртути и керосина в правом колене. Обозначим давление в этой точке $p_{пр}$. В левом колене на этом же уровне находится ртуть, и давление в этой точке равно $p_{лев}$.

Согласно закону Паскаля, для жидкости в состоянии равновесия давления на одном горизонтальном уровне равны:

$p_{лев} = p_{пр}$

Давление в правом колене на выбранном уровне создается столбом керосина высотой $h_к$ и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_{пр} = p_{атм} + p_к = p_{атм} + \rho_к g h_к$

Давление в левом колене на том же уровне создается столбом воды высотой $h_в$, столбом ртути высотой $\Delta h_{рт}$ (разница уровней ртути в левом и правом коленах) и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_{лев} = p_{атм} + p_в + p_{рт} = p_{атм} + \rho_в g h_в + \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$

Приравняем выражения для давлений:

$p_{атм} + \rho_в g h_в + \rho_{рт} g \Delta h_{рт} = p_{атм} + \rho_к g h_к$

Атмосферное давление $p_{атм}$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Также можно сократить ускорение свободного падения $g$:

$\rho_в h_в + \rho_{рт} \Delta h_{рт} = \rho_к h_к$

Выразим из этого уравнения искомую высоту столба керосина $h_к$:

$h_к = \frac{\rho_в h_в + \rho_{рт} \Delta h_{рт}}{\rho_к}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$h_к = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,2 \text{ м} + 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,005 \text{ м}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$h_к = \frac{200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} + 68 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{268 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0,335 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,335 \text{ м} = 33,5 \text{ см}$.

Ответ: высота слоя керосина равна 33,5 см.

25.1 [н] Что необходимо учитывать в задачах предыдущего параграфа при расчёте не избыточного, а полного давления жидкости на дно сосуда?

25.1 [н] При расчёте избыточного (гидростатического) давления жидкости на дно сосуда учитывается только давление, создаваемое столбом самой жидкости. Оно определяется по формуле $p_{изб} = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

Полное (абсолютное) давление на дно сосуда является суммой гидростатического давления и давления, которое оказывается на свободную поверхность жидкости. Для открытого сосуда, находящегося в земной атмосфере, этим внешним давлением является атмосферное давление ($p_{атм}$).

Таким образом, чтобы рассчитать полное давление, необходимо к избыточному давлению столба жидкости прибавить атмосферное давление. Формула для расчёта полного давления на дно открытого сосуда выглядит так:

$p_{полн} = p_{атм} + p_{изб} = p_{атм} + \rho g h$

Следовательно, главным отличием в расчёте является необходимость учёта внешнего (атмосферного) давления.

Ответ: при расчёте полного давления жидкости на дно сосуда, в отличие от избыточного, необходимо учитывать внешнее давление, действующее на свободную поверхность жидкости (как правило, это атмосферное давление).

25.2 [546] Одинаковую ли массу имеет чистый сухой воздух объёмом $1 \text{ м}^3$, взятый на первом этаже и в любой комнате на высоте $230 \text{ м}$ здания Московского университета? Результаты поясните.

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать, от чего зависит масса воздуха при постоянном объёме. Масса $m$ связана с плотностью $\rho$ и объёмом $V$ соотношением $m = \rho \cdot V$. Поскольку объём воздуха в задаче постоянен и равен $1 \text{ м}^3$, масса будет напрямую зависеть от его плотности.

Плотность воздуха не является постоянной величиной, она зависит от внешних условий, в первую очередь от давления и температуры. Рассмотрим, как эти параметры изменяются с высотой.

Объём воздуха: $V = 1 \text{ м}^3$

Разность высот между точками забора воздуха: $\Delta h = 230 \text{ м}$

Сравнить массу воздуха на первом этаже ($m_1$) и на высоте 230 м ($m_2$).

Атмосферное давление создаётся весом столба воздуха, который находится над точкой измерения. С увеличением высоты этот столб становится короче и, соответственно, легче. Поэтому атмосферное давление на высоте 230 м ($p_2$) будет ниже, чем на уровне первого этажа ($p_1$).

