Страница 81 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

24.9 [512] В левой части сосуда над жидкостью находится воздух (рис. III-36). Какую высоту столба жидкости ($H$ или $H_1$) следует учитывать при расчёте давления на дно сосуда? Ответ поясните.

Рис. III-36

Решение

Данный сосуд представляет собой систему сообщающихся сосудов. Согласно закону Паскаля и основному уравнению гидростатики, давление на любом горизонтальном уровне внутри однородной покоящейся жидкости одинаково. Дно сосуда находится на одном горизонтальном уровне, следовательно, давление во всех его точках одинаково. Обозначим это давление $p_{дно}$.

Давление на дно можно определить, рассмотрев столб жидкости в любой из частей сосуда.

В правой части сосуда, которая открыта, на поверхность жидкости действует атмосферное давление $p_{атм}$. Высота столба жидкости в этой части равна $H_1$. Полное давление на дно, рассчитанное по правой части, складывается из атмосферного давления и гидростатического давления столба жидкости высотой $H_1$:
$p_{дно} = p_{атм} + \rho g H_1$, где $\rho$ — плотность жидкости, а $g$ — ускорение свободного падения.

В левой части сосуда над жидкостью находится запертый воздух, который оказывает на поверхность жидкости давление $p_{воздух}$. Высота столба жидкости здесь равна $H$. Полное давление на дно, рассчитанное по левой части, равно:
$p_{дно} = p_{воздух} + \rho g H$.

Так как давление на дно одинаково, мы можем приравнять оба выражения:
$p_{атм} + \rho g H_1 = p_{воздух} + \rho g H$.

Из рисунка видно, что уровень жидкости в правой части выше, чем в левой ($H_1 > H$). Это возможно только в том случае, если давление запертого воздуха в левой части больше атмосферного давления ($p_{воздух} > p_{атм}$). Разность давлений уравновешивается столбом жидкости высотой ($H_1 - H$).

Для практического расчёта давления на дно необходимо знать давление на поверхности жидкости и высоту столба этой жидкости. Давление запертого воздуха $p_{воздух}$ в левой части сосуда, как правило, неизвестно. В то же время атмосферное давление $p_{атм}$ является известной (или стандартной) величиной. Поэтому для расчёта давления на дно сосуда целесообразно использовать данные из правой, открытой части сосуда, где используется высота $H_1$.

Ответ: При расчёте давления на дно сосуда следует учитывать высоту столба жидкости $H_1$. Это связано с тем, что правая часть сосуда открыта в атмосферу, и давление на дно можно однозначно определить как сумму известного атмосферного давления и гидростатического давления столба жидкости высотой $H_1$: $p_{дно} = p_{атм} + \rho g H_1$. Расчёт с использованием высоты $H$ потребовал бы знания давления запертого воздуха, которое обычно не задано.

24.10 [513] В полиэтиленовый мешок налита вода (рис. III-37). Что показывают динамометры: давление или силы, действующие на столики динамометров? Стрелка правого динамометра закрыта листом бумаги. Чему равно показание правого динамометра? Будут ли изменяться показания динамометров, если воду в мешок доливать? если воду выливать из мешка? Ответы обоснуйте.

Рис. III-36

Рис. III-37

Что показывают динамометры: давление или силы, действующие на столики динамометров? Динамометр — это прибор, предназначенный для измерения силы. Его шкала проградуирована в единицах силы, в данном случае в ньютонах (Н). Давление же является скалярной физической величиной, определяемой как отношение силы $F$, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности $S$ ($p=F/S$). Хотя сила, которую измеряют динамометры, создается давлением воды, сами приборы показывают именно результирующую силу, действующую на их измерительные площадки (столики). Ответ: динамометры показывают силы.

Стрелка правого динамометра закрыта листом бумаги. Чему равно показание правого динамометра?

