Страница 109 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

29.32 [727] Во сколько раз надо увеличить полезную мощность, затрачиваемую на движение лодки, чтобы увеличить её скорость от 1 до 2 м/с, если сопротивление воды пропорционально скорости?

Дано:

начальная скорость лодки, $v_1 = 1$ м/с
конечная скорость лодки, $v_2 = 2$ м/с
сила сопротивления воды, $F_{сопр} \propto v$ (пропорциональна скорости)
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение конечной полезной мощности к начальной, $\frac{P_2}{P_1}$

Решение:

Полезная мощность $P$, затрачиваемая на движение лодки, определяется по формуле: $P = F_{тяги} \cdot v$, где $F_{тяги}$ – сила тяги, создаваемая двигателем лодки, а $v$ – её скорость.

Поскольку лодка движется с постоянной скоростью (как в начальном, так и в конечном состоянии), это означает, что движение равномерное. Согласно первому закону Ньютона, при равномерном движении сила тяги уравновешивается силой сопротивления воды: $F_{тяги} = F_{сопр}$

Из условия задачи известно, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости: $F_{сопр} = k \cdot v$, где $k$ – некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от формы лодки и свойств воды.

Подставив это выражение в формулу для силы тяги, а затем в формулу для мощности, получим зависимость полезной мощности от скорости: $P = F_{сопр} \cdot v = (k \cdot v) \cdot v = k \cdot v^2$ Таким образом, полезная мощность пропорциональна квадрату скорости движения.

Запишем выражения для полезной мощности в начальном и конечном состояниях: начальная мощность: $P_1 = k \cdot v_1^2$ конечная мощность: $P_2 = k \cdot v_2^2$

Теперь найдем, во сколько раз нужно увеличить мощность, то есть найдем отношение $\frac{P_2}{P_1}$: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{k \cdot v_2^2}{k \cdot v_1^2} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

Подставим числовые значения скоростей: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{2 \text{ м/с}}{1 \text{ м/с}}\right)^2 = 2^2 = 4$

Ответ: полезную мощность надо увеличить в 4 раза.

29.33 [н] Некоторые производители электроприборов с электроприводом часто указывают в технических характеристиках прибора только одно значение мощности — полезной. Почему надо интересоваться не только указанным значением, но и мощностью, потребляемой прибором? Чем различаются эти значения?

В любом электроприборе, особенно оснащенном электродвигателем, необходимо различать два вида мощности: полезную и потребляемую. Производители часто указывают в рекламных целях именно полезную мощность, так как она характеризует производительность прибора. Однако для потребителя не менее важна и потребляемая мощность.

Интересоваться мощностью, потребляемой прибором, необходимо по двум ключевым причинам. Во-первых, именно по потребляемой мощности рассчитывается расход электроэнергии. Электрический счетчик учитывает всю энергию, которую прибор забирает из сети, а не только ту, что пошла на полезную работу. Следовательно, чем выше потребляемая мощность, тем больше будут расходы на электроэнергию. Во-вторых, потребляемая мощность определяет нагрузку на электрическую сеть. Каждая розетка и участок проводки в доме рассчитаны на определенный максимальный ток, который напрямую связан с мощностью подключаемых устройств. Превышение этой нагрузки может привести к срабатыванию защитных автоматов, а в худшем случае — к перегреву проводов и риску пожара. Поэтому знание потребляемой мощности необходимо для безопасной эксплуатации электроприборов.

Различие между этими двумя видами мощности заключается в следующем:

Потребляемая мощность ($P_{потр}$) — это полная электрическая мощность, которую прибор получает из электрической сети для своей работы. Это произведение напряжения сети $U$ на силу тока $I$ в цепи: $P_{потр} = U \cdot I$.

Полезная мощность ($P_{полезн}$) — это та часть потребляемой мощности, которая преобразуется непосредственно в полезную работу, ради которой прибор используется. Например, для дрели — это механическая мощность вращения сверла, для пылесоса — мощность, затрачиваемая на создание потока воздуха, для светильника — мощность светового излучения.

Потребляемая мощность всегда больше полезной, так как ни один реальный механизм не может преобразовать энергию из одной формы в другую без потерь. Разница между потребляемой и полезной мощностью — это мощность потерь ($P_{потерь}$). Эти потери происходят в основном за счет выделения тепла при прохождении тока по обмоткам двигателя (согласно закону Джоуля — Ленца), а также из-за трения в движущихся частях, вибрации и шума. Таким образом, всегда справедливо соотношение:

$P_{потр} = P_{полезн} + P_{потерь}$

Эффективность работы прибора характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД), который обозначается греческой буквой $\eta$ (эта). Он представляет собой отношение полезной мощности к потребляемой:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{потр}}$

Поскольку $P_{потерь} > 0$, КПД любого реального устройства всегда меньше 1 (или 100%).

