Страница 80 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

24.2 [504] Сосуд с жидкостью наклонили (рис. III-31). Одинаковое ли давление оказывает после этого жидкость на боковые стенки A и B в точках, лежащих на одном горизонтальном уровне?

Рис. III-31

24.2 [504]

Решение
Давление, которое оказывает покоящаяся жидкость, называется гидростатическим давлением. Оно определяется по формуле:
$p = \rho g h$
где $p$ – это гидростатическое давление, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – глубина, то есть вертикальное расстояние от свободной поверхности жидкости до точки, в которой измеряется давление.
Важнейшим свойством жидкости в состоянии покоя является то, что её свободная поверхность всегда горизонтальна. Это справедливо для любого сосуда, независимо от его формы или наклона.
Согласно условию задачи, рассматриваемые точки на стенках А и В находятся на одном горизонтальном уровне. Это означает, что расстояние по вертикали от свободной поверхности жидкости до точки на стенке А и до точки на стенке В одно и то же. Следовательно, глубина $h$ для обеих точек одинакова.
Поскольку в сосуде находится одна и та же жидкость, ее плотность $\rho$ одинакова во всем объеме. Ускорение свободного падения $g$ также является постоянной величиной для обеих точек.
Так как все величины, входящие в формулу ($ \rho, g, h $), для рассматриваемых точек одинаковы, то и гидростатическое давление, оказываемое жидкостью на стенки в этих точках, будет одинаковым.
Это следует из основного закона гидростатики: в однородной жидкости, находящейся в равновесии, давление на всех точках, расположенных на одном и том же горизонтальном уровне, одинаково.

Ответ: да, давление, оказываемое жидкостью на боковые стенки А и В в точках, лежащих на одном горизонтальном уровне, одинаковое.

24.3 [505] Сосуд с водой имеет форму, изображённую на рисунке III-32. Одинаково ли давление воды на боковые стенки сосуда на уровне АБ?

Рис. III-32

Решение

Давление, которое оказывает столб жидкости, называется гидростатическим давлением. Оно зависит от плотности жидкости, ускорения свободного падения и высоты столба жидкости над точкой, в которой измеряется давление.

Формула для расчета гидростатического давления $p$ на глубине $h$ в жидкости с плотностью $\rho$ выглядит следующим образом: $p = \rho g h$ где $g$ — ускорение свободного падения.

В рассматриваемой задаче точки А и Б находятся в одном и том же сосуде с водой, следовательно, плотность жидкости $\rho$ для обеих точек одинакова. Ускорение свободного падения $g$ также является константой.

Из рисунка видно, что точки А и Б расположены на одном и том же горизонтальном уровне. Это означает, что глубина их нахождения относительно свободной поверхности воды одинакова. Обозначим эту глубину как $h$.

Следовательно, давление в точке А ($p_A$) и в точке Б ($p_B$) будет рассчитываться по одной и той же формуле с одинаковыми значениями: $p_A = \rho g h$ $p_B = \rho g h$

Из этого следует, что $p_A = p_B$.

Согласно закону Паскаля, в сообщающихся сосудах (а данный сосуд можно рассматривать как систему сообщающихся сосудов) давление в жидкости на одном и том же уровне одинаково и не зависит от формы сосуда.

Ответ: Да, давление воды на боковые стенки сосуда на уровне АБ одинаково.

24.4 [506] Цилиндрические сосуды уравновешены на весах (рис. III-33). Нарушится ли равновесие весов, если в них налить воды столько, что поверхность её установится на одинаковом уровне от дна сосудов? Одинаково ли будет давление на дно сосудов?

Рис. III-33

Нарушится ли равновесие весов, если в них налить воды столько, что поверхность её установится на одинаковом уровне от дна сосудов?

Решение
Изначально весы находятся в равновесии. Это означает, что общая масса на левой чаше (сосуд и гиря) равна общей массе на правой чаше (другой сосуд).

По условию, в оба сосуда наливают воду до одинаковой высоты $h$. Объем налитой воды зависит от площади дна, доступной для воды. Предположим, что сосуды имеют одинаковую площадь дна $S$.

