Страница 103 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

28.14° [674°] На рисунке IV-5 показаны пути перемещения груза весом $0,5 \, \text{кН}$ при подъёме его на различную высоту. Определите работу в каждом случае.

$200 \, \text{см}$

Рис. IV-5

Дано:

Найти:

$A_1, A_2, A_3, A_4$

Решение:

Работа, совершаемая при подъеме груза, вычисляется по формуле $A = F \cdot s$, где $F$ – это сила, прикладываемая для подъема, а $s$ – это путь, пройденный телом в направлении действия силы (в данном случае — высота подъема $h$).

Чтобы поднять груз, необходимо приложить силу, как минимум равную его весу $P$. Таким образом, $F = P$. Тогда формула для работы принимает вид:

$A = P \cdot h$

Из рисунка видно, что груз поднимают на разную высоту. Высота подъема в первом случае составляет $h_1 = 2 \text{ м}$. В каждом последующем случае высота подъема увеличивается на эту же величину. Таким образом:

• Высота подъема во втором случае: $h_2 = 2 \cdot h_1 = 4 \text{ м}$
• Высота подъема в третьем случае: $h_3 = 3 \cdot h_1 = 6 \text{ м}$
• Высота подъема в четвертом случае: $h_4 = 4 \cdot h_1 = 8 \text{ м}$

Теперь рассчитаем работу для каждого случая.

1-й случай

Работа, совершенная при подъеме груза на высоту $h_1 = 2 \text{ м}$:

$A_1 = P \cdot h_1 = 500 \text{ Н} \cdot 2 \text{ м} = 1000 \text{ Дж} = 1 \text{ кДж}$

Ответ: $A_1 = 1 \text{ кДж}$.

2-й случай

Работа, совершенная при подъеме груза на высоту $h_2 = 4 \text{ м}$:

$A_2 = P \cdot h_2 = 500 \text{ Н} \cdot 4 \text{ м} = 2000 \text{ Дж} = 2 \text{ кДж}$

Ответ: $A_2 = 2 \text{ кДж}$.

3-й случай

Работа, совершенная при подъеме груза на высоту $h_3 = 6 \text{ м}$:

$A_3 = P \cdot h_3 = 500 \text{ Н} \cdot 6 \text{ м} = 3000 \text{ Дж} = 3 \text{ кДж}$

Ответ: $A_3 = 3 \text{ кДж}$.

4-й случай

Работа, совершенная при подъеме груза на высоту $h_4 = 8 \text{ м}$:

$A_4 = P \cdot h_4 = 500 \text{ Н} \cdot 8 \text{ м} = 4000 \text{ Дж} = 4 \text{ кДж}$

Ответ: $A_4 = 4 \text{ кДж}$.

28.15 [675] Определите работу, совершённую при равномерном подъёме тела весом 40 Н на высоту 120 см.

Дано:

Вес тела $P = 40 \text{ Н}$
Высота $h = 120 \text{ см}$

$120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$

Найти:

Работу $A$

Решение:

Работа, совершаемая силой при перемещении тела, определяется по формуле:
$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$
где $F$ — приложенная сила, $s$ — перемещение, а $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением перемещения.

В данном случае тело поднимают вертикально вверх, поэтому перемещение $s$ равно высоте подъема $h$. Сила, с которой поднимают тело, также направлена вертикально вверх. Следовательно, угол $\alpha$ между силой и перемещением равен $0^\circ$, а $\cos(0^\circ) = 1$.

Формула для работы упрощается до:
$A = F \cdot h$

По условию, подъем равномерный. Это означает, что ускорение равно нулю, и по второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. На тело действуют две силы: сила тяжести (вес $P$), направленная вниз, и приложенная для подъема сила $F$, направленная вверх. Для равномерного подъема эти силы должны быть равны по модулю:
$F = P = 40 \text{ Н}$

Теперь можем рассчитать работу, подставив известные значения в формулу:
$A = P \cdot h = 40 \text{ Н} \cdot 1.2 \text{ м} = 48 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершённая при подъёме тела, равна 48 Дж.

28.16 [676] На поршень насоса действует сила 204 кН. Чему равна работа за один ход поршня, если ход поршня равен 40 см?

