Страница 83 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

24.24* [527*] Определите силу, с которой действует керосин на квадратную пробку с площадью поперечного сечения $16 \text{ см}^2$, если расстояние от пробки до уровня керосина в сосуде равно $400 \text{ мм}$ (рис. III-41). Атмосферное давление не учитывайте.

Рис. III-41

Дано

$S = 16 \text{ см}^2$
$h_1 = 400 \text{ мм}$ (расстояние от поверхности до верхнего края пробки)
Пробка квадратная
Жидкость - керосин, $\rho = 800 \text{ кг/м}^3$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$S = 16 \text{ см}^2 = 16 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 16 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0016 \text{ м}^2$
$h_1 = 400 \text{ мм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$F$ - ?

Решение

Сила, с которой жидкость действует на поверхность, определяется по формуле $F = p \cdot S$, где $p$ - давление жидкости, а $S$ - площадь поверхности.

Поскольку пробка имеет некоторую высоту, давление керосина на ее поверхность будет разным на разной глубине. Давление на нижнюю часть пробки будет больше, чем на верхнюю. Для расчета силы в таком случае необходимо использовать среднее давление, которое соответствует давлению на глубине центра тяжести (геометрического центра) пробки.

Так как пробка квадратная, найдем длину ее стороны $a$:
$a = \sqrt{S} = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Центр пробки находится на глубине $h_{ср}$, которая равна сумме расстояния от поверхности керосина до верхнего края пробки $h_1$ и половины стороны пробки $a/2$:
$h_{ср} = h_1 + \frac{a}{2}$
$h_{ср} = 0.4 \text{ м} + \frac{0.04 \text{ м}}{2} = 0.4 \text{ м} + 0.02 \text{ м} = 0.42 \text{ м}$.

Теперь вычислим среднее гидростатическое давление $p_{ср}$ на этой глубине:
$p_{ср} = \rho \cdot g \cdot h_{ср}$

Искомая сила давления на пробку равна:
$F = p_{ср} \cdot S = \rho \cdot g \cdot h_{ср} \cdot S$

Подставим числовые значения в систему СИ:
$F = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.42 \text{ м} \cdot 0.0016 \text{ м}^2 = 5.26848 \text{ Н}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: сила, с которой действует керосин на пробку, равна приблизительно $5.27 \text{ Н}$.

24.25 [528] Какую силу испытывает каждый квадратный метр площади поверхности водолазного костюма при погружении в морскую воду на глубину 10 м? Атмосферное давление не учитывайте.

Дано:

Площадь поверхности: $S = 1 \, \text{м}^2$
Глубина погружения: $h = 10 \, \text{м}$
Плотность морской воды: $\rho \approx 1030 \, \text{кг/м}^3$ (справочное значение)
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \, \text{Н/кг}$ (или $10 \, \text{м/с}^2$)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу, действующую на каждый квадратный метр поверхности: $F$

Решение:

Сила, которую испытывает поверхность, находящаяся в жидкости, создается давлением этой жидкости. Связь между силой ($F$), давлением ($P$) и площадью ($S$) выражается формулой:

$F = P \cdot S$

Давление столба жидкости (гидростатическое давление) на глубине $h$ вычисляется по формуле:

$P = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — глубина (высота столба жидкости). В условии задачи указано не учитывать атмосферное давление, поэтому мы рассчитываем только давление, создаваемое столбом морской воды.

Подставим известные значения в формулу для расчета давления:

$P = 1030 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \, \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 10 \, \text{м} = 103000 \, \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} = 103000 \, \text{Па}$

Теперь, зная давление, мы можем найти силу, которая действует на каждый квадратный метр ($S = 1 \, \text{м}^2$) поверхности водолазного костюма:

$F = 103000 \, \text{Па} \cdot 1 \, \text{м}^2 = 103000 \, \text{Н}$

Это значение можно выразить в килоньютонах (кН), зная, что $1 \, \text{кН} = 1000 \, \text{Н}$:

$F = \frac{103000}{1000} \, \text{кН} = 103 \, \text{кН}$

Ответ: на каждый квадратный метр площади поверхности водолазного костюма действует сила, равная 103000 Н (или 103 кН).