В правом сосуде, который пуст, объем налитой воды будет равен: $V_п = S \cdot h$

В левом сосуде на дне лежит гиря, которая занимает некоторую площадь $S_г$ и объем. Поэтому площадь дна, доступная для воды, меньше и равна $S - S_г$. Объем воды в левом сосуде будет: $V_л = (S - S_г) \cdot h$

Поскольку гиря имеет ненулевую площадь основания ($S_г > 0$), очевидно, что объем воды в левом сосуде меньше, чем в правом: $V_л < V_п$.

Масса налитой воды прямо пропорциональна ее объему ($m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность воды). Следовательно, масса воды, добавленной в левый сосуд ($m_л$), будет меньше массы воды, добавленной в правый сосуд ($m_п$).

Так как к изначально равным массам на чашах весов добавили разную массу воды (на правую чашу добавили больше), равновесие весов нарушится. Правая чаша весов перевесит.

Ответ: Да, равновесие весов нарушится. Правая чаша опустится вниз.

Одинаково ли будет давление на дно сосудов?

Решение
Давление, которое столб жидкости оказывает на дно сосуда (гидростатическое давление), определяется по формуле: $p = \rho \cdot g \cdot h$ где:

• $\rho$ — плотность жидкости (для воды в обоих сосудах она одинакова),
• $g$ — ускорение свободного падения (одинаково для обоих сосудов),
• $h$ — высота столба жидкости.

Согласно условию задачи, воду в оба сосуда налили до одинакового уровня, то есть высота столба воды $h$ в левом и правом сосудах одинакова.

Поскольку все три величины ($\rho$, $g$ и $h$), определяющие гидростатическое давление, для обоих сосудов равны, то и давление, оказываемое водой на дно, будет одинаковым. Наличие гири в левом сосуде уменьшает объем и вес налитой воды, но не изменяет высоту ее столба, а следовательно, и создаваемое этой водой давление на дно.

Ответ: Да, давление, создаваемое водой на дно сосудов, будет одинаковым.

24.5 [507] Цилиндрические сосуды уравновешены на весах (см. рис. III-33). Мальчик налил в оба сосуда воду одинаковой массы. Нарушилось ли равновесие весов? Одинаково ли будет давление воды на дно сосудов?

Дано:

Масса первого сосуда: $m_{с1}$
Масса второго сосуда: $m_{с2}$
Условие равновесия весов: $m_{с1} = m_{с2}$
Масса воды, налитая в первый сосуд: $m_{в1}$
Масса воды, налитая во второй сосуд: $m_{в2}$
Условие задачи: $m_{в1} = m_{в2} = m_{в}$
Площадь дна первого сосуда: $S_1$
Площадь дна второго сосуда: $S_2$
Плотность воды: $\rho$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

1. Нарушится ли равновесие весов?
2. Будет ли давление воды на дно сосудов одинаковым ($P_1 = P_2$)?

Решение:

Нарушилось ли равновесие весов?

Весы показывают равновесие, когда массы на обеих чашах равны. Изначально сосуды уравновешены, следовательно, их массы равны: $m_{с1} = m_{с2}$. Мальчик налил в оба сосуда воду одинаковой массы $m_{в}$. Общая масса на левой чаше весов стала равна $M_1 = m_{с1} + m_{в}$. Общая масса на правой чаше весов стала равна $M_2 = m_{с2} + m_{в}$. Так как исходные массы сосудов были равны ($m_{с1} = m_{с2}$) и к ним добавили одинаковые массы воды ($m_{в}$), то итоговые массы на чашах весов также останутся равными: $M_1 = M_2$. Следовательно, равновесие весов не нарушится.

Ответ: Равновесие весов не нарушится.

Одинаково ли будет давление воды на дно сосудов?

