Страница 115 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

30.38* [755*] Пользуясь рычагом, подняли груз на высоту 8 см. При этом силой, действующей на большее плечо, была выполнена работа 184 Дж. Определите вес поднятого груза, а также силу, действующую на большее плечо, если точка приложения этой силы опустилась на 2 м. (Трение не учитывайте.)

Дано:

Высота подъема груза, $h_1 = 8 \text{ см}$

Работа, выполненная силой, $A = 184 \text{ Дж}$

Перемещение точки приложения силы, $h_2 = 2 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Вес груза, $P - ?$

Сила, действующая на большее плечо, $F - ?$

Решение:

Сначала определим силу $F$, действующую на большее плечо рычага. Работа $A$, совершаемая силой, связана с самой силой $F$ и перемещением $h_2$ точки ее приложения по направлению действия силы соотношением:

$A = F \cdot h_2$

Выразим из этой формулы искомую силу $F$:

$F = \frac{A}{h_2}$

Подставим известные значения:

$F = \frac{184 \text{ Дж}}{2 \text{ м}} = 92 \text{ Н}$

Теперь определим вес $P$ поднятого груза. Работа $A$, выполненная приложенной силой, является полной (или затраченной) работой. Полезная работа $A_{полезн}$ идет на подъем груза и равна произведению веса груза $P$ на высоту подъема $h_1$:

$A_{полезн} = P \cdot h_1$

В условии задачи указано, что трение можно не учитывать. Это означает, что мы имеем дело с идеальным рычагом. Для идеальных простых механизмов выполняется "золотое правило механики", согласно которому затраченная работа равна полезной работе:

$A = A_{полезн}$

Следовательно, мы можем записать:

$A = P \cdot h_1$

Выразим из этого уравнения вес груза $P$:

$P = \frac{A}{h_1}$

Подставим числовые значения, используя высоту $h_1$ в метрах ($8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$):

$P = \frac{184 \text{ Дж}}{0.08 \text{ м}} = 2300 \text{ Н}$

Ответ: вес поднятого груза составляет $2300 \text{ Н}$, а сила, действующая на большее плечо, равна $92 \text{ Н}$.

30.39* [756] Стержень, к одному из концов которого подвешен груз весом $120 \text{ Н}$, будет находиться в равновесии, если его подпереть в точке, расположенной от груза на расстоянии $\frac{1}{5}$ длины стержня. Чему равен вес стержня?

Дано:

Вес груза $P_1 = 120$ Н.

Расстояние от точки подвеса груза до точки опоры $d_1 = \frac{1}{5}L$, где $L$ - длина стержня.

Найти:

Вес стержня $P_2$.

Решение:

Система "стержень-груз" находится в равновесии. Это означает, что выполняется правило моментов: алгебраическая сумма моментов всех сил относительно точки опоры равна нулю. Другими словами, момент силы, вращающий стержень в одну сторону (например, против часовой стрелки), равен моменту силы, вращающему его в другую сторону (по часовой стрелке).

На стержень действуют две силы, создающие вращающий момент:

1. Вес груза $P_1$, приложенный к одному концу стержня. Плечо этой силы равно $d_1 = \frac{1}{5}L$. Момент этой силы $M_1 = P_1 \cdot d_1$.
2. Вес самого стержня $P_2$. Так как стержень однородный (по умолчанию), его вес приложен к его центру масс, то есть к середине стержня. Расстояние от края с грузом до середины стержня составляет $\frac{L}{2}$.

Найдем плечо силы тяжести стержня $d_2$. Это расстояние от точки опоры до середины стержня. Так как точка опоры и середина стержня находятся по разные стороны от груза, это расстояние равно разности их положений относительно конца с грузом:

$d_2 = \frac{L}{2} - d_1 = \frac{L}{2} - \frac{1}{5}L$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$d_2 = (\frac{5}{10} - \frac{2}{10})L = \frac{3}{10}L$

Момент, создаваемый весом стержня, равен $M_2 = P_2 \cdot d_2$.

По правилу моментов для равновесия:

$M_1 = M_2$

$P_1 \cdot d_1 = P_2 \cdot d_2$

Подставим известные значения и выражения в уравнение:

$120 \, \text{Н} \cdot \frac{1}{5}L = P_2 \cdot \frac{3}{10}L$

Длину стержня $L$ можно сократить, так как она присутствует в обеих частях уравнения:

$120 \cdot \frac{1}{5} = P_2 \cdot \frac{3}{10}$

$24 = P_2 \cdot \frac{3}{10}$

Теперь выразим и найдем вес стержня $P_2$:

$P_2 = \frac{24 \cdot 10}{3} = 8 \cdot 10 = 80 \, \text{Н}$

Ответ: вес стержня равен 80 Н.

31.1 [757] Отвечая у доски по теме «Неподвижные блоки», ученик сделал рисунок (рис. IV-26), на котором хотел показать, что с помощью верёвки и блока уравновешены два груза. Какую ошибку он допустил в рисунке?

Рис. IV-26

31.1 [757]

Решение

На рисунке изображена система, состоящая из неподвижного блока и двух грузов одинаковой массы, подвешенных на верёвке. Ученик хотел показать, что система находится в равновесии.

Неподвижный блок — это простой механизм, который используется для изменения направления силы. Он не даёт выигрыша в силе. Это означает, что для удержания груза в равновесии необходимо приложить силу, равную весу этого груза.

