Номер 24.41, страница 84 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 24. Давление в жидкостях. Сообщающиеся сосуды. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 24.41, страница 84.

24.41* [544*] В сообщающихся сосудах находилась ртуть. Когда в правую трубку налили слой керосина высотой 34 см, то уровень ртути в левой трубке поднялся на 2 см. Какой высоты следует налить слой воды в левую трубку, чтобы ртуть в трубках установилась на одинаковом уровне (см. рис. III-49)?

Рис. III-49

Дано:

$h_к = 34 \text{ см}$
$\Delta h_л = 2 \text{ см}$
Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность ртути, $\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$

$h_к = 0.34 \text{ м}$
$\Delta h_л = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$h_в$ - ?

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала рассмотрим состояние системы после того, как в правую трубку налили керосин.

1. Когда в правую трубку наливают керосин, он своим давлением вытесняет ртуть. Уровень ртути в правой трубке опускается на некоторую величину $\Delta h_п$, а в левой трубке поднимается на $\Delta h_л = 2 \text{ см}$. Поскольку сосуды сообщающиеся и, как можно предположить из рисунка, имеют одинаковую площадь поперечного сечения, объем вытесненной ртути в правой трубке равен объему прибывшей ртути в левой. Это означает, что уровень ртути в правой трубке опустился также на 2 см: $\Delta h_п = \Delta h_л = 2 \text{ см}$.

Таким образом, разность уровней ртути в левой и правой трубках составляет:
$\Delta h_{рт} = \Delta h_л + \Delta h_п = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Эта разность уровней ртути уравновешивается давлением столба керосина. Давление столба керосина $P_к$ равно давлению столба ртути высотой $\Delta h_{рт}$. Запишем условие равновесия давлений на уровне границы раздела керосина и ртути в правой трубке:
$P_к = P_{рт}$
$\rho_к g h_к = \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$ (1)
где $\rho_к$ - плотность керосина, а $h_к$ - высота столба керосина.

2. Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Чтобы уровни ртути в обеих трубках стали одинаковыми, в левую трубку нужно налить слой воды высотой $h_в$. В этом новом состоянии равновесия давления столбов жидкостей над уровнем ртути в обеих трубках должны быть равны.

Давление столба воды в левой трубке: $P_в = \rho_в g h_в$.
Давление столба керосина в правой трубке: $P_к = \rho_к g h_к$.

Для равенства уровней ртути необходимо, чтобы $P_в = P_к$:
$\rho_в g h_в = \rho_к g h_к$ (2)

Теперь объединим уравнения (1) и (2). Из них следует, что давление, которое должен создать столб воды, равно давлению, которое ранее создавала разность уровней ртути:
$\rho_в g h_в = \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$

Сократив на $g$, получим:
$\rho_в h_в = \rho_{рт} \Delta h_{рт}$

Отсюда выразим искомую высоту столба воды $h_в$:
$h_в = \Delta h_{рт} \frac{\rho_{рт}}{\rho_в}$

Подставим числовые значения. Удобнее использовать плотности в г/см³ и высоту в см, чтобы сразу получить ответ в см.
$\rho_{рт} = 13.6 \text{ г/см}^3$
$\rho_в = 1.0 \text{ г/см}^3$
$\Delta h_{рт} = 4 \text{ см}$

$h_в = 4 \text{ см} \cdot \frac{13.6 \text{ г/см}^3}{1.0 \text{ г/см}^3} = 4 \cdot 13.6 \text{ см} = 54.4 \text{ см}$

Ответ: чтобы ртуть в трубках установилась на одинаковом уровне, следует налить слой воды высотой 54.4 см.