Дано:

Найти:

$A$

Решение:

Работа, совершаемая силой, определяется по формуле: $A = F \cdot s$, где $A$ — это работа, $F$ — сила, действующая на тело, а $s$ — перемещение тела (в данном случае ход поршня) в направлении действия силы.

Подставим значения в систему СИ в данную формулу: $A = 204000 \text{ Н} \cdot 0,4 \text{ м} = 81600 \text{ Дж}$.

Полученное значение можно перевести в килоджоули (кДж) для более удобного представления. Учитывая, что $1 \text{ кДж} = 1000 \text{ Дж}$: $A = \frac{81600}{1000} \text{ кДж} = 81,6 \text{ кДж}$.

Ответ: работа за один ход поршня равна $81,6 \text{ кДж}$.

28.17 [677] Лошадь равномерно тянет телегу со скоростью $0.8$ м/с, прилагая усилие $400$ Н. Какая работа совершается при этом за $1$ ч? (Силу, приложенную лошадью к телеге, считайте направленной вдоль перемещения телеги.)

Рис. IV-5

Дано:

$v = 0,8$ м/с
$F = 400$ Н
$t = 1$ ч

Найти:

$A$ - ?

Решение:

Работа, совершаемая силой, определяется по формуле:

$A = F \cdot s$

где $F$ — это величина приложенной силы, а $s$ — это перемещение тела. В условии задачи указано, что сила направлена вдоль перемещения телеги, поэтому мы используем эту упрощенную формулу.

Перемещение телеги $s$ при равномерном движении со скоростью $v$ в течение времени $t$ можно найти по формуле:

$s = v \cdot t$

Теперь мы можем подставить выражение для перемещения $s$ в формулу для работы $A$:

$A = F \cdot (v \cdot t)$

Подставим числовые значения из условия, предварительно переведя время в систему СИ (секунды):

$A = 400 \text{ Н} \cdot 0,8 \text{ м/с} \cdot 3600 \text{ с}$

Произведем вычисления:

$A = 320 \cdot 3600 = 1152000$ Дж

Полученное значение можно представить в более удобном виде, используя кратные единицы — килоджоули (кДж) или мегаджоули (МДж):

$1152000 \text{ Дж} = 1152 \text{ кДж} = 1,152 \text{ МДж}$

Ответ: работа, совершаемая лошадью, равна $1152000$ Дж или $1,152$ МДж.

28.18 [678] Давление воды в цилиндре нагнетательного насоса 1200 кПа. Чему равна работа при перемещении поршня площадью $400 \text{ см}^2$ на расстояние 50 см?

Дано:

Найти:

Решение:

Работа, совершаемая при перемещении поршня, определяется по формуле:

$A = F \cdot l$

где $F$ – сила, действующая на поршень, а $l$ – расстояние, на которое перемещается поршень.

Сила, с которой вода давит на поршень, связана с давлением $P$ и площадью поршня $S$ соотношением:

$F = P \cdot S$

Подставим выражение для силы в формулу для работы:

$A = P \cdot S \cdot l$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$A = 1.2 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0.04 \text{ м}^2 \cdot 0.5 \text{ м} = 0.024 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 24000 \text{ Дж}$

Переведем джоули в килоджоули:

$24000 \text{ Дж} = 24 \text{ кДж}$

Ответ: работа при перемещении поршня равна $24 \text{ кДж}$.

28.19 [679] Каждую секунду насос подаёт 20 л воды в водонапорную башню на высоту 10 м. Какая работа против сил тяжести совершается за 1 ч?

Дано:

Производительность насоса, $Q = 20 \text{ л/с}$
Высота, $h = 10 \text{ м}$
Время, $t = 1 \text{ ч}$
Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Переведем данные в систему СИ:

Найти:

$A$ — работа против сил тяжести.

Решение:

Работа против силы тяжести при подъеме тела на высоту $h$ вычисляется по формуле, которая соответствует изменению его потенциальной энергии:

$A = mgh$

Здесь $m$ — это масса воды, которую насос поднимает за 1 час.