$F_л = 60$ Н (показание левого динамометра)

$F_п$ — ? (показание правого динамометра)

Согласно закону Паскаля, давление, производимое на жидкость, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. В данном опыте столики левого и правого динамометров находятся на одной и той же глубине (на одном горизонтальном уровне). Следовательно, гидростатическое давление воды на них одинаково: $p_л = p_п$. Сила давления $F$, действующая на столик динамометра, равна произведению давления $p$ на площадь столика $S$: $F = p \cdot S$. Установка на рисунке симметрична, поэтому можно считать, что площади столиков обоих динамометров равны ($S_л = S_п$). Из равенства давлений и площадей следует равенство сил, действующих на столики: $F_л = F_п$. Поскольку левый динамометр показывает 60 Н, то и правый динамометр будет показывать такое же значение.

Ответ: показание правого динамометра равно 60 Н.

Будут ли изменяться показания динамометров, если воду в мешок доливать? Да, будут. Гидростатическое давление жидкости зависит от высоты столба жидкости (глубины) и рассчитывается по формуле $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости. Когда мы доливаем воду в мешок, уровень воды поднимается, следовательно, глубина $h$, на которой находятся столики динамометров, увеличивается. Увеличение глубины приводит к росту гидростатического давления $p$. Так как сила, измеряемая динамометром, прямо пропорциональна давлению ($F = p \cdot S$), её значение также увеличится. Таким образом, показания обоих динамометров возрастут. Ответ: да, показания динамометров увеличатся.

Будут ли изменяться показания динамометров, если воду выливать из мешка? Да, будут. Если выливать воду из мешка, уровень воды, а значит и глубина $h$, на которой расположены столики динамометров, будет уменьшаться. Согласно формуле гидростатического давления $p = \rho g h$, уменьшение глубины $h$ приведет к снижению давления $p$. Уменьшение давления, в свою очередь, вызовет уменьшение силы $F$, действующей на столики динамометров ($F = p \cdot S$). Следовательно, показания обоих динамометров уменьшатся. Ответ: да, показания динамометров уменьшатся.

24.11 [514] Одинаково ли давление воды на дно сосудов на рисунке III-38? Чему равно избыточное давление (т. е. без учёта атмосферного)? Изменится ли это давление, если воду заменить керосином? Чему оно будет равно в этом случае?

20 см

30 см

Рис. III-38

Одинаково ли давление воды на дно сосудов на рисунке III-38?

Да, давление воды на дно всех сосудов одинаково. Сосуды на рисунке являются сообщающимися, и в состоянии равновесия уровень однородной жидкости (воды) в них устанавливается на одной и той же высоте. Гидростатическое давление, создаваемое столбом жидкости, зависит только от высоты этого столба и плотности жидкости, но не зависит от формы сосуда или объема жидкости в нем. Это следует из формулы гидростатического давления $p = \rho g h$. Так как высота столба воды $h$ и её плотность $\rho_в$ одинаковы для всех точек дна, то и давление на дно во всех сосудах будет одинаковым.

Ответ: давление на дно всех сосудов одинаково.

Чему равно избыточное давление (т. е. без учёта атмосферного)?

Дано:
Высота нижнего уровня воды: $h_1 = 30 \text{ см}$
Высота верхнего уровня воды: $h_2 = 20 \text{ см}$
Плотность воды: $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

В системе СИ:
$h_1 = 0.3 \text{ м}$
$h_2 = 0.2 \text{ м}$

Найти:
Избыточное давление воды $p_в$.

Решение:

Избыточное (гидростатическое) давление жидкости на дно сосуда вычисляется по формуле: $p = \rho g h$. Общая высота столба воды в сосудах равна сумме высот, указанных на рисунке: $h = h_1 + h_2 = 0.3 \text{ м} + 0.2 \text{ м} = 0.5 \text{ м}$. Теперь можно рассчитать давление, которое вода оказывает на дно сосудов: $p_в = \rho_в \cdot g \cdot h = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.5 \text{ м} = 5000 \text{ Н/м}^2 = 5000 \text{ Па}$. Давление можно также выразить в килопаскалях: $5000 \text{ Па} = 5 \text{ кПа}$.

Ответ: избыточное давление воды на дно сосудов равно $5000 \text{ Па}$ (или $5 \text{ кПа}$).

Изменится ли это давление, если воду заменить керосином?