24.26 [529] Плоскодонная баржа получила в дне пробоину площадью $200 \text{ см}^2$. С какой силой нужно давить на пластырь, которым закрывают отверстие, чтобы сдержать напор воды на глубине 1,8 м? (Вес пластыря не учитывайте.)

Дано:

$S = 200 \text{ см}^2 = 0.02 \text{ м}^2$

$h = 1.8 \text{ м}$

$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

$g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

$F$

Решение:

Чтобы сдержать напор воды, на пластырь необходимо приложить силу, равную силе давления воды на этот пластырь. Сила давления $F$ связана с гидростатическим давлением $p$ и площадью $S$ соотношением:

$F = p \cdot S$

Гидростатическое давление воды на глубине $h$ вычисляется по формуле:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения.

Объединим формулы, чтобы найти искомую силу:

$F = \rho \cdot g \cdot h \cdot S$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$F = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 1.8 \text{ м} \cdot 0.02 \text{ м}^2$

$F = 18000 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} \cdot 0.02 \text{ м}^2 = 360 \text{ Н}$

Ответ: чтобы сдержать напор воды, на пластырь нужно давить с силой 360 Н.

24.27 [530] Определите высоту уровня воды в водонапорной башне, если манометр, установленный у её основания, показывает давление 220 000 Па.

Дано:

Давление, $P = 220 \, 000 \text{ Па}$

Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

Высота уровня воды, $h$

Решение:

Давление, которое измеряет манометр у основания водонапорной башни, является гидростатическим давлением столба воды над ним. Это давление можно рассчитать по формуле:

$P = \rho \cdot g \cdot h$

где $P$ — гидростатическое давление, $\rho$ — плотность жидкости (воды), $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости (уровня воды в башне).

Чтобы определить высоту уровня воды $h$, необходимо выразить ее из данной формулы:

$h = \frac{P}{\rho \cdot g}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи и справочные данные. Давление уже дано в системных единицах (Паскалях), поэтому перевод не требуется.

$h = \frac{220 \, 000 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг}} = \frac{220 \, 000}{10 \, 000} \text{ м} = 22 \text{ м}$

Таким образом, высота столба воды в башне, создающая у основания давление в 220 000 Па, равна 22 метрам.

Ответ: высота уровня воды в водонапорной башне составляет 22 м.

24.28 [531] На какой глубине давление воды в море равно 412 кПа?

24.28 [531]

Дано:

Давление воды $p = 412$ кПа
Плотность морской воды (справочное значение) $\rho \approx 1030$ кг/м³
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

Глубина $h$

Решение:

Давление, создаваемое столбом жидкости (гидростатическое давление), определяется по формуле:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $p$ – это гидростатическое давление, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота столба жидкости, то есть глубина.

Из этой формулы мы можем выразить искомую глубину $h$:

$h = \frac{p}{\rho \cdot g}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$h = \frac{412000 \text{ Па}}{1030 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}$

Выполним вычисления:

$h = \frac{412000}{10300} \text{ м} = 40 \text{ м}$

Ответ: давление воды в море равно 412 кПа на глубине 40 м.

24.29 [532] Напор воды в водонапорной башне создается насо- сом. На какую высоту поднимается вода, если давление, созданное насосом, равно 400 кПа?

Дано:

$P = 400 \text{ кПа}$

$\rho \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

$g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$h - ?$

Решение:

Давление, которое создаёт столб жидкости, называется гидростатическим давлением и рассчитывается по формуле:

$P = \rho \cdot g \cdot h$

где $P$ – это давление жидкости, $\rho$ – её плотность, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота столба жидкости.

