Страница 79 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

23.16 [500, б] Какие силы действуют на тела, прессуемые гидравлическими машинами (рис. III-29)?

a) $S = 2 \text{ см}^2$

$S = 10 \text{ см}^2$

$S = 2 \text{ см}^2$

$S = 10 \text{ см}^2$

$F = 20 \text{ H}$

б) $S = 1 \text{ см}^2$

$S = 10 \text{ см}^2$

$S = 2 \text{ см}^2$

$S = 10 \text{ см}^2$

$F = 50 \text{ H}$

Рис. III-29

a) Дано:

Сила, приложенная к входному поршню, $F_1 = 20 \text{ Н}$
Площадь первого поршня, $S_1 = 2 \text{ см}^2$
Площадь второго поршня, $S_2 = 10 \text{ см}^2$
Площадь третьего поршня, $S_3 = 2 \text{ см}^2$
Площадь четвертого (выходного) поршня, $S_4 = 10 \text{ см}^2$

Найти:

$F_4$ - сила, действующая на прессуемое тело.

Решение:

Данная гидравлическая машина является двухступенчатым гидравлическим прессом (мультипликатором). Выигрыш в силе достигается в два этапа.
1. На первом этапе сила $F_1$, приложенная к поршню площадью $S_1$, создает в жидкости давление $p_1$. Согласно закону Паскаля, давление в жидкости одинаково во всех точках и вычисляется по формуле:
$p_1 = \frac{F_1}{S_1}$
2. Это давление передается на второй поршень площадью $S_2$. Сила $F_2$, действующая на второй поршень, равна произведению давления на площадь:
$F_2 = p_1 \cdot S_2 = \frac{F_1}{S_1} \cdot S_2$
3. Поршни с площадями $S_2$ и $S_3$ соединены жестким стержнем, поэтому сила $F_2$ передается на поршень $S_3$. Этот поршень, в свою очередь, создает во второй камере с жидкостью давление $p_2$:
$p_2 = \frac{F_2}{S_3} = \frac{F_1 \cdot S_2}{S_1 \cdot S_3}$
4. Давление $p_2$ действует на выходной поршень площадью $S_4$, который прессует тело. Искомая сила $F_4$, действующая на тело, равна:
$F_4 = p_2 \cdot S_4 = \frac{F_1 \cdot S_2 \cdot S_4}{S_1 \cdot S_3}$
5. Подставим числовые значения. Так как в итоговую формулу входят отношения площадей, их можно оставлять в $ \text{см}^2 $:
$F_4 = 20 \text{ Н} \cdot \frac{10 \text{ см}^2}{2 \text{ см}^2} \cdot \frac{10 \text{ см}^2}{2 \text{ см}^2} = 20 \text{ Н} \cdot 5 \cdot 5 = 500 \text{ Н}$

Ответ: сила, действующая на прессуемое тело, равна $500 \text{ Н}$.

б) Дано:

Сила, приложенная к входному поршню, $F_1 = 50 \text{ Н}$
Площадь первого поршня, $S_1 = 1 \text{ см}^2$
Площадь второго поршня, $S_2 = 10 \text{ см}^2$
Площадь третьего поршня, $S_3 = 2 \text{ см}^2$
Площадь четвертого (выходного) поршня, $S_4 = 10 \text{ см}^2$

Найти:

$F_4$ - сила, действующая на прессуемое тело.

Решение:

Решение аналогично пункту а), так как используется та же схема двухступенчатого гидравлического пресса.
1. Сила $F_1$, приложенная к поршню $S_1$, создает давление $p_1$ в первой гидравлической камере:
$p_1 = \frac{F_1}{S_1}$
2. Давление $p_1$ создает силу $F_2$ на поршне $S_2$:
$F_2 = p_1 \cdot S_2 = \frac{F_1}{S_1} \cdot S_2$
3. Сила $F_2$ передается на поршень $S_3$, который создает давление $p_2$ во второй гидравлической камере:
$p_2 = \frac{F_2}{S_3} = \frac{F_1 \cdot S_2}{S_1 \cdot S_3}$
4. Давление $p_2$ создает силу $F_4$ на выходном поршне $S_4$:
$F_4 = p_2 \cdot S_4 = \frac{F_1 \cdot S_2 \cdot S_4}{S_1 \cdot S_3}$
5. Подставим числовые значения:
$F_4 = 50 \text{ Н} \cdot \frac{10 \text{ см}^2}{1 \text{ см}^2} \cdot \frac{10 \text{ см}^2}{2 \text{ см}^2} = 50 \text{ Н} \cdot 10 \cdot 5 = 2500 \text{ Н}$

Ответ: сила, действующая на прессуемое тело, равна $2500 \text{ Н}$.

