Номер 24.42, страница 85 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 24. Давление в жидкостях. Сообщающиеся сосуды. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 24.42, страница 85.

24.42* [545*] В сообщающихся сосудах находятся ртуть, вода и керосин (рис. III-50). Какова высота слоя керосина, если высота столба воды равна 20 см и уровень ртути в правом колене ниже, чем в левом, на 0,5 см?

Рис. III-50

§ 25 Атмосферное давление

Дано:

$h_в = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$\Delta h_{рт} = 0,5 \text{ см} = 0,005 \text{ м}$
$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)
$\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$ (плотность керосина)
$\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$ (плотность ртути)

Найти:

$h_к$ - ?

Решение:

Задача решается на основе закона сообщающихся сосудов, который гласит, что давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково.

Рассмотрим U-образный сосуд. В левом колене налита вода, в правом – керосин. Жидкости не смешиваются и находятся в равновесии поверх ртути. Уровень ртути в правом колене (с керосином) ниже, чем в левом (с водой).

Выберем в качестве горизонтального уровня отсчета плоскость, проходящую через границу раздела ртути и керосина в правом колене. Обозначим давление в этой точке $p_{пр}$. В левом колене на этом же уровне находится ртуть, и давление в этой точке равно $p_{лев}$.

Согласно закону Паскаля, для жидкости в состоянии равновесия давления на одном горизонтальном уровне равны:

$p_{лев} = p_{пр}$

Давление в правом колене на выбранном уровне создается столбом керосина высотой $h_к$ и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_{пр} = p_{атм} + p_к = p_{атм} + \rho_к g h_к$

Давление в левом колене на том же уровне создается столбом воды высотой $h_в$, столбом ртути высотой $\Delta h_{рт}$ (разница уровней ртути в левом и правом коленах) и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_{лев} = p_{атм} + p_в + p_{рт} = p_{атм} + \rho_в g h_в + \rho_{рт} g \Delta h_{рт}$

Приравняем выражения для давлений:

$p_{атм} + \rho_в g h_в + \rho_{рт} g \Delta h_{рт} = p_{атм} + \rho_к g h_к$

Атмосферное давление $p_{атм}$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Также можно сократить ускорение свободного падения $g$:

$\rho_в h_в + \rho_{рт} \Delta h_{рт} = \rho_к h_к$

Выразим из этого уравнения искомую высоту столба керосина $h_к$:

$h_к = \frac{\rho_в h_в + \rho_{рт} \Delta h_{рт}}{\rho_к}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$h_к = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,2 \text{ м} + 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,005 \text{ м}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$h_к = \frac{200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} + 68 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{268 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0,335 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,335 \text{ м} = 33,5 \text{ см}$.

Ответ: высота слоя керосина равна 33,5 см.