Условием равновесия для данной системы является равенство сил, действующих на оба конца верёвки. Сила, действующая на каждый конец верёвки, — это вес подвешенного груза. Вес $P$ вычисляется по формуле: $P = m \cdot g$ где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

Поскольку массы обоих грузов одинаковы ($m_1 = m_2 = 1 \text{ кг}$), то и их веса равны ($P_1 = P_2$). Следовательно, силы, натягивающие верёвку с обеих сторон, уравновешивают друг друга, и система находится в равновесии.

Ключевая ошибка на рисунке заключается в изображении верёвки. Когда система находится в равновесии под действием сил натяжения, верёвка должна быть натянута. На рисунке же правая часть верёвки изображена провисшей, со слабиной. Такое изображение некорректно. Если бы в верёвке была слабина, это означало бы, что правый груз не оказывает натяжения, и левый груз под действием силы тяжести опускался бы вниз до тех пор, пока верёвка не натянулась бы. Для правильной демонстрации равновесия оба участка верёвки должны быть показаны прямыми (натянутыми).

Ответ: Ошибка ученика заключается в том, что он изобразил верёвку с правой стороны провисшей. Для того чтобы система находилась в равновесии, верёвка должна быть натянута, так как на её концы действуют равные силы тяжести от одинаковых грузов.

31.2 [758] Объясните, зачем пользуются неподвижным блоком, ведь выигрыша в силе он не даёт. Где его удобно использовать?

Зачем пользуются неподвижным блоком

Неподвижный блок — это простой механизм в виде колеса с жёлобом, ось которого зафиксирована в пространстве. Он не даёт выигрыша в силе. Если рассматривать его как рычаг, то его плечи равны радиусу колеса, а значит, для подъёма груза весом $P$ необходимо приложить силу $F$, равную этому весу (без учёта трения): $F = P$.

Главная польза неподвижного блока заключается в том, что он позволяет изменять направление приложения силы. Поднимать груз, таща верёвку вверх, часто неудобно и требует больших усилий мышц рук и спины. Блок позволяет тянуть верёвку вниз, чтобы поднять груз вверх. Это не только удобнее, но и эффективнее, так как человек может использовать вес собственного тела, чтобы помочь себе, что делает процесс подъёма значительно легче и безопаснее.

Ответ: Неподвижным блоком пользуются для того, чтобы изменить направление действия силы на более удобное (например, тянуть вниз, а не вверх), что облегчает подъём грузов, хотя и не даёт выигрыша в величине силы.

Где его удобно использовать

Неподвижный блок удобно использовать в ситуациях, когда нужно поднять груз на высоту, находясь при этом внизу или в стороне от груза. Наиболее распространённые примеры:

• На стройке: для подъёма вёдер с раствором, инструментов и других материалов на верхние этажи или леса. Рабочий может стоять на земле и, перебирая верёвку, легко поднимать груз.

• На флагштоках: для поднятия и спуска флага. Человек стоит у основания мачты и тянет верёвку вниз, чтобы флаг поднялся вверх.

• В колодцах: для подъёма ведра с водой.

• В парусном деле: как элемент такелажа для подъёма парусов и управления ими.

• В спортивных тренажёрах: во многих силовых тренажёрах (например, для тяги верхнего блока) неподвижные блоки используются для передачи усилия от весового стека к спортсмену.

Ответ: Неподвижные блоки удобно использовать на стройках, для поднятия флагов, при подъёме воды из колодца, в парусном флоте и в конструкциях спортивных тренажёров.

31.3 [759] Каковы должны быть показания динамометров в положениях А и В (рис. IV-27)? (Груз не движется.)

Рис. IV-27

Дано:

Вес груза $P = 20$ Н

Система находится в равновесии (груз не движется).

Найти:

$F_A$ — показания динамометра в положении А.

$F_B$ — показания динамометра в положении B.

Решение:

Динамометр измеряет модуль силы упругости пружины, который в состоянии равновесия равен модулю силы, растягивающей пружину. В данном случае динамометр измеряет силу натяжения нити.

Так как груз находится в равновесии, сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На груз действуют две силы: сила тяжести $P$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Из условия равновесия следует, что эти силы равны по модулю:

$T = P = 20$ Н

В системе используется идеальный неподвижный блок. Такой блок не даёт выигрыша в силе, а только изменяет направление её действия. Сила натяжения $T$ одинакова по всей длине нити.

Положение А

В положении А динамометр измеряет силу, с которой тянут нить, чтобы удержать груз. Эта сила равна силе натяжения нити $T$. Направление, в котором тянут динамометр, не влияет на величину силы, необходимой для удержания груза в равновесии.

Следовательно, показания динамометра $F_A$ равны силе натяжения нити:

$F_A = T = 20$ Н

Ответ: Показания динамометра в положении А равны 20 Н.

Положение B

Аналогично, в положении B динамометр прикреплен к той же нити и удерживает тот же груз в равновесии. Блок меняет направление силы натяжения на горизонтальное, но её величина остается прежней, так как она по-прежнему уравновешивает вес груза.

Показания динамометра $F_B$ также будут равны силе натяжения нити:

$F_B = T = 20$ Н

Ответ: Показания динамометра в положении B равны 20 Н.

31.4 [760] Через неподвижный блок перекинута цепь (рис. IV-28). В каком случае динамометр будет показывать меньшую силу при равномерном подъёме груза? Почему?

Рис. IV-28

Для решения этой задачи необходимо проанализировать силы, действующие в каждой из двух систем, и учесть, что любой реальный блок обладает трением в оси.

Обозначим вес груза как $P_г$, а показания динамометра в левом и правом случаях