23.17* [501*] Малый поршень гидравлического пресса под действием силы 500 Н опустился на 15 см. При этом большой поршень поднялся на 5 см. Какая сила действует на большой поршень?

Дано:

Сила, приложенная к малому поршню, $F_1 = 500$ Н

Перемещение малого поршня, $h_1 = 15$ см $= 0.15$ м

Перемещение большого поршня, $h_2 = 5$ см $= 0.05$ м

Найти:

Сила, действующая на большой поршень, $F_2$ - ?

Решение:

Для решения задачи используется «золотое правило механики», которое для идеального гидравлического пресса (без учета трения и сжимаемости жидкости) формулируется как равенство работ, совершаемых на малом и большом поршнях.

Работа $A$ определяется как произведение силы $F$ на перемещение $h$ в направлении действия силы: $A = F \cdot h$.

Работа, совершаемая силой на малом поршне, равна:

$A_1 = F_1 \cdot h_1$

Работа, совершаемая большим поршнем, равна:

$A_2 = F_2 \cdot h_2$

Согласно «золотому правилу механики», работы равны:

$A_1 = A_2$

Отсюда следует равенство:

$F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2$

Из этого уравнения выразим искомую силу $F_2$, действующую на большой поршень:

$F_2 = F_1 \cdot \frac{h_1}{h_2}$

Подставим известные значения в полученную формулу. Можно использовать значения перемещений как в сантиметрах, так и в метрах, так как их отношение является безразмерной величиной.

$F_2 = 500 \text{ Н} \cdot \frac{15 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 500 \text{ Н} \cdot 3 = 1500 \text{ Н}$

Проверим расчет в системе СИ:

$F_2 = 500 \text{ Н} \cdot \frac{0.15 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = 500 \text{ Н} \cdot 3 = 1500 \text{ Н}$

Ответ: сила, действующая на большой поршень, равна 1500 Н.

23.18* [502*] Малый поршень гидравлического пресса площадью $2 \text{ см}^2$ под действием силы опустился на 16 см. Площадь большого поршня $8 \text{ см}^2$. Определите:

а) вес груза, поднятого поршнем, если на малый поршень действовала сила $200 \text{ Н}$;

б) на какую высоту поднят груз.

Дано:

$S_1 = 2 \text{ см}^2$ (площадь малого поршня)

$h_1 = 16 \text{ см}$ (перемещение малого поршня)

$S_2 = 8 \text{ см}^2$ (площадь большого поршня)

$F_1 = 200 \text{ Н}$ (сила, действующая на малый поршень)

Найти:

а) $F_2$ (вес груза)

б) $h_2$ (высота подъема груза)

Решение:

а) вес груза, поднятого поршнем, если на малый поршень действовала сила 200 Н

Работа гидравлического пресса основана на законе Паскаля, который гласит, что давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. Это означает, что давление под малым поршнем ($p_1$) равно давлению под большим поршнем ($p_2$):

$p_1 = p_2$

Давление определяется как отношение силы, действующей перпендикулярно на поверхность, к площади этой поверхности: $p = \frac{F}{S}$. Таким образом, мы можем записать равенство:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

Здесь $F_1$ и $S_1$ — сила и площадь малого поршня, а $F_2$ и $S_2$ — сила и площадь большого поршня. Сила $F_2$ соответствует весу груза, который может быть поднят большим поршнем.

Выразим искомую силу $F_2$ из этого соотношения:

$F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Подставим числовые значения. Обратите внимание, что для расчета отношения площадей можно использовать их значения в $\text{см}^2$, так как единицы измерения сократятся.

$F_2 = 200 \text{ Н} \cdot \frac{8 \text{ см}^2}{2 \text{ см}^2} = 200 \text{ Н} \cdot 4 = 800 \text{ Н}$

Ответ: вес поднятого груза составляет 800 Н.

б) на какую высоту поднят груз

Поскольку жидкость в гидравлической системе считается практически несжимаемой, объем жидкости, вытесненной малым поршнем при его опускании ($V_1$), равен объему жидкости, который поднимает большой поршень ($V_2$). Это является следствием "золотого правила" механики, которое в данном случае означает, что работа, совершаемая при опускании малого поршня, равна работе по подъему большого поршня (при отсутствии потерь).