Воздух является сжимаемым газом. Его плотность $\rho$ зависит от давления $p$ и температуры $T$. Эту зависимость можно описать уравнением состояния идеального газа, из которого следует формула для плотности: $\rho = \frac{pM}{RT}$, где $M$ – молярная масса воздуха, а $R$ – универсальная газовая постоянная.

Можно предположить, что температура воздуха в комнатах на разных этажах здания поддерживается примерно одинаковой ($T_1 \approx T_2$) за счет систем отопления и вентиляции. В этом случае плотность воздуха будет прямо пропорциональна давлению: $\rho \propto p$.

Поскольку давление на первом этаже больше, чем на высоте 230 м ($p_1 > p_2$), то и плотность воздуха на первом этаже будет больше, чем на высоте ($\rho_1 > \rho_2$).

Масса воздуха в заданном объёме $V$ вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$. Так как объём $V$ одинаков для обоих случаев, а плотность $\rho_1$ больше плотности $\rho_2$, то и масса воздуха на первом этаже будет больше, чем на высоте 230 м:

$m_1 = \rho_1 V$

$m_2 = \rho_2 V$

Из условия $\rho_1 > \rho_2$ следует, что $m_1 > m_2$.

Ответ:

Нет, чистый сухой воздух объёмом 1 м³ имеет разную массу на первом этаже и на высоте 230 м. Масса воздуха на первом этаже больше. Это объясняется тем, что с ростом высоты падает атмосферное давление. Воздух на первом этаже сжат весом вышележащих слоёв атмосферы сильнее, чем воздух на высоте 230 м. Вследствие этого плотность воздуха на первом этаже выше. Так как объём в обоих случаях одинаков, большей плотности соответствует и большая масса.

25.3 [547] Ученик подсчитал, что за истекшие сутки масса воздуха, прошедшего через его легкие, составляет 15 кг. Какой объем при нормальном давлении и температуре занимает воздух, прошедший через легкие ученика? Сравните этот объем с объемом воздуха, заполняющего вашу комнату.

Какой объём при нормальном давлении и температуре занимает воздух, прошедший через лёгкие ученика?

Дано:

масса воздуха $m = 15$ кг
условия: нормальные (н.у.)
плотность воздуха при нормальных условиях $\rho_n \approx 1,29$ кг/м$^3$

Найти:

объём воздуха $V$ - ?

Решение:

объём воздуха можно найти через его массу и плотность. формула, связывающая массу ($m$), плотность ($\rho$) и объём ($V$), выглядит так: $\rho = \frac{m}{V}$

выразим из этой формулы объём: $V = \frac{m}{\rho}$

подставим известные значения для воздуха при нормальных условиях: $V = \frac{15 \text{ кг}}{1,29 \text{ кг/м}^3} \approx 11,6279... \text{ м}^3$

в исходных данных масса указана с двумя значащими цифрами (15 кг), поэтому округлим полученный результат до двух значащих цифр. $V \approx 12 \text{ м}^3$

Ответ: объём воздуха, прошедший через лёгкие ученика за сутки при нормальных условиях, составляет примерно 12 м$^3$.

Сравните этот объём с объёмом воздуха, заполняющего вашу комнату.

Решение:

для сравнения необходимо рассчитать объём воздуха в типичной жилой комнате. примем, что размеры комнаты составляют: длина - 4 м, ширина - 3 м, а высота потолков - 2,5 м.

объём такой комнаты ($V_{комнаты}$) вычисляется как произведение её длины, ширины и высоты: $V_{комнаты} = 4 \text{ м} \times 3 \text{ м} \times 2,5 \text{ м} = 30 \text{ м}^3$

теперь сравним объём воздуха, проходящего через лёгкие за сутки ($V \approx 12 \text{ м}^3$), с объёмом нашей условной комнаты ($V_{комнаты} = 30 \text{ м}^3$). найдём их отношение: $\frac{V}{V_{комнаты}} = \frac{12 \text{ м}^3}{30 \text{ м}^3} = 0,4$

это означает, что объём воздуха, который человек вдыхает и выдыхает за сутки, составляет 0,4 или 40% от объёма воздуха в рассматриваемой комнате. таким образом, человек за сутки пропускает через лёгкие объём воздуха, сопоставимый с объёмом небольшой комнаты или значительной частью стандартной комнаты.