В данной задаче давление, созданное насосом, уравновешивается давлением столба воды. Следовательно, мы можем использовать эту формулу, чтобы найти высоту $h$, на которую насос может поднять воду. Для этого выразим высоту из формулы:

$h = \frac{P}{\rho \cdot g}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Все величины должны быть в системе СИ.

$h = \frac{400000 \text{ Па}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}} = \frac{400000}{10000} \text{ м} = 40 \text{ м}$

Ответ: вода поднимается на высоту 40 м.

24.30 [533] Брусок размером 0,5 × 0,4 × 0,1 м находится в баке с водой на глубине 0,6 м (рис. III-42). Вычислите:

а) с какой силой вода давит на верхнюю грань бруска;

б) с какой силой вода давит на нижнюю грань бруска;

в) сколько весит вода, вытесненная бруском. Атмосферное давление не учитывайте.

Рис. III-42

Дано:

Длина бруска $l = 0,5$ м
Ширина бруска $w = 0,4$ м
Высота бруска $h_{бруса} = 0,1$ м
Глубина погружения верхней грани $h_1 = 0,6$ м
Плотность воды $\rho_{воды} = 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

а) $F_1$ - ?
б) $F_2$ - ?
в) $P_{воды}$ - ?

Решение:

а) с какой силой вода давит на верхнюю грань бруска

Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность находится по формуле $F = p \cdot S$, где $p$ - гидростатическое давление на данной глубине, а $S$ - площадь поверхности. Давление жидкости рассчитывается как $p = \rho \cdot g \cdot h$.

1. Вычислим площадь верхней грани бруска:
$S = l \cdot w = 0,5 \text{ м} \cdot 0,4 \text{ м} = 0,2 \text{ м}^2$.

2. Рассчитаем давление воды на глубине $h_1$, где находится верхняя грань:
$p_1 = \rho_{воды} \cdot g \cdot h_1 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0,6 \text{ м} = 6000 \text{ Па}$.

3. Найдем силу, с которой вода давит на верхнюю грань бруска:
$F_1 = p_1 \cdot S = 6000 \text{ Па} \cdot 0,2 \text{ м}^2 = 1200 \text{ Н}$.

Ответ: 1200 Н.

б) с какой силой вода давит на нижнюю грань бруска

1. Нижняя грань бруска находится на глубине $h_2$, которая больше глубины верхней грани на высоту бруска:
$h_2 = h_1 + h_{бруса} = 0,6 \text{ м} + 0,1 \text{ м} = 0,7 \text{ м}$.

2. Рассчитаем давление воды на этой глубине:
$p_2 = \rho_{воды} \cdot g \cdot h_2 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0,7 \text{ м} = 7000 \text{ Па}$.

3. Площадь нижней грани равна площади верхней: $S = 0,2 \text{ м}^2$. Вычислим силу давления на нижнюю грань:
$F_2 = p_2 \cdot S = 7000 \text{ Па} \cdot 0,2 \text{ м}^2 = 1400 \text{ Н}$.

Ответ: 1400 Н.

в) сколько весит вода, вытесненная бруском

Вес вытесненной воды по закону Архимеда равен выталкивающей силе. Вес можно найти по формуле $P = m \cdot g$. Масса вытесненной воды равна $m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{выт}$, где $V_{выт}$ - объем вытесненной воды.

1. Так как брусок полностью погружен в воду, объем вытесненной воды равен объему бруска:
$V_{выт} = V_{бруса} = l \cdot w \cdot h_{бруса} = 0,5 \text{ м} \cdot 0,4 \text{ м} \cdot 0,1 \text{ м} = 0,02 \text{ м}^3$.

2. Найдем вес вытесненной воды:
$P_{воды} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{выт} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0,02 \text{ м}^3 = 200 \text{ Н}$.