Ответ: Интересоваться потребляемой мощностью нужно потому, что именно она определяет как стоимость эксплуатации прибора (счета за электроэнергию), так и нагрузку на домашнюю электросеть, что является вопросом безопасности. Полезная и потребляемая мощности различаются на величину мощности потерь, которые неизбежны при преобразовании электрической энергии в полезную работу (например, механическую) из-за несовершенства технологий. Потребляемая мощность всегда больше полезной, а их соотношение, называемое КПД, характеризует энергоэффективность прибора.

30.1 [728] Разломите спичку пополам, получившиеся части снова разломите пополам и так продолжайте ломать спичку на всё более маленькие кусочки. Почему маленькие кусочки труднее разламывать, чем большие?

30.1 [728]

Решение

Процесс разламывания спички можно рассматривать с точки зрения механики, а именно — с использованием понятия рычага и момента силы.

Когда мы ломаем спичку, мы прикладываем силы к ее концам, создавая изгибающий момент. Спичка (или ее часть) выступает в роли рычага, а точка излома — в роли опоры. Для того чтобы сломать спичку, нужно создать момент силы, достаточный для преодоления предела прочности материала, из которого она сделана.

Момент силы $M$ вычисляется по формуле: $M = F \cdot l$, где $F$ — приложенная сила, а $l$ — плечо силы (в данном случае, это примерно половина длины ломаемого кусочка, если мы держим его за концы и ломаем посередине).

Критический момент $M_{крит}$, необходимый для излома, зависит от свойств материала и поперечного сечения спички, но не от ее длины. Это означает, что для излома и длинной спички, и короткого кусочка требуется создать примерно одинаковый изгибающий момент.

Из формулы $F = \frac{M_{крит}}{l}$ видно, что требуемая для излома сила $F$ обратно пропорциональна плечу силы $l$.

• Когда мы ломаем длинную спичку, плечо силы $l$ велико. Поэтому для достижения критического момента $M_{крит}$ достаточно приложить небольшую силу $F$.
• Когда мы пытаемся сломать короткий кусочек, плечо силы $l$ очень мало. Следовательно, чтобы создать тот же самый критический момент $M_{крит}$, нам необходимо приложить значительно большую силу $F$.

Таким образом, чем короче кусочек спички, тем труднее его сломать, так как для этого требуется приложить большую силу.

Ответ:

Маленькие кусочки спички труднее разламывать, потому что они представляют собой рычаги с очень коротким плечом. Чтобы создать момент силы, достаточный для излома, к короткому рычагу (маленькому кусочку) нужно приложить значительно большую силу, чем к длинному (целой спичке или большому куску).

30.2° [н] Мальчик вырезал из картона узкую полоску длиной $l$ и зафиксировал её с помощью кнопки на горизонтальной деревянной основе в точке $O$ так, как показано на рисунке IV-10. Затем он стал поочерёдно прикладывать одинаковую по модулю силу $F$ четырьмя различными способами — 1, 2, 3 и 4. Чему равно плечо силы в каждом случае? Сравните значения моментов силы $M$ (момент силы есть произведение силы на плечо силы). В каком направлении начинала двигаться полоска картона в каждом случае?

Рис. IV-10

Дано:

Найти:

1. Плечи сил $d_1, d_2, d_3, d_4$ в каждом случае.
2. Сравнить значения моментов сил $M_1, M_2, M_3, M_4$.
3. Направление движения полоски в каждом случае.

Решение:

Чему равно плечо силы в каждом случае?

Плечо силы — это кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) от оси вращения (точка О) до линии, вдоль которой действует сила.

Случай 1: Сила $F_1$ приложена на расстоянии $l$ от точки О и перпендикулярна полоске. Следовательно, плечо силы $d_1$ равно этому расстоянию. $d_1 = l$.

Случай 2: Сила $F_2$ приложена на расстоянии $l/2$ от точки О и перпендикулярна полоске. Плечо силы $d_2$ равно этому расстоянию. $d_2 = l/2$.

Случай 3: Сила $F_3$ приложена в той же точке, что и сила $F_2$, и также перпендикулярна полоске. Плечо силы $d_3$ равно $l/2$.

Случай 4: Линия действия силы $F_4$ проходит через ось вращения О. Это означает, что перпендикуляр от оси вращения до линии действия силы равен нулю. Следовательно, плечо силы $d_4 = 0$.