Сначала определим общий объем воды $V$, поданный насосом за время $t$:

$V = Q \cdot t$

Подставим числовые значения:

$V = 0,02 \text{ м}^3/\text{с} \cdot 3600 \text{ с} = 72 \text{ м}^3$

Далее найдем массу этого объема воды, используя формулу связи массы, плотности и объема:

$m = \rho \cdot V$

Подставим значения:

$m = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 72 \text{ м}^3 = 72000 \text{ кг}$

Наконец, вычислим работу, подставив все известные величины в исходную формулу:

$A = mgh = 72000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 10 \text{ м} = 7\,200\,000 \text{ Дж}$

Результат удобно представить в мегаджоулях (МДж), учитывая, что $1 \text{ МДж} = 10^6 \text{ Дж}$:

$A = 7,2 \text{ МДж}$

Ответ: за 1 час совершается работа против сил тяжести, равная $7,2 \text{ МДж}$.

28.20 [680] Определите работу, совершаемую в течение часа насосами на Волго-Донском канале, если за 1 с они поднимают $45 \text{ м}^3$ воды на высоту 44 м.

Дано:

Полное время работы, $t_{общ} = 1$ час
Объем воды, поднимаемый за 1 с, $V_{1с} = 45$ м³
Высота подъема, $h = 44$ м
Плотность воды, $\rho \approx 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$t_{общ} = 1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \cdot 60 \text{ секунд} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Работу $A_{общ}$, совершаемую насосами за 1 час.

Решение:

Работа, совершаемая для подъема тела на определенную высоту, равна изменению его потенциальной энергии. Формула для работы против силы тяжести имеет вид:
$A = mgh$
где $m$ — масса поднимаемого тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота подъема.

Массу воды $m$ можно выразить через ее объем $V$ и плотность $\rho$ по формуле:
$m = \rho V$
Тогда формула для работы примет вид:
$A = \rho V g h$

Сначала определим общий объем воды $V_{общ}$, который насосы поднимают за 1 час ($3600$ с). Если за 1 секунду поднимается 45 м³ воды, то за час будет поднят объем:
$V_{общ} = V_{1с} \cdot t_{общ} = 45 \frac{\text{м³}}{\text{с}} \cdot 3600 \text{ с} = 162000 \text{ м³}$

Теперь, зная общий объем, можем рассчитать совершенную работу $A_{общ}$:
$A_{общ} = \rho \cdot V_{общ} \cdot g \cdot h$
Подставим числовые значения:
$A_{общ} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 162000 \text{ м³} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 44 \text{ м} = 69854400000 \text{ Дж}$

Это значение можно представить в более удобном виде, например, в гигаджоулях (ГДж), где $1 \text{ ГДж} = 10^9 \text{ Дж}$:
$A_{общ} = 69.8544 \cdot 10^9 \text{ Дж} \approx 70 \cdot 10^9 \text{ Дж} = 70 \text{ ГДж}$

Ответ: работа, совершаемая насосами в течение часа, составляет $69854400000$ Дж, что приблизительно равно $70$ ГДж.

28.21 [681] Какая работа совершается при подъёме гранитной плиты объёмом $2 \text{ м}^3$ на высоту $12 \text{ м}$? Чему будет равна работа, если эту плиту поднимать на ту же высоту в воде?

Дано:

Объем гранитной плиты, $V = 2 \text{ м}^3$

Высота подъема, $h = 12 \text{ м}$

Плотность гранита (справочное значение), $\rho_г = 2600 \text{ кг/м}^3$

Плотность воды (справочное значение), $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Работу при подъеме в воздухе, $A_1$

Работу при подъеме в воде, $A_2$

Решение:

Какая работа совершается при подъёме гранитной плиты объёмом 2 м³ на высоту 12 м?

Работа, совершаемая при равномерном подъеме тела, вычисляется по формуле:

$A = F \cdot h$, где $F$ - приложенная сила, а $h$ - высота подъема.

