Страница 82 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

24.16 [519] Водолаз в жёстком скафандре может погружаться в море на глубину 250 м, искусный ныряльщик — на глубину 20 м. На сколько и во сколько раз различается избыточное давление воды на этих глубинах?

Дано:

Глубина погружения водолаза в жёстком скафандре, $h_1 = 250 \text{ м}$
Глубина погружения искусного ныряльщика, $h_2 = 20 \text{ м}$
Плотность морской воды (справочное значение), $\rho \approx 1030 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения (принятое значение), $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Разницу избыточных давлений, $\Delta p$
Отношение избыточных давлений, $k$

Решение:

Избыточное давление, создаваемое столбом жидкости (гидростатическое давление), на глубине $h$ рассчитывается по формуле: $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения.

Определим избыточное давление на глубине $h_1 = 250 \text{ м}$: $p_1 = \rho g h_1 = 1030 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 250 \text{ м} = 2575000 \text{ Па} = 2.575 \text{ МПа}$.

Определим избыточное давление на глубине $h_2 = 20 \text{ м}$: $p_2 = \rho g h_2 = 1030 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 20 \text{ м} = 206000 \text{ Па} = 0.206 \text{ МПа}$.

На сколько различается избыточное давление воды на этих глубинах?

Чтобы найти, на сколько различаются давления, необходимо вычислить их разность $\Delta p$: $\Delta p = p_1 - p_2 = 2575000 \text{ Па} - 206000 \text{ Па} = 2369000 \text{ Па}$.

Разность давлений также можно найти по формуле: $\Delta p = \rho g (h_1 - h_2) = 1030 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (250 \text{ м} - 20 \text{ м}) = 10300 \frac{\text{Н}}{\text{м}^3} \cdot 230 \text{ м} = 2369000 \text{ Па}$.

Переведем результат в мегапаскали ($1 \text{ МПа} = 10^6 \text{ Па}$): $\Delta p = 2.369 \text{ МПа}$.

Ответ: избыточное давление различается на $2369000 \text{ Па}$ или примерно на $2.37 \text{ МПа}$.

Во сколько раз различается избыточное давление воды на этих глубинах?

Чтобы найти, во сколько раз различаются давления, необходимо вычислить их отношение $k$: $k = \frac{p_1}{p_2} = \frac{\rho g h_1}{\rho g h_2} = \frac{h_1}{h_2}$.

Подставим числовые значения глубин: $k = \frac{250 \text{ м}}{20 \text{ м}} = 12.5$.

Ответ: избыточное давление на глубине $250 \text{ м}$ в $12.5$ раз больше, чем на глубине $20 \text{ м}$.

24.17 [520] Рассчитайте давление толщи воды:

а) на самой большой глубине Тихого океана — 11 035 м;

б) на наибольшей глубине Азовского моря — 14 м (плотность воды в нём примите равной 1020 $\text{кг/м}^3$).

Дано:

$h_1 = 11035$ м (глубина в Тихом океане)
$h_2 = 14$ м (глубина в Азовском море)
$\rho_2 = 1020$ кг/м³ (плотность воды в Азовском море)
$\rho_1 = 1030$ кг/м³ (плотность воды в Тихом океане, примем стандартное значение для морской воды)
$g \approx 9.8$ Н/кг (ускорение свободного падения)

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$p_1$ — давление на глубине в Тихом океане - ?
$p_2$ — давление на глубине в Азовском море - ?

Решение:

Давление, создаваемое столбом жидкости (гидростатическое давление), вычисляется по формуле:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости (глубина).

а) Рассчитаем давление толщи воды на самой большой глубине Тихого океана. Так как плотность воды для Тихого океана не указана, используем среднее значение плотности соленой морской воды $\rho_1 = 1030$ кг/м³.