Ответ: Плечи сил равны: $d_1 = l$; $d_2 = l/2$; $d_3 = l/2$; $d_4 = 0$.

Сравните значения моментов силы M (момент силы есть произведение силы на плечо силы).

Момент силы $M$ вычисляется по формуле $M = F \cdot d$, где $F$ — модуль силы, а $d$ — плечо силы. По условию задачи, модуль силы $F$ во всех четырех случаях одинаков. Поэтому для сравнения моментов достаточно сравнить плечи сил.

Случай 1: Момент силы $M_1 = F \cdot d_1 = F \cdot l$.

Случай 2: Момент силы $M_2 = F \cdot d_2 = F \cdot \frac{l}{2}$.

Случай 3: Момент силы $M_3 = F \cdot d_3 = F \cdot \frac{l}{2}$.

Случай 4: Момент силы $M_4 = F \cdot d_4 = F \cdot 0 = 0$.

Сравнивая полученные значения модулей моментов сил, получаем: $M_1$ является наибольшим, моменты $M_2$ и $M_3$ равны между собой и в два раза меньше $M_1$, а момент $M_4$ равен нулю.

Ответ: Значения моментов силы соотносятся следующим образом: $M_1 > M_2 = M_3 > M_4$. Более точно, $M_1 = 2M_2 = 2M_3$ и $M_4=0$.

В каком направлении начинала двигаться полоска картона в каждом случае?

Направление вращения тела (движения полоски) определяется направлением действия момента силы. Полоска будет вращаться в ту сторону, в которую ее "толкает" сила.

Случай 1: Сила $F_1$ направлена вниз, она будет вращать полоску вокруг точки О по часовой стрелке.

Случай 2: Сила $F_2$ также направлена вниз и будет вызывать вращение полоски по часовой стрелке.

Случай 3: Сила $F_3$ направлена вверх, она будет вращать полоску против часовой стрелки.

Случай 4: Момент силы равен нулю ($M_4 = 0$). Сила, линия действия которой проходит через ось вращения, не может вызвать вращение. Поэтому полоска не будет двигаться (вращаться).

Ответ: В случае 1 — по часовой стрелке; в случае 2 — по часовой стрелке; в случае 3 — против часовой стрелки; в случае 4 — полоска не будет вращаться.

30.3* [н] Внимательный ученик обратил внимание на то, что момент силы измеряется в единицах $ \text{Н} \cdot \text{м} $ и единица работы $ \text{Дж} $ равна $ \text{Н} \cdot \text{м} $. На этом основании он сделал вывод о том, что эти понятия идентичны. Как бы вы опровергли это утверждение?

Решение

Утверждение ученика о том, что момент силы и работа являются идентичными понятиями, неверно. Несмотря на то, что в Международной системе единиц (СИ) обе величины выражаются в ньютон-метрах ($Н \cdot м$), их физический смысл, математическое определение и природа кардинально различаются.

Во-первых, ключевое различие заключается в их математической природе. Работа — это скалярная величина, то есть она характеризуется только числовым значением и не имеет направления. Работа определяется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор перемещения $\vec{s}$: $A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами силы и перемещения. Работа представляет собой меру энергии, переданной от одного тела к другому или преобразованной из одного вида в другой.

Момент силы (или вращающий момент) — это, напротив, векторная величина. Он имеет не только величину, но и направление в пространстве. Момент силы определяется как векторное произведение радиус-вектора $\vec{r}$ (проведенного от оси вращения до точки приложения силы) на вектор силы $\vec{F}$: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$. Его модуль равен $M = r \cdot F \cdot \sin\beta$, где $\beta$ — угол между векторами $\vec{r}$ и $\vec{F}$. Направление вектора $\vec{M}$ перпендикулярно плоскости, образованной векторами $\vec{r}$ и $\vec{F}$, и указывает ось, вокруг которой сила стремится вращать тело.

Во-вторых, различается их физический смысл. Работа совершается только тогда, когда под действием силы происходит перемещение. Если сила есть, а перемещения нет, работа равна нулю. Момент силы же характеризует способность силы вызывать вращение. Он может быть не равен нулю даже при полном отсутствии движения. Классический пример: человек давит на гаечный ключ, пытаясь открутить "прикипевший" болт. Он прикладывает силу и создает значительный момент силы, но пока болт не сдвинулся с места, перемещение равно нулю, и механическая работа не совершается.