Также можно отметить, что выталкивающая сила (и, соответственно, вес вытесненной жидкости) равна разности сил, действующих на нижнюю и верхнюю грани: $F_А = F_2 - F_1 = 1400 \text{ Н} - 1200 \text{ Н} = 200 \text{ Н}$, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: 200 Н.

24.31 [534] Произведите расчёт, взяв данные предыдущей задачи, предполагая, что воду заменили керосином.

Дано:

Взяты данные из предыдущей задачи с заменой воды на керосин.
Общая масса керосина, $m = 200 \text{ г}$
Масса керосина для превращения в пар, $m_п = 40 \text{ г}$
Начальная температура керосина, $t_1 = 20 \text{ °C}$
Справочные данные для керосина:
Удельная теплоемкость, $c = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Температура кипения, $t_2 \approx 200 \text{ °C}$
Удельная теплота парообразования, $L = 2 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:
$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$m_п = 40 \text{ г} = 0.04 \text{ кг}$

Найти:

Общее количество теплоты, $Q$.

Решение:

Общее количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания и частичного испарения керосина, складывается из двух этапов:

1. Количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагревания всей массы керосина $m$ от начальной температуры $t_1$ до температуры кипения $t_2$. $Q_1 = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

2. Количество теплоты $Q_2$, необходимое для превращения в пар части керосина массой $m_п$ при температуре кипения. $Q_2 = L \cdot m_п$

Таким образом, общее количество теплоты равно сумме: $Q = Q_1 + Q_2 = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) + L \cdot m_п$

Подставим числовые значения. Температура кипения керосина является диапазоном (150-300 °C), для расчета используем усредненное значение $t_2 = 200 \text{ °C}$.

Рассчитаем количество теплоты для нагревания: $Q_1 = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (200 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) = 2100 \cdot 0.2 \cdot 180 \text{ Дж} = 75600 \text{ Дж}$

Рассчитаем количество теплоты для парообразования: $Q_2 = 2 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0.04 \text{ кг} = 8000 \text{ Дж}$

Сложим полученные значения, чтобы найти общее количество теплоты: $Q = 75600 \text{ Дж} + 8000 \text{ Дж} = 83600 \text{ Дж}$

Результат можно выразить в килоджоулях: $Q = 83.6 \text{ кДж}$

Ответ: $Q = 83.6 \text{ кДж}$.

24.32* [535*] Используя результаты двух предыдущих задач, вычислите, на сколько сила, действующая на тело снизу, больше силы, действующей на тело сверху:

a) в воде;

б) в керосине.

Сравните полученные результаты с весом вытесненной воды и с весом вытесненного керосина.

Дано:

Данные взяты из предыдущих задач (24.30, 24.31):
Алюминиевый брусок с размерами $10 \text{ см} \times 5 \text{ см} \times 4 \text{ см}$
Высота бруска, $h = 4 \text{ см}$
Площадь основания бруска, $S = 10 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 50 \text{ см}^2$
Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность керосина, $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Перевод в СИ:
$h = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
$S = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$
Объем бруска, $V = 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

Разность сил, действующих на брусок снизу и сверху, $\Delta F = F_{снизу} - F_{сверху}$
a) в воде, $\Delta F_в$
б) в керосине, $\Delta F_к$
Сравнить полученные результаты с весом вытесненной воды $P_в$ и весом вытесненного керосина $P_к$.

Решение:

Разность сил, действующих на тело со стороны жидкости снизу ($F_{снизу}$) и сверху ($F_{сверху}$), возникает из-за разности гидростатического давления на разных глубинах. Эта разность сил и является выталкивающей силой (силой Архимеда), $F_А$. Она определяется по формуле:

$\Delta F = F_{снизу} - F_{сверху} = F_A = \rho_{ж} \cdot g \cdot V_{т}$

где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $V_{т}$ — объем погруженной части тела. В нашем случае брусок погружен полностью, поэтому $V_т$ — это полный объем бруска.