Ответ: объём воздуха, прошедшего через лёгкие за сутки (около 12 м$^3$), сопоставим с объёмом воздуха в жилой комнате. для комнаты объёмом 30 м$^3$ он составляет 40% от её объёма.

25.4 [548] Почему при откачивании воздуха вода поднимается в трубке B, а в трубке A не поднимается (рис. III-51)?

Рис. III-51

Решение

При откачивании воздуха из U-образной трубки насосом давление внутри нее, обозначим его $p_{внутр}$, становится меньше внешнего атмосферного давления $p_{атм}$. Атмосферное давление действует на поверхность воды в обоих стаканах, которые открыты в атмосферу.

Для трубки B, которая является герметичной, создается перепад давлений $p_{атм} > p_{внутр}$. Под действием этого перепада внешнее атмосферное давление выталкивает воду из стакана вверх в трубку. Вода поднимается на такую высоту $h$, чтобы гидростатическое давление столба жидкости уравновесило разность давлений: $\Delta p = p_{атм} - p_{внутр} = \rho g h$, где $\rho$ – плотность воды.

В трубке A вода не поднимается, что указывает на отсутствие значительного перепада давлений между внутренней полостью трубки и атмосферой. Это означает, что давление внутри трубки A остается примерно равным атмосферному. Такое возможно, если трубка A негерметична, то есть имеет отверстие или трещину в части, находящейся выше уровня воды. Когда насос работает, он откачивает воздух, но через отверстие в трубку A сразу же поступает новый воздух из атмосферы. В результате разрежение в трубке A не создается, и сила атмосферного давления не может поднять в нее воду.

Вода поднимается в трубке B из-за того, что при откачке воздуха давление внутри нее становится ниже атмосферного, и разность давлений заставляет воду подниматься. В трубке A вода не поднимается, потому что она негерметична (имеет трещину или отверстие выше уровня воды), и из-за подсоса воздуха из атмосферы давление внутри нее не падает, оставаясь практически равным атмосферному.

$25.5^{\circ} [549^{\circ}]$ Возьмите любую прозрачную бутылку, частично заполните её водой и, плотно закрыв горлышко бутылки ладонью, погрузите бутылку в воду так, как показано на рисунке III-52. Почему вода не выливается из бутылки?

Рис. III-52

Решение

Когда бутылку, частично заполненную водой, переворачивают и погружают горлышком в сосуд с водой, вода из неё не выливается благодаря действию атмосферного давления. Рассмотрим давления, действующие в этой системе.

1. На открытую поверхность воды в большом сосуде давит атмосфера. Это давление, называемое атмосферным ($P_{атм}$), согласно закону Паскаля, передается без изменений во все точки жидкости. Таким образом, на уровне горлышка бутылки снизу вверх действует давление, равное атмосферному.

2. Внутри бутылки, над поверхностью воды, находится запертый воздух. При переворачивании бутылки этот воздух расширяется, занимая больший объём. В результате его давление ($P_{воздуха}$) становится меньше атмосферного ($P_{атм}$).

3. Давление изнутри бутылки на уровне её горлышка складывается из давления запертого воздуха ($P_{воздуха}$) и гидростатического давления столба воды в бутылке ($P_{воды}$). Гидростатическое давление рассчитывается по формуле $P_{воды} = \rho g h$, где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба воды в бутылке над уровнем воды в большом сосуде.

Система находится в равновесии, когда внешнее давление, действующее снизу вверх, уравновешивает внутреннее давление, действующее сверху вниз. Условие этого равновесия можно записать в виде формулы:

$P_{атм} = P_{воздуха} + \rho g h$

Эта формула показывает, что разница между внешним атмосферным давлением и пониженным давлением воздуха внутри бутылки уравновешивает столб воды высотой $h$. Поскольку атмосферное давление велико (нормальное атмосферное давление способно удержать столб воды высотой около 10 метров), оно легко удерживает воду в бутылке в данном эксперименте.