Таким образом, совпадение размерности $[Сила] \times [Длина]$ является формальным. Чтобы подчеркнуть разницу, единицу измерения работы $Н \cdot м$ принято называть Джоулем (Дж), что указывает на ее энергетическую природу. Для момента силы специального названия единицы нет, и ее так и называют — ньютон-метр ($Н \cdot м$), чтобы избежать путаницы с энергией.

Ответ: Утверждение ученика неверно. Работа и момент силы — это принципиально разные физические величины. Основные опровергающие аргументы: 1) Работа является скалярной величиной (характеризует передачу энергии), а момент силы — векторной (характеризует вращательное действие силы). 2) Работа определяется через скалярное произведение векторов ($A = \vec{F} \cdot \vec{s}$), а момент силы — через векторное произведение ($\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$). 3) Момент силы может существовать без совершения работы (например, при статическом усилии), тогда как для совершения работы необходимо перемещение.

30.4 [н] Груз подвесили к концу стержня и отпустили (рис. IV-11). Под действием каких сил стержень поворачивается относительно неподвижной оси O? Как изменяются плечи этих сил и моменты сил при повороте стержня? Трение не учитывайте.

O

Рис. IV-11

Под действием каких сил стержень поворачивается относительно неподвижной оси O?

На систему "стержень-груз" действуют три основные силы:

1. Сила тяжести, действующая на подвешенный груз ($P$). Она приложена к правому концу стержня и направлена вертикально вниз.
2. Сила тяжести, действующая на сам стержень ($F_{т.с.}$). Она приложена к центру масс стержня (для однородного стержня — к его середине) и также направлена вертикально вниз.
3. Сила реакции опоры ($N$), действующая на стержень в точке подвеса (оси вращения) O.

Вращение тела вокруг оси вызывает момент силы. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через ось вращения. Сила реакции опоры $N$ приложена в оси вращения O, поэтому ее плечо и момент равны нулю, и она не может вызвать поворот стержня.

Сила тяжести груза $P$ и сила тяжести стержня $F_{т.с.}$ приложены на некотором расстоянии от оси O. Их линии действия не проходят через ось вращения (кроме положения равновесия, когда стержень висит вертикально). Следовательно, именно эти две силы создают вращающие моменты, которые заставляют стержень поворачиваться.

Ответ: Стержень поворачивается под действием силы тяжести подвешенного груза и силы тяжести самого стержня.

Как изменяются плечи этих сил и моменты сил при повороте стержня?

Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Момент силы — это произведение модуля силы на ее плечо ($M = F \cdot d$).

Обозначим длину стержня как $L$, а угол отклонения стержня от горизонтального положения как $\alpha$. В начальный момент стержень горизонтален, $\alpha = 0$. При повороте вниз угол $\alpha$ увеличивается.

• Для силы тяжести груза ($P$):

  Сила приложена к концу стержня на расстоянии $L$ от оси O. Плечо этой силы $d_P$ определяется как $d_P = L \cdot \cos(\alpha)$.

  В начальном горизонтальном положении ($\alpha = 0$, $\cos(0) = 1$) плечо максимально и равно длине стержня $L$. По мере поворота стержня вниз угол $\alpha$ растет, а $\cos(\alpha)$ уменьшается. Когда стержень достигнет вертикального положения ($\alpha = 90^\circ$, $\cos(90^\circ) = 0$), плечо силы станет равным нулю. Таким образом, плечо силы тяжести груза уменьшается.

  Момент силы тяжести груза $M_P = P \cdot d_P = P \cdot L \cdot \cos(\alpha)$. Поскольку величина силы $P$ постоянна, а ее плечо $d_P$ уменьшается, момент силы тяжести груза также уменьшается от максимального значения $P \cdot L$ до нуля.

• Для силы тяжести стержня ($F_{т.с.}$):

  Сила приложена к центру масс стержня (на расстоянии $L/2$ от оси O для однородного стержня). Плечо этой силы $d_с$ определяется аналогично: $d_с = (L/2) \cdot \cos(\alpha)$.

  Так же, как и для груза, при повороте стержня вниз плечо силы тяжести стержня уменьшается от максимального значения $L/2$ до нуля.

  Момент силы тяжести стержня $M_с = F_{т.с.} \cdot d_с = F_{т.с.} \cdot (L/2) \cdot \cos(\alpha)$. Так как величина силы $F_{т.с.}$ постоянна, а ее плечо $d_с$ уменьшается, момент силы тяжести стержня также уменьшается от максимального значения до нуля.

Ответ: При повороте стержня из горизонтального положения вниз плечи силы тяжести груза и силы тяжести стержня непрерывно уменьшаются. Вследствие этого моменты этих сил также уменьшаются.