Вес вытесненной жидкости вычисляется по формуле:

$P_{ж} = m_{ж} \cdot g = \rho_{ж} \cdot V_{выт} \cdot g$

Так как тело погружено полностью, объем вытесненной жидкости $V_{выт}$ равен объему тела $V_{т}$. Таким образом, формула для веса вытесненной жидкости совпадает с формулой для выталкивающей силы: $P_ж = \rho_ж \cdot g \cdot V_т$.

Следовательно, разность сил $\Delta F$ должна быть равна весу вытесненной жидкости $P_ж$. Проверим это на расчетах для каждого случая.

а) в воде

1. Вычислим, на сколько сила, действующая на тело снизу, больше силы, действующей сверху (т.е. найдем выталкивающую силу):

$\Delta F_в = \rho_в \cdot g \cdot V_т = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 2 \text{ Н}$

2. Вычислим вес вытесненной воды:

$P_в = \rho_в \cdot g \cdot V_т = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 2 \text{ Н}$

3. Сравнение:

Разность сил, действующая на тело в воде ($\Delta F_в = 2 \text{ Н}$), равна весу вытесненной воды ($P_в = 2 \text{ Н}$).

Ответ: Сила, действующая на тело снизу, больше силы, действующей сверху, на 2 Н. Эта величина в точности равна весу вытесненной воды.

б) в керосине

1. Вычислим, на сколько сила, действующая на тело снизу, больше силы, действующей сверху:

$\Delta F_к = \rho_к \cdot g \cdot V_т = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 1,6 \text{ Н}$

2. Вычислим вес вытесненного керосина:

$P_к = \rho_к \cdot g \cdot V_т = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 1,6 \text{ Н}$

3. Сравнение:

Разность сил, действующая на тело в керосине ($\Delta F_к = 1,6 \text{ Н}$), равна весу вытесненного керосина ($P_к = 1,6 \text{ Н}$).

Ответ: Сила, действующая на тело снизу, больше силы, действующей сверху, на 1,6 Н. Эта величина в точности равна весу вытесненного керосина.

24.33 [536] В какой из кофейников, изображённых на рисунке III-43, можно налить больше жидкости? Почему?

Рис. III-43

Решение

Эта задача основана на физическом принципе сообщающихся сосудов. Основная емкость кофейника и его носик являются сообщающимися сосудами.

Согласно закону сообщающихся сосудов, свободная поверхность однородной жидкости в открытых сообщающихся сосудах любой формы устанавливается на одном и том же горизонтальном уровне. Это происходит потому, что давление столба жидкости зависит только от его высоты ($p = \rho g h$), и в состоянии равновесия давление на любой глубине должно быть одинаковым во всех частях системы.

Следовательно, наливать жидкость в кофейник можно только до тех пор, пока ее уровень не достигнет края самого низкого из отверстий (либо верхнего края основной части, либо края носика). Как только уровень жидкости превысит этот край, она начнет выливаться.

Сравнивая два кофейника на рисунке:

- У кофейника слева носик присоединен довольно низко. Его верхний край находится значительно ниже верхнего края основной емкости. Поэтому максимальный уровень жидкости в нем ограничен высотой носика.

- У кофейника справа носик присоединен высоко, и его край находится почти на том же уровне, что и верхний край основной емкости. Это позволяет налить жидкость почти доверху.

Так как основные емкости у кофейников одинаковы, то в тот, где уровень жидкости может быть выше, поместится больший ее объем. Таким образом, в правый кофейник можно налить больше жидкости.

Ответ: Больше жидкости можно налить в кофейник, изображенный справа. Причина в том, что кофейник и его носик представляют собой сообщающиеся сосуды, и уровень жидкости в них не может быть выше края носика. У правого кофейника носик расположен выше, чем у левого, что позволяет заполнить его до более высокого уровня и, следовательно, налить больший объем жидкости.