Да, давление изменится. Плотность керосина ($\rho_к \approx 800 \text{ кг/м}^3$) меньше плотности воды ($\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$). Поскольку гидростатическое давление прямо пропорционально плотности жидкости ($p = \rho g h$), при замене воды на менее плотный керосин (при той же высоте столба жидкости) давление на дно сосудов уменьшится.

Ответ: да, давление уменьшится.

Чему оно будет равно в этом случае?

Дано:
Высота столба жидкости: $h = 0.5 \text{ м}$
Плотность керосина: $\rho_к \approx 800 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:
Избыточное давление керосина $p_к$.

Решение:

Используем ту же формулу для гидростатического давления, подставив в нее плотность керосина: $p_к = \rho_к \cdot g \cdot h = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.5 \text{ м} = 4000 \text{ Н/м}^2 = 4000 \text{ Па}$. Давление можно также выразить в килопаскалях: $4000 \text{ Па} = 4 \text{ кПа}$.

Ответ: давление керосина на дно сосудов будет равно $4000 \text{ Па}$ (или $4 \text{ кПа}$).

24.12 [515] Высота столба воды в стакане 8 см. Какое давление на дно стакана оказывает столб воды? Какое давление оказывала бы ртуть, налитая до того же уровня?

Дано:

Высота столба жидкости, $h = 8$ см
Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м³
Плотность ртути, $\rho_р = 13600$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ Н/кг

Перевод в систему СИ:
$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Давление столба воды, $P_в$ — ?
Давление столба ртути, $P_р$ — ?

Решение:

Давление, которое оказывает столб жидкости на дно сосуда (гидростатическое давление), рассчитывается по формуле:

$P = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — это плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

Какое давление на дно стакана оказывает столб воды?

Для нахождения давления, оказываемого столбом воды, используем указанную формулу, подставляя значения для воды:

$P_в = \rho_в \cdot g \cdot h = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.08 \text{ м} = 800 \text{ Па}$

Ответ: давление, оказываемое столбом воды на дно стакана, составляет 800 Па.

Какое давление оказывала бы ртуть, налитая до того же уровня?

Для нахождения давления, которое оказывал бы столб ртути той же высоты, подставим в формулу значения для ртути:

$P_р = \rho_р \cdot g \cdot h = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.08 \text{ м} = 10880 \text{ Па}$

Это значение также можно выразить в килопаскалях: $10880 \text{ Па} = 10.88 \text{ кПа}$.

Ответ: ртуть, налитая до того же уровня, оказывала бы давление 10880 Па.

24.13 [516] Какое давление на дно сосуда оказывает слой керосина на высотой 0,5 м?

Дано:

Высота слоя керосина $h = 0,5 \, \text{м}$
Плотность керосина (табличное значение) $\rho = 800 \, \text{кг/м}^3$
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, \text{Н/кг}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Давление $p$

Решение:

Давление, оказываемое столбом жидкости на дно сосуда, называется гидростатическим давлением и рассчитывается по формуле:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

Подставим в формулу известные значения и вычислим давление:

$p = 800 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9,8 \, \text{Н/кг} \cdot 0,5 \, \text{м} = 7840 \cdot 0,5 \, \text{Па} = 3920 \, \text{Па}$

Результат можно также представить в килопаскалях (кПа): $3920 \, \text{Па} = 3,92 \, \text{кПа}$.

Ответ: давление, оказываемое слоем керосина на дно сосуда, равно $3920 \, \text{Па}$.

24.14* [517*] В цилиндрический сосуд налиты ртуть, вода и керосин. Определите общее избыточное давление, которое оказывают жидкости на дно сосуда, если объёмы всех жидкостей равны, а верхний уровень керосина находится на высоте 12 см от дна сосуда.

Дано:

В сосуд налиты три несмешивающиеся жидкости: ртуть (р), вода (в), керосин (к).
Объемы жидкостей равны: $V_р = V_в = V_к$.
Общая высота жидкостей в сосуде: $H = 12 \text{ см}$.
Используем табличные значения плотностей:
Плотность ртути: $\rho_р = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Плотность воды: $\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Плотность керосина: $\rho_к = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Найти:

Общее избыточное давление на дно сосуда $p_{изб}$.