Подставим значения в формулу:

$p_1 = \rho_1 \cdot g \cdot h_1 = 1030 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 11035 \text{ м} = 111388190 \text{ Па}$

Результат удобно представить в мегапаскалях (МПа), где $1 \text{ МПа} = 10^6 \text{ Па}$:

$p_1 = \frac{111388190}{10^6} \text{ МПа} \approx 111.4 \text{ МПа}$

Ответ: давление толщи воды на самой большой глубине Тихого океана составляет примерно $111.4$ МПа.

б) Рассчитаем давление толщи воды на наибольшей глубине Азовского моря, используя данные из условия задачи.

Подставим значения в формулу:

$p_2 = \rho_2 \cdot g \cdot h_2 = 1020 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 14 \text{ м} = 139944 \text{ Па}$

Результат удобно представить в килопаскалях (кПа), где $1 \text{ кПа} = 1000 \text{ Па}$:

$p_2 = \frac{139944}{1000} \text{ кПа} \approx 140 \text{ кПа}$

Ответ: давление толщи воды на наибольшей глубине Азовского моря составляет примерно $140$ кПа.

24.18 [521] Определите по графику (рис. III-40) глубину погружения тела в озеро, соответствующую избыточному давлению воды 100, 300 и 500 кПа.

$p$, кПа

$h$, м

Рис. III-40

Дано:

График зависимости избыточного давления воды $p$ от глубины погружения $h$.

Избыточное давление воды:

$p_1 = 100 \text{ кПа}$

$p_2 = 300 \text{ кПа}$

$p_3 = 500 \text{ кПа}$

Найти:

Глубины погружения $h_1, h_2, h_3$, соответствующие давлениям $p_1, p_2, p_3$.

Решение:

Избыточное давление жидкости на некоторой глубине определяется по формуле гидростатического давления:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — глубина.

Представленный график показывает линейную зависимость давления $p$ от глубины $h$. Для определения глубины по заданному давлению можно использовать непосредственно график или вычислить коэффициент пропорциональности.

Сначала определим цену деления осей графика:

• По оси ординат (давление $p$): 10 делений соответствуют 1000 кПа, следовательно, цена одного большого деления составляет $1000 / 10 = 100 \text{ кПа}$.
• По оси абсцисс (глубина $h$): 10 делений соответствуют 100 м, следовательно, цена одного большого деления составляет $100 / 10 = 10 \text{ м}$.

Теперь определим глубину для каждого заданного значения давления.

Для избыточного давления 100 кПа

Находим на оси давлений значение 100 кПа (первое большое деление от нуля). Проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось глубин. Перпендикуляр попадает на отметку первого большого деления, что соответствует 10 м.

Ответ: глубина погружения составляет 10 м.

Для избыточного давления 300 кПа

Находим на оси давлений значение 300 кПа (третье большое деление от нуля). Проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось глубин. Перпендикуляр попадает на отметку третьего большого деления, что соответствует 30 м.

Ответ: глубина погружения составляет 30 м.

Для избыточного давления 500 кПа

Находим на оси давлений значение 500 кПа (пятое большое деление от нуля, отмеченное на графике). Проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось глубин. Перпендикуляр попадает на отметку пятого большого деления (отмеченного как 50), что соответствует 50 м.

Ответ: глубина погружения составляет 50 м.

24.19 [522] Аквариум наполнен доверху водой. С какой силой давит слой воды на стенку аквариума длиной 50 см и высотой 30 см?

Дано:

Аквариум наполнен водой доверху.
Длина стенки, $l = 50 \text{ см}$
Высота стенки, $h = 30 \text{ см}$
Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$

Найти:

Силу давления воды на стенку, $F$ - ?

Решение:

Давление, которое оказывает столб жидкости, называется гидростатическим. Оно зависит от глубины и рассчитывается по формуле $p = \rho g y$, где $y$ — глубина от поверхности воды.

На стенку аквариума вода давит с разной силой на разной глубине. У поверхности воды (глубина $y=0$) давление равно нулю. На дне аквариума (глубина $y=h$) давление максимально и равно $p_{max} = \rho g h$.