При подъеме в воздухе (пренебрегая сопротивлением воздуха) приложенная сила $F_1$ должна быть равна по модулю силе тяжести $F_т$, действующей на плиту:

$F_1 = F_т = m \cdot g$

Массу $m$ плиты найдем через ее объем $V$ и плотность гранита $\rho_г$:

$m = \rho_г \cdot V$

Тогда формула для работы $A_1$ примет вид:

$A_1 = \rho_г \cdot V \cdot g \cdot h$

Подставим числовые значения:

$A_1 = 2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \text{ м}^3 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 12 \text{ м} = 611520 \text{ Дж}$

Переведем в килоджоули: $611520 \text{ Дж} = 611.52 \text{ кДж}$.

Ответ: работа, совершаемая при подъеме гранитной плиты в воздухе, равна $611520 \text{ Дж}$ или $611.52 \text{ кДж}$.

Чему будет равна работа, если эту плиту поднимать на ту же высоту в воде?

При подъеме плиты в воде на нее, кроме силы тяжести, действует выталкивающая сила Архимеда $F_А$, направленная вертикально вверх. Эта сила уменьшает силу, которую необходимо приложить для подъема плиты.

Сила, необходимая для подъема в воде $F_2$, равна разности силы тяжести $F_т$ и силы Архимеда $F_А$:

$F_2 = F_т - F_А$

Сила Архимеда вычисляется по формуле:

$F_А = \rho_в \cdot g \cdot V_{тела}$, где $\rho_в$ — плотность воды, а $V_{тела}$ — объем погруженной части тела. Так как плита поднимается в воде, она полностью погружена, и $V_{тела} = V$.

$F_А = \rho_в \cdot g \cdot V$

Тогда работа $A_2$ при подъеме в воде равна:

$A_2 = F_2 \cdot h = (F_т - F_А) \cdot h = (m \cdot g - \rho_в \cdot g \cdot V) \cdot h = (\rho_г \cdot V \cdot g - \rho_в \cdot g \cdot V) \cdot h$

Вынесем общие множители за скобки:

$A_2 = (\rho_г - \rho_в) \cdot V \cdot g \cdot h$

Подставим числовые значения:

$A_2 = (2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot 2 \text{ м}^3 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 12 \text{ м} = 1600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \text{ м}^3 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 12 \text{ м} = 376320 \text{ Дж}$

Переведем в килоджоули: $376320 \text{ Дж} = 376.32 \text{ кДж}$.

Ответ: работа при подъеме этой же плиты в воде будет равна $376320 \text{ Дж}$ или $376.32 \text{ кДж}$.

28.22 [682] Шагающий экскаватор за один приём выбрасывает $14 \text{ м}^3$ грунта, поднимая его на высоту $20 \text{ м}$. Вес ковша без грунта $20 \text{ кН}$. Определите работу, совершаемую экскаватором по подъёму грунта и ковша. Плотность грунта $1500 \text{ кг}/\text{м}^3$.

Дано:

Найти:

Решение:

Общая работа, совершаемая экскаватором по подъёму грунта и ковша, равна сумме работы по подъёму грунта $A_{гр}$ и работы по подъёму ковша $A_{ковша}$.

$A_{общ} = A_{гр} + A_{ковша}$

Работа по подъёму тела вычисляется по формуле $A = F \cdot h$, где $F$ — сила, прикладываемая для подъёма (равная весу тела $P$), а $h$ — высота подъёма. Таким образом, $A = P \cdot h$.

Полную работу можно рассчитать как $A_{общ} = (P_{гр} + P_{ковша}) \cdot h$.

Вес ковша $P_{ковша}$ дан в условии. Найдем вес грунта $P_{гр}$.

Вес грунта равен произведению его массы $m_{гр}$ на ускорение свободного падения $g$ (примем $g \approx 10 \text{ Н/кг}$).

$P_{гр} = m_{гр} \cdot g$

Массу грунта найдем как произведение его плотности $\rho_{гр}$ на объём $V_{гр}$.