Давление, которое жидкость оказывает на дно сосуда, называется гидростатическим давлением и рассчитывается по формуле: $P = \rho \cdot g \cdot h$ где $\rho$ — плотность жидкости (для воды она одинакова в обоих сосудах), $g$ — ускорение свободного падения (константа), $h$ — высота столба жидкости. Масса воды в цилиндрическом сосуде выражается через объем $V$ как $m_в = \rho \cdot V$. Объем, в свою очередь, равен произведению площади дна сосуда $S$ на высоту столба жидкости $h$: $V = S \cdot h$. Таким образом, $m_в = \rho \cdot S \cdot h$. Выразим высоту столба жидкости из этой формулы: $h = \frac{m_в}{\rho \cdot S}$. Теперь подставим выражение для высоты $h$ в формулу для давления: $P = \rho \cdot g \cdot \left(\frac{m_в}{\rho \cdot S}\right) = \frac{m_в \cdot g}{S}$ Из полученной формулы видно, что при одинаковой массе налитой воды ($m_в$) давление на дно сосуда ($P$) обратно пропорционально площади этого дна ($S$). Давление на дно первого сосуда равно $P_1 = \frac{m_в \cdot g}{S_1}$, а на дно второго — $P_2 = \frac{m_в \cdot g}{S_2}$. Следовательно, давление будет одинаковым ($P_1 = P_2$) только в том случае, если площади дна сосудов равны ($S_1 = S_2$), то есть если сосуды одинаковые. Если же площади дна сосудов различны ($S_1 \neq S_2$), то и давление на дно будет разным. В сосуде с меньшей площадью дна вода поднимется на большую высоту, и давление на дно будет больше.

Ответ: Давление воды на дно сосудов будет одинаковым только в том случае, если площади оснований сосудов равны. Если площади оснований разные, то давление будет разным: в сосуде с меньшей площадью дна давление будет больше.

24.6 [509] В трёх сосудах с одинаковой площадью дна налита вода до одного уровня (рис. III-34). В каком сосуде налито больше воды? Одинаково ли давление на дно в этих сосудах? Почему?

Рис. III-34

В каком сосуде налито больше воды?

Количество воды в сосуде определяется ее объемом. По условию задачи, площадь дна S и высота уровня воды h одинаковы для всех трех сосудов.
Объем воды в сосудах можно сравнить, сопоставив их с объемом среднего (цилиндрического) сосуда, который равен $V_2 = S \cdot h$.
Первый сосуд (слева) расширяется кверху. Это означает, что его средняя площадь поперечного сечения больше площади дна. Следовательно, его объем $V_1$ больше объема цилиндрического сосуда: $V_1 > V_2$.
Третий сосуд (справа) сужается кверху. Его средняя площадь поперечного сечения меньше площади дна. Поэтому его объем $V_3$ меньше объема цилиндрического сосуда: $V_3 < V_2$.
Таким образом, сравнивая объемы, получаем соотношение: $V_1 > V_2 > V_3$.

Ответ: Больше всего воды налито в левом сосуде, который расширяется кверху.

Одинаково ли давление на дно в этих сосудах? Почему?

Давление, которое жидкость оказывает на дно сосуда (гидростатическое давление), определяется по формуле:
$p = \rho g h$
где $\rho$ — плотность жидкости (для воды она одинакова во всех сосудах), $g$ — ускорение свободного падения (постоянная величина), а $h$ — высота столба жидкости.
По условию задачи, вода во всех трех сосудах налита до одного и того же уровня, значит, высота столба жидкости h для них одинакова. Так как все величины ($\rho$, $g$, $h$) в формуле для давления одинаковы для всех трех сосудов, то и давление на дно будет одинаковым.
Этот вывод является проявлением гидростатического парадокса, который гласит, что давление на дно сосуда не зависит от его формы и от общего веса налитой в него жидкости.

Ответ: Да, давление на дно во всех трех сосудах одинаково, потому что оно зависит только от плотности жидкости и высоты ее столба, а эти параметры по условию одинаковы.

$24.7^{\circ}$ $[510^{\circ}]$ Уровень воды в сосудах одинаковый (рис. III-35).

Будет ли переливаться вода из одного сосуда в другой, если открыть кран К?

Рис. III-35

Решение

Для того чтобы определить, будет ли вода переливаться при открытии крана К, необходимо сравнить гидростатические давления в точках жидкости по обе стороны от крана. Жидкость всегда перетекает из области с более высоким давлением в область с более низким давлением. Если давления одинаковы, перетекания не происходит.

Рассмотрим две точки, находящиеся на одном горизонтальном уровне у крана К: точка 1 в широком (внешнем) сосуде и точка 2 в узком (внутреннем) сосуде.

Давление в точке 1 ($p_1$) определяется суммой атмосферного давления ($p_{атм}$), действующего на открытую поверхность воды, и давления столба воды высотой $h$: $p_1 = p_{атм} + \rho g h$, где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

Давление в точке 2 ($p_2$) определяется суммой давления воздуха ($p_{возд}$), который заперт над водой во внутреннем сосуде, и давления столба воды той же высоты $h$: $p_2 = p_{возд} + \rho g h$.