Ответ:

Вода не выливается из бутылки, так как внешнее атмосферное давление, действующее на поверхность воды в сосуде и передающееся к горлышку бутылки, оказывается больше, чем суммарное давление столба воды и запертого над ней воздуха внутри бутылки. Атмосферное давление "подпирает" воду и удерживает ее от выливания.

25.6 [н] Устройство, описанное в предыдущей задаче, может служить простейшей автопоилкой для птиц и мелких животных. Объясните принцип действия автопоилки. Обозначьте разность уровней воды в сосудах $h$, атмосферное давление $p_0$, а давление воздуха в верхнем сосуде $p$. Напишите в виде уравнения условие равновесия столба воды в верхнем сосуде.

$p + \rho g h = p_0$

Принцип действия автопоилки

Решение:

Автопоилка обычно представляет собой перевернутый сосуд (например, бутылку), который наполнен водой и горлышко которого опущено в неглубокую открытую емкость (поддон).

При установке автопоилки часть воды из бутылки выливается в поддон. По мере вытекания воды в верхней части бутылки над поверхностью воды образуется замкнутый объем воздуха. Объем этого воздуха увеличивается, что согласно закону Бойля-Мариотта приводит к уменьшению его давления $p$. Давление воздуха внутри бутылки становится меньше атмосферного давления $p_0$.

Вытекание воды прекратится, когда система придет в состояние равновесия. Это произойдет, когда внешнее атмосферное давление $p_0$, действующее на поверхность воды в поддоне, будет уравновешено давлением столба жидкости внутри бутылки на том же горизонтальном уровне. Это внутреннее давление складывается из давления разреженного воздуха $p$ над водой и гидростатического давления столба воды высотой $h$ (разность уровней воды в бутылке и поддоне).

Когда животное пьет воду из поддона, уровень воды в нем понижается. Это нарушает равновесие. Как только горлышко бутылки оказывается выше уровня воды в поддоне, в бутылку проникает пузырек воздуха. Попавший внутрь воздух увеличивает давление $p$ в бутылке, что заставляет новую порцию воды вылиться в поддон. Уровень воды в поддоне поднимается, снова перекрывает горлышко, и в системе устанавливается новое равновесие. Таким образом, в поддоне автоматически поддерживается практически постоянный уровень воды.

Ответ: Принцип действия автопоилки основан на балансе давлений. Атмосферное давление снаружи уравновешивает сумму давления воздуха внутри перевернутого сосуда и гидростатического давления столба воды в нем. Когда животные пьют воду, уровень в поилке падает, в сосуд попадает воздух, давление внутри увеличивается, и вода вытекает до восстановления равновесного уровня.

Условие равновесия столба воды в верхнем сосуде

Дано:

Найти:

Решение:

Рассмотрим условие равновесия воды. Для того чтобы столб воды в верхнем сосуде оставался неподвижным, давление на любом горизонтальном уровне внутри и снаружи жидкости должно быть сбалансировано. Выберем в качестве такого уровня поверхность воды в нижнем сосуде (поддоне).

Давление на эту поверхность со стороны атмосферы равно $p_0$.

На этом же горизонтальном уровне, но внутри горлышка верхнего сосуда, давление создается двумя факторами:

• давлением воздуха $p$, запертого над водой в верхнем сосуде;
• гидростатическим давлением столба воды высотой $h$. Это давление рассчитывается по формуле $p_{гидр} = \rho g h$, где $\rho$ – плотность воды, а $g$ – ускорение свободного падения.

Таким образом, полное давление изнутри на рассматриваемом уровне равно сумме $p + \rho g h$.

В состоянии равновесия давление снаружи должно быть равно давлению изнутри. Запишем это в виде уравнения:

$p_0 = p + \rho g h$

Это и есть искомое условие равновесия столба воды в верхнем сосуде.

Ответ: $p_0 = p + \rho g h$.