Поскольку давление на стенку распределено неравномерно (линейно возрастает с глубиной), для расчета суммарной силы давления необходимо использовать среднее давление, действующее на всю площадь стенки. Среднее давление равно давлению на середине высоты стенки, то есть на глубине $h/2$:

$p_{ср} = \rho g \frac{h}{2}$

Площадь стенки аквариума, на которую давит вода, равна:

$S = l \cdot h$

Сила давления воды на стенку — это произведение среднего давления на площадь стенки:

$F = p_{ср} \cdot S = \left(\rho g \frac{h}{2}\right) \cdot (l h) = \frac{1}{2} \rho g l h^2$

Подставим числовые значения в формулу:

$p_{ср} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \frac{0,3 \text{ м}}{2} = 1470 \text{ Па}$

$S = 0,5 \text{ м} \cdot 0,3 \text{ м} = 0,15 \text{ м}^2$

$F = 1470 \text{ Па} \cdot 0,15 \text{ м}^2 = 220,5 \text{ Н}$

Ответ: сила, с которой слой воды давит на стенку аквариума, равна 220,5 Н.

24.20 [523] В аквариум высотой 32 см, длиной 50 см и шириной 20 см налита вода, уровень которой ниже края на 2 см. Рассчитайте:

a) избыточное давление воды на дно;

б) вес воды;

в) силу, с которой вода действует на стенку шириной 20 см.

Дано:

Высота аквариума $H = 32$ см
Длина аквариума $L = 50$ см
Ширина аквариума $W = 20$ см
Уровень воды ниже края на $\Delta h = 2$ см
Плотность воды $\rho \approx 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ Н/кг

Найти:

а) $p_{изб}$ - избыточное давление воды на дно
б) $P$ - вес воды
в) $F_{стенку}$ - сила, с которой вода действует на стенку шириной 20 см

Решение:

а) избыточное давление воды на дно

Избыточное (гидростатическое) давление жидкости на дно сосуда рассчитывается по формуле:

$p_{изб} = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости.

Подставим известные значения:

$p_{изб} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.3 \text{ м} = 2940 \text{ Па}$

Ответ: избыточное давление воды на дно составляет 2940 Па (или 2.94 кПа).

б) вес воды

Вес воды $P$ равен произведению ее массы $m$ на ускорение свободного падения $g$.

$P = m \cdot g$

Массу воды найдем через плотность $\rho$ и объем $V$.

$m = \rho \cdot V$

Объем воды в аквариуме равен объему прямоугольного параллелепипеда с размерами $L$, $W$ и $h$.

$V = L \cdot W \cdot h = 0.5 \text{ м} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 0.3 \text{ м} = 0.03 \text{ м}^3$

Теперь найдем массу воды:

$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.03 \text{ м}^3 = 30 \text{ кг}$

И, наконец, рассчитаем вес воды:

$P = 30 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 294 \text{ Н}$

Ответ: вес воды равен 294 Н.

в) сила, с которой вода действует на стенку шириной 20 см

Давление воды на стенку распределено неравномерно: оно равно нулю у поверхности воды и максимально у дна. Поэтому для расчета силы давления $F_{стенку}$ используется среднее гидростатическое давление $p_{ср}$ на стенку, умноженное на площадь стенки $S_{стенки}$, на которую действует вода.

$F_{стенку} = p_{ср} \cdot S_{стенки}$

Среднее давление равно половине максимального давления на дне:

$p_{ср} = \frac{p_{изб}}{2} = \frac{\rho g h}{2}$

Площадь смоченной части стенки (шириной $W$ и высотой $h$) равна:

$S_{стенки} = W \cdot h = 0.2 \text{ м} \cdot 0.3 \text{ м} = 0.06 \text{ м}^2$

Рассчитаем среднее давление:

$p_{ср} = \frac{2940 \text{ Па}}{2} = 1470 \text{ Па}$

Теперь найдем силу давления на стенку:

$F_{стенку} = 1470 \text{ Па} \cdot 0.06 \text{ м}^2 = 88.2 \text{ Н}$

Ответ: сила, с которой вода действует на стенку, составляет 88.2 Н.

