Номер 27.14, страница 95 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 27. Закон Архимеда. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 27.14, страница 95.

$27.14^0$ $[609^0]$ К чашам рычажных весов подвешены две гири равного веса: фарфоровая и железная. Нарушится ли равновесие весов, если гири опустить в воду?

Дано:

Вес фарфоровой гири: $P_ф$
Вес железной гири: $P_ж$
$P_ф = P_ж$ (в воздухе)
Плотность фарфора: $\rho_ф$
Плотность железа: $\rho_ж$
Плотность воды: $\rho_в$

Найти:

Нарушится ли равновесие весов, если гири опустить в воду?

Решение:

Изначально рычажные весы находятся в равновесии. Это означает, что силы, действующие на чаши весов, равны. В воздухе (пренебрегая выталкивающей силой воздуха) на гири действует только сила тяжести, которая и определяет их вес.

$P_ф = P_ж$

Поскольку вес $P$ связан с массой $m$ соотношением $P = mg$, где $g$ — ускорение свободного падения, равенство весов означает и равенство масс гирь:

$m_ф g = m_ж g \implies m_ф = m_ж = m$

Теперь рассмотрим, что произойдет, когда гири опустят в воду. На каждую гирю, погруженную в жидкость, начнет действовать выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Эта сила уменьшит вес каждой гири. Новый, "кажущийся" вес $P'$ будет равен разности между силой тяжести и силой Архимеда $F_A$:

$P' = P - F_A = mg - F_A$

Сила Архимеда определяется по формуле:

$F_A = \rho_в g V$, где $\rho_в$ — плотность воды, а $V$ — объем погруженного тела.

Для равновесия весов в воде необходимо, чтобы кажущиеся веса гирь были равны:

$P'_ф = P'_ж$

$m_ф g - F_{A,ф} = m_ж g - F_{A,ж}$

Так как массы гирь равны ($m_ф = m_ж$), условие равновесия сводится к равенству выталкивающих сил:

$F_{A,ф} = F_{A,ж}$

$\rho_в g V_ф = \rho_в g V_ж \implies V_ф = V_ж$

Таким образом, равновесие сохранится только в том случае, если объемы гирь одинаковы. Выразим объемы гирь через их массу $m$ и плотность $\rho$:

$V = m / \rho$

$V_ф = m / \rho_ф$
$V_ж = m / \rho_ж$

Сравним плотности материалов. Плотность железа ($\rho_ж \approx 7800 \text{ кг/м}^3$) значительно больше плотности фарфора ($\rho_ф \approx 2300 \text{ кг/м}^3$).

$\rho_ж > \rho_ф$

Поскольку массы гирь одинаковы, а плотности различны, то их объемы также будут различны. Тело с меньшей плотностью (фарфор) будет иметь больший объем:

$V_ф > V_ж$

Раз объемы гирь не равны, то и выталкивающие силы, действующие на них в воде, не будут равны. На гирю с большим объемом (фарфоровую) будет действовать большая выталкивающая сила:

$F_{A,ф} > F_{A,ж}$

Это означает, что вес фарфоровой гири уменьшится сильнее, чем вес железной. Кажущийся вес железной гири станет больше кажущегося веса фарфоровой:

$P'_ж > P'_ф$

В результате равновесие весов нарушится. Чаша с железной гирей опустится вниз, а чаша с фарфоровой гирей поднимется.

Ответ: Да, равновесие весов нарушится. Чаша с железной гирей перевесит, так как на фарфоровую гирю, имеющую больший объем при той же массе, действует большая выталкивающая сила.