Решение:

Поскольку жидкости не смешиваются, они расположатся в цилиндрическом сосуде слоями в порядке убывания их плотности. На дне будет самый плотный слой — ртуть, над ним — вода, а верхний слой — керосин.

Общее избыточное давление на дно сосуда ($p_{изб}$) представляет собой сумму гидростатических давлений, создаваемых каждым слоем жидкости: $p_{изб} = p_р + p_в + p_к$

Давление, создаваемое столбом жидкости, рассчитывается по формуле $p = \rho g h$, где $\rho$ – плотность жидкости, $h$ – высота ее столба. Таким образом, общее давление: $p_{изб} = \rho_р g h_р + \rho_в g h_в + \rho_к g h_к$

Согласно условию, объемы всех жидкостей равны ($V_р = V_в = V_к = V$). Для цилиндрического сосуда с постоянной площадью поперечного сечения $S$ объем каждого слоя связан с его высотой соотношением $V = S \cdot h$. Так как объемы и площадь сечения для всех слоев одинаковы, их высоты также должны быть равны: $h_р = h_в = h_к = h$

Общая высота всех жидкостей $H$ — это сумма высот трех слоев: $H = h_р + h_в + h_к = 3h$

Зная общую высоту $H = 0.12 \text{ м}$, мы можем найти высоту одного слоя: $h = \frac{H}{3} = \frac{0.12 \text{ м}}{3} = 0.04 \text{ м}$

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для общего давления: $p_{изб} = g \cdot h \cdot (\rho_р + \rho_в + \rho_к)$

Выполним расчет, подставив числовые значения: $p_{изб} = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.04 \text{ м} \cdot (13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} + 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$
$p_{изб} = 0.392 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} \cdot 15400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$p_{изб} = 6036.8 \text{ Па}$

Ответ: общее избыточное давление, которое оказывают жидкости на дно сосуда, составляет $6036.8 \text{ Па}$.

24.15 [518] Сосуды с водой имеют равные площади дна (рис. III-39). В каком из них избыточное давление воды на дно (без учёта атмосферного давления) больше и во сколько раз?

Высота воды в первом сосуде: $h_1 = 40 \text{ см}$

Высота воды во втором сосуде: $h_2 = 80 \text{ см}$

Рис. III-39

Дано:

Высота столба воды в первом сосуде, $h_1 = 40 \text{ см}$
Высота столба воды во втором сосуде, $h_2 = 80 \text{ см}$
Площади дна сосудов равны, $S_1 = S_2$
Жидкость в сосудах — вода, плотность которой $\rho$.

$h_1 = 0.4 \text{ м}$
$h_2 = 0.8 \text{ м}$

Найти:

В каком сосуде давление на дно больше и во сколько раз? Найти отношение $\frac{p_2}{p_1}$.

Решение:

Избыточное давление жидкости на дно сосуда (гидростатическое давление) определяется по формуле Паскаля:

$p = \rho g h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота столба жидкости.

Давление не зависит от формы сосуда и площади его дна (при условии, что мы говорим именно о давлении, а не о силе давления). Оно зависит только от высоты столба жидкости.

Рассчитаем давление для каждого сосуда:

Давление на дно первого сосуда: $p_1 = \rho g h_1$

Давление на дно второго сосуда: $p_2 = \rho g h_2$

Чтобы определить, в каком сосуде давление больше и во сколько раз, найдем отношение давлений $\frac{p_2}{p_1}$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\rho g h_2}{\rho g h_1} = \frac{h_2}{h_1}$

Подставим числовые значения высот:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{80 \text{ см}}{40 \text{ см}} = 2$

Так как отношение $\frac{p_2}{p_1} = 2$, это означает, что давление во втором сосуде ($p_2$) в 2 раза больше, чем давление в первом сосуде ($p_1$). Это происходит потому, что высота столба воды во втором сосуде в два раза больше.

Ответ: избыточное давление воды на дно больше во втором сосуде в 2 раза.