24.21 [524] Ширина шлюза 10 м. Шлюз заполнен водой на глубину 5 м. С какой силой давит вода на ворота шлюза? Атмосферное давление не учитывайте.

Дано:

Ширина шлюза, $w = 10$ м
Глубина воды, $h = 5$ м
Плотность воды, $\rho = 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ Н/кг

Найти:

Силу давления воды на ворота шлюза, $F$ - ?

Решение:

Давление воды на ворота шлюза распределено неравномерно: на поверхности воды оно равно нулю, а с увеличением глубины линейно возрастает. Максимальное давление достигается у дна и вычисляется по формуле гидростатического давления: $p_{max} = \rho g h$.

Для нахождения силы, действующей на всю поверхность ворот, необходимо использовать среднее давление $p_{ср}$. Так как давление изменяется линейно от 0 до $p_{max}$, среднее давление равно половине максимального:

$p_{ср} = \frac{p_{min} + p_{max}}{2} = \frac{0 + \rho g h}{2} = \frac{1}{2} \rho g h$

Это среднее давление действует на всю площадь ворот, соприкасающуюся с водой. Площадь погруженной части ворот $S$ представляет собой прямоугольник с шириной $w$ и высотой $h$:

$S = w \cdot h$

Сила давления $F$ равна произведению среднего давления на площадь:

$F = p_{ср} \cdot S = \left(\frac{1}{2} \rho g h\right) \cdot (w \cdot h) = \frac{1}{2} \rho g w h^2$

Подставим числовые значения в формулу:

$F = \frac{1}{2} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 9,8 \frac{Н}{кг} \cdot 10 \, м \cdot (5 \, м)^2 = 0,5 \cdot 1000 \cdot 9,8 \cdot 10 \cdot 25 \, Н = 1 225 000 \, Н$

Результат можно выразить в меганьютонах (МН), где $1 \, МН = 10^6 \, Н$:

$F = 1,225 \cdot 10^6 \, Н = 1,225 \, МН$

Ответ: сила, с которой вода давит на ворота шлюза, равна $1,225 \, МН$.

24.22* [525*] В цистерне, заполненной нефтью, на глубине 3 м имеется кран, площадь отверстия которого $30 \text{ см}^2$. С какой силой давит нефть на кран?

Дано:

Глубина: $h = 3$ м
Площадь отверстия: $S = 30 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:
$S = 30 \text{ см}^2 = 30 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 30 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.003 \text{ м}^2$

Справочные данные:
Плотность нефти: $\rho \approx 800 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

Силу давления нефти на кран $F$.

Решение:

Сила, с которой жидкость давит на поверхность, определяется как произведение давления жидкости на площадь этой поверхности.

$F = p \cdot S$

где $p$ – гидростатическое давление жидкости, а $S$ – площадь поверхности, на которую оказывается давление.

Гидростатическое давление на глубине $h$ вычисляется по формуле:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – глубина (высота столба жидкости).

Поскольку плотность нефти не дана в условии, мы используем ее среднее табличное значение, которое составляет примерно $\rho \approx 800 \text{ кг/м}^3$.

Объединим формулы, чтобы выразить силу давления через известные величины:

$F = \rho \cdot g \cdot h \cdot S$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$F = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 3 \text{ м} \cdot 0.003 \text{ м}^2$

Вычислим сначала давление:

$p = 800 \cdot 9.8 \cdot 3 = 23520 \text{ Па}$

Теперь вычислим силу:

$F = 23520 \text{ Па} \cdot 0.003 \text{ м}^2 = 70.56 \text{ Н}$

Примечание: если при расчетах использовать округленное значение ускорения свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$, то результат будет $F = 800 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 0.003 = 72 \text{ Н}$.

