Номер 25.2, страница 85 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

25.2 [546] Одинаковую ли массу имеет чистый сухой воздух объёмом $1 \text{ м}^3$, взятый на первом этаже и в любой комнате на высоте $230 \text{ м}$ здания Московского университета? Результаты поясните.

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать, от чего зависит масса воздуха при постоянном объёме. Масса $m$ связана с плотностью $\rho$ и объёмом $V$ соотношением $m = \rho \cdot V$. Поскольку объём воздуха в задаче постоянен и равен $1 \text{ м}^3$, масса будет напрямую зависеть от его плотности.

Плотность воздуха не является постоянной величиной, она зависит от внешних условий, в первую очередь от давления и температуры. Рассмотрим, как эти параметры изменяются с высотой.

Объём воздуха: $V = 1 \text{ м}^3$

Разность высот между точками забора воздуха: $\Delta h = 230 \text{ м}$

Сравнить массу воздуха на первом этаже ($m_1$) и на высоте 230 м ($m_2$).

Атмосферное давление создаётся весом столба воздуха, который находится над точкой измерения. С увеличением высоты этот столб становится короче и, соответственно, легче. Поэтому атмосферное давление на высоте 230 м ($p_2$) будет ниже, чем на уровне первого этажа ($p_1$).

Воздух является сжимаемым газом. Его плотность $\rho$ зависит от давления $p$ и температуры $T$. Эту зависимость можно описать уравнением состояния идеального газа, из которого следует формула для плотности: $\rho = \frac{pM}{RT}$, где $M$ – молярная масса воздуха, а $R$ – универсальная газовая постоянная.

Можно предположить, что температура воздуха в комнатах на разных этажах здания поддерживается примерно одинаковой ($T_1 \approx T_2$) за счет систем отопления и вентиляции. В этом случае плотность воздуха будет прямо пропорциональна давлению: $\rho \propto p$.

Поскольку давление на первом этаже больше, чем на высоте 230 м ($p_1 > p_2$), то и плотность воздуха на первом этаже будет больше, чем на высоте ($\rho_1 > \rho_2$).

Масса воздуха в заданном объёме $V$ вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$. Так как объём $V$ одинаков для обоих случаев, а плотность $\rho_1$ больше плотности $\rho_2$, то и масса воздуха на первом этаже будет больше, чем на высоте 230 м:

$m_1 = \rho_1 V$

$m_2 = \rho_2 V$

Из условия $\rho_1 > \rho_2$ следует, что $m_1 > m_2$.

Ответ:

Нет, чистый сухой воздух объёмом 1 м³ имеет разную массу на первом этаже и на высоте 230 м. Масса воздуха на первом этаже больше. Это объясняется тем, что с ростом высоты падает атмосферное давление. Воздух на первом этаже сжат весом вышележащих слоёв атмосферы сильнее, чем воздух на высоте 230 м. Вследствие этого плотность воздуха на первом этаже выше. Так как объём в обоих случаях одинаков, большей плотности соответствует и большая масса.