$m_{гр} = \rho_{гр} \cdot V_{гр}$

Вычислим массу грунта:

$m_{гр} = 1500 \text{ кг/м}^3 \cdot 14 \text{ м}^3 = 21000 \text{ кг}$

Теперь вычислим вес грунта:

$P_{гр} = 21000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 210000 \text{ Н}$

Теперь можем найти общую работу, совершаемую экскаватором. Общий вес, который нужно поднять, равен:

$P_{общ} = P_{гр} + P_{ковша} = 210000 \text{ Н} + 20000 \text{ Н} = 230000 \text{ Н}$

Подставим значения в формулу для работы:

$A_{общ} = P_{общ} \cdot h = 230000 \text{ Н} \cdot 20 \text{ м} = 4600000 \text{ Дж}$

Результат можно выразить в мегаджоулях (МДж), зная, что $1 \text{ МДж} = 10^6 \text{ Дж}$.

$A_{общ} = 4.6 \text{ МДж}$

Ответ: работа, совершаемая экскаватором по подъёму грунта и ковша, равна $4600000 \text{ Дж}$ или $4.6 \text{ МДж}$.

28.23 [683] Среднее давление газов на поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания равно $5 \cdot 10^5 \text{ Па}$, ход поршня $15,2 \text{ см}$, площадь поршня $120 \text{ см}^2$. Чему равна работа, совершаемая за один ход поршня?

Дано:

Среднее давление газов, $p = 5 \cdot 10^5$ Па

Ход поршня, $h = 15,2$ см

Площадь поршня, $S = 120$ см²

Переведем данные в систему СИ:
$h = 15,2 \text{ см} = 0,152 \text{ м}$
$S = 120 \text{ см}^2 = 120 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,012 \text{ м}^2$

Найти:

Работу, совершаемую за один ход поршня, $A$.

Решение:

Работа, совершаемая газом при постоянном давлении, вычисляется по формуле:

$A = p \cdot \Delta V$

где $p$ – это среднее давление газа, а $\Delta V$ – изменение объема, которое происходит за один ход поршня.

Изменение объема $\Delta V$ можно найти как произведение площади поршня $S$ на его ход $h$:

$\Delta V = S \cdot h$

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = p \cdot S \cdot h$

Теперь подставим числовые значения величин в системе СИ и произведем расчет:

$A = (5 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (0,012 \text{ м}^2) \cdot (0,152 \text{ м})$

$A = 6000 \text{ Н/м}^2 \cdot \text{м}^2 \cdot 0,152 \text{ м} = 6000 \cdot 0,152 \text{ Дж} = 912 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершаемая за один ход поршня, равна 912 Дж.

28.24 [686] Какую работу совершает поле тяготения, когда человек массой 50 кг поднимается на пятый этаж здания, если высота одного этажа равна 3,5 м?

Дано:

Масса человека, $m = 50$ кг
Высота одного этажа, $h_1 = 3,5$ м
Человек поднимается на 5-й этаж.
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Работу поля тяготения $A_g$.

Решение:

Работа, совершаемая постоянной силой, определяется по формуле: $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$ где $F$ — модуль силы, $s$ — модуль перемещения, а $\alpha$ — угол между вектором силы и вектором перемещения.

В данном случае работа совершается силой тяжести (силой поля тяготения), которая действует на человека: $F_g = m \cdot g$

Перемещение $s$ равно общей высоте подъема $h$. Когда человек поднимается на пятый этаж, предполагая, что он начинает с первого этажа (уровня земли), он преодолевает 4 межэтажных пролета. Таким образом, общая высота подъема составляет: $h = 4 \cdot h_1 = 4 \cdot 3,5 \, \text{м} = 14 \, \text{м}$

Сила тяжести $F_g$ всегда направлена вертикально вниз. Перемещение человека $h$ направлено вертикально вверх. Следовательно, угол $\alpha$ между вектором силы тяжести и вектором перемещения равен $180^\circ$. Косинус этого угла: $\cos(180^\circ) = -1$

Теперь можно рассчитать работу, совершаемую полем тяготения. Отрицательный знак в результате означает, что работа совершается против силы, то есть сила препятствует движению. $A_g = F_g \cdot h \cdot \cos(180^\circ) = mgh \cdot (-1) = -mgh$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $A_g = - (50 \, \text{кг}) \cdot (9,8 \, \text{м/с}^2) \cdot (14 \, \text{м}) = -6860 \, \text{Дж}$

Полученную работу можно также выразить в килоджоулях: $A_g = -6,86 \, \text{кДж}$

Ответ: $-6860$ Дж.