Ответ: сила, с которой нефть давит на кран, составляет $70.56$ Н.

24.23 [526] Прямоугольный сосуд вместимостью 2 л наполовину наполнен водой, а наполовину — керосином.

а) Чему равно суммарное избыточное давление жидкостей на дно сосуда?

б) Чему равен вес жидкостей в сосуде? Дно сосуда имеет форму квадрата со стороной 10 см.

Дано:

$V_{сосуда} = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$V_{воды} = 1 \text{ л} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$V_{керосина} = 1 \text{ л} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{керосина} = 800 \text{ кг/м}^3$

Примем $g = 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

а) $p_{изб}$ - ?

б) $P$ - ?

Решение:

В условии сказано, что прямоугольный сосуд вместимостью 2 л наполовину наполнен водой, а наполовину — керосином. Это означает, что объемы воды и керосина равны и каждый составляет половину от общего объема, то есть по 1 литру.

Поскольку плотность керосина ($\rho_{к} = 800 \text{ кг/м}^3$) меньше плотности воды ($\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$), керосин будет находиться поверх слоя воды. Жидкости не смешиваются и образуют в сосуде два слоя.

Найдем площадь дна сосуда, которое имеет форму квадрата:

$S = a^2 = (0.1 \text{ м})^2 = 0.01 \text{ м}^2$

Теперь можем найти высоту каждого слоя жидкости, зная их объемы:

Высота слоя воды: $h_в = \frac{V_в}{S} = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{0.01 \text{ м}^2} = 0.1 \text{ м}$.

Высота слоя керосина: $h_к = \frac{V_к}{S} = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{0.01 \text{ м}^2} = 0.1 \text{ м}$.

Общая высота жидкости $h_{общ} = h_в + h_к = 0.1 \text{ м} + 0.1 \text{ м} = 0.2 \text{ м}$. Высота самого сосуда равна $H = \frac{V_{сосуда}}{S} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{0.01 \text{ м}^2} = 0.2 \text{ м}$. Это подтверждает, что сосуд заполнен полностью.

а) Чему равно суммарное избыточное давление жидкостей на дно сосуда?

Избыточное (гидростатическое) давление на дно сосуда $p_{изб}$ создается весом обоих столбов жидкости. Оно равно сумме давлений, создаваемых слоями керосина и воды. Давление столба жидкости рассчитывается по формуле $p = \rho g h$.

Давление на дно складывается из давления, создаваемого верхним слоем (керосином), и давления, создаваемого нижним слоем (водой):

$p_{изб} = p_к + p_в = \rho_к g h_к + \rho_в g h_в$

Подставим числовые значения:

$p_{изб} = (800 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0.1 \text{ м}) + (1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0.1 \text{ м})$

$p_{изб} = 800 \text{ Па} + 1000 \text{ Па} = 1800 \text{ Па}$

Ответ: суммарное избыточное давление жидкостей на дно сосуда равно $1800 \text{ Па}$ или $1.8 \text{ кПа}$.

б) Чему равен вес жидкостей в сосуде? Дно сосуда имеет форму квадрата со стороной 10 см.

Вес жидкостей $P$ равен сумме веса воды $P_в$ и веса керосина $P_к$.

Вес вычисляется по формуле $P = mg$, где $m$ — масса. Массу каждой жидкости найдем по формуле $m = \rho V$.

Масса воды: $m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 1 \text{ кг}$.

Масса керосина: $m_к = \rho_к \cdot V_к = 800 \text{ кг/м}^3 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.8 \text{ кг}$.

Общая масса жидкостей в сосуде:

$m_{общ} = m_в + m_к = 1 \text{ кг} + 0.8 \text{ кг} = 1.8 \text{ кг}$.

Общий вес жидкостей:

$P = m_{общ} \cdot g = 1.8 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 18 \text{ Н}$.

Ответ: вес жидкостей в сосуде равен $18 \text{ Н}$.