$V_1 = V_2$

Объем displaced жидкости можно найти как произведение площади поршня на высоту его перемещения: $V = S \cdot h$. Таким образом, получаем:

$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$

Из этого равенства выразим высоту подъема большого поршня $h_2$:

$h_2 = h_1 \cdot \frac{S_1}{S_2}$

Подставим известные значения в формулу:

$h_2 = 16 \text{ см} \cdot \frac{2 \text{ см}^2}{8 \text{ см}^2} = 16 \text{ см} \cdot \frac{1}{4} = 4 \text{ см}$

Ответ: груз поднят на высоту 4 см.

23.19* [503*] Давление в гидравлической машине равно $400 \text{ кПа}$ (рис. III-30). На меньший поршень действует сила $200 \text{ Н}$. Площадь большого поршня $400 \text{ см}^2$. Определите:

а) показания динамометра B, сжимаемого большим поршнем;

б) площадь меньшего поршня.

Рис. III-30

Дано:

$p = 400 \text{ кПа} = 400 \times 10^3 \text{ Па} = 400000 \text{ Па}$
$F_1 = 200 \text{ Н}$
$S_2 = 400 \text{ см}^2 = 400 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.04 \text{ м}^2$

Найти:

a) $F_2$ - ?
б) $S_1$ - ?

Решение:

Согласно закону Паскаля, давление, производимое на жидкость в гидравлической машине, передается во все точки жидкости без изменений. Следовательно, давление под большим и малым поршнями одинаково и равно $p = 400 \text{ кПа}$.

а) показания динамометра В, сжимаемого большим поршнем;

Давление $p$ связано с силой $F$ и площадью $S$, на которую действует сила, формулой $p = \frac{F}{S}$.

Показания динамометра B равны силе $F_2$, действующей на большой поршень со стороны жидкости. Эту силу можно найти, зная давление $p$ и площадь большого поршня $S_2$.

$F_2 = p \cdot S_2$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$F_2 = 400000 \text{ Па} \cdot 0.04 \text{ м}^2 = 16000 \text{ Н} = 16 \text{ кН}$.

Ответ: показания динамометра равны 16000 Н (или 16 кН).

б) площадь меньшего поршня.

Давление под меньшим поршнем создается силой $F_1$, приложенной к площади $S_1$. Таким образом:

$p = \frac{F_1}{S_1}$

Из этой формулы выразим искомую площадь меньшего поршня $S_1$:

$S_1 = \frac{F_1}{p}$

Подставим известные значения:

$S_1 = \frac{200 \text{ Н}}{400000 \text{ Па}} = 0.0005 \text{ м}^2$.

Можно перевести это значение в квадратные сантиметры для сравнения: $0.0005 \text{ м}^2 = 0.0005 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь меньшего поршня равна $0.0005 \text{ м}^2$ (или $5 \text{ см}^2$).

24.1 [508] В цилиндрический сосуд, частично заполненный водой, опустили деревянный брусок. Изменилось ли давление воды на дно сосуда?

Решение

Давление жидкости на дно сосуда прямо пропорционально высоте столба жидкости. Эта зависимость выражается формулой гидростатического давления:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $p$ — давление, $\rho$ — плотность жидкости (воды), $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости.

Когда деревянный брусок опускают в воду, он плавает на её поверхности, так как плотность дерева меньше плотности воды. При этом брусок вытесняет объём воды, равный объёму его погружённой части. Этот вытесненный объём заставляет общий уровень воды в цилиндрическом сосуде подняться.

Таким образом, высота столба воды $h$ в сосуде увеличивается. Поскольку давление $p$ прямо пропорционально высоте $h$, увеличение высоты столба воды приводит к увеличению давления на дно сосуда.

Можно также рассмотреть силы, действующие на дно сосуда. Изначально на дно действовала сила тяжести, равная весу воды. После добавления бруска на дно сосуда действует сила, равная суммарному весу воды и плавающего в ней бруска. Так как брусок имеет массу и, следовательно, вес, общая сила, действующая на дно, увеличилась. Поскольку площадь дна не изменилась, давление ($P = F/S$) также увеличилось.

Ответ: Да, давление воды на дно сосуда увеличилось.