Согласно закону сообщающихся сосудов, если однородная жидкость находится в равновесии, то ее свободные поверхности в разных частях сосуда устанавливаются на одном уровне только в том случае, если давление над этими поверхностями одинаково. В условии задачи сказано, что уровень воды в сосудах одинаковый. Это означает, что система находится в состоянии равновесия.

Следовательно, давление на свободную поверхность воды во внешнем сосуде (атмосферное давление) должно быть равно давлению на свободную поверхность воды во внутреннем сосуде (давление запертого воздуха): $p_{атм} = p_{возд}$.

Теперь, подставив это равенство в выражения для давлений $p_1$ и $p_2$, мы можем их сравнить: $p_1 = p_{атм} + \rho g h$ $p_2 = p_{возд} + \rho g h = p_{атм} + \rho g h$

Таким образом, мы получаем, что $p_1 = p_2$. Поскольку давления по обе стороны от крана К равны, разность давлений отсутствует. Это означает, что при открытии крана вода не будет переливаться из одного сосуда в другой.

Ответ: нет, вода переливаться из одного сосуда в другой не будет, так как гидростатическое давление на уровне крана в обоих сосудах одинаково.

24.8° [511°] Уровень жидкостей в сосудах (см. рис. III-35) одинаковый. В левом налита вода, в правом — керосин. Одинаково ли давление на дно сосудов? Одинаково ли давление на кран К справа и слева? Будет ли переливаться жидкость из одного сосуда в другой, если открыть кран?

Рис. III-35

Одинаково ли давление на дно сосудов?

Давление жидкости на дно сосуда (гидростатическое давление) определяется по формуле $p = \rho \cdot g \cdot h$, где $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота столба жидкости.

В задаче указано, что уровни жидкостей в сосудах одинаковы, следовательно, высота $h$ для воды (в левом сосуде) и керосина (в правом сосуде) одинакова. Величина $g$ также постоянна. Таким образом, давление на дно зависит только от плотности жидкости.

Плотность воды ($\rho_{воды}$) составляет примерно $1000 \text{ кг/м}^3$, а плотность керосина ($\rho_{керосина}$) — примерно $800 \text{ кг/м}^3$.

Поскольку плотность воды больше плотности керосина ($\rho_{воды} > \rho_{керосина}$), то при равной высоте столба жидкости давление на дно сосуда с водой будет больше, чем давление на дно сосуда с керосином ($p_{воды} > p_{керосина}$).

Ответ: Нет, давление на дно сосудов не одинаково. Давление в сосуде с водой больше, чем в сосуде с керосином.

Одинаково ли давление на кран К справа и слева?

Давление на кран К с обеих сторон также рассчитывается по формуле гидростатического давления $p = \rho \cdot g \cdot h_K$, где $h_K$ – это высота столба жидкости над уровнем крана.

Так как кран находится на одном и том же горизонтальном уровне, а общие уровни жидкостей в сосудах равны, то высота столба жидкости над краном $h_K$ одинакова для обоих сосудов.

Давление со стороны воды (слева): $p_{слева} = \rho_{воды} \cdot g \cdot h_K$.

Давление со стороны керосина (справа): $p_{справа} = \rho_{керосина} \cdot g \cdot h_K$.

Учитывая, что $\rho_{воды} > \rho_{керосина}$, давление на кран со стороны воды будет больше, чем со стороны керосина ($p_{слева} > p_{справа}$).

Ответ: Нет, давление на кран К не одинаково. Давление слева (со стороны воды) больше, чем давление справа (со стороны керосина).

Будет ли переливаться жидкость из одного сосуда в другой, если открыть кран?

Согласно закону сообщающихся сосудов, жидкость всегда перетекает из области с более высоким давлением в область с более низким давлением до тех пор, пока давления на уровне соединения не станут равными.

Как было установлено ранее, на уровне крана К давление в левом сосуде с водой выше, чем в правом сосуде с керосином.

Поэтому, если открыть кран, вода из левого сосуда начнет перетекать в правый. Это приведет к тому, что уровень воды в левом сосуде понизится, а общий уровень жидкости в правом сосуде повысится, пока не установится новое равновесие (давления на уровне крана выровняются).

Ответ: Да, жидкость будет переливаться из левого сосуда (с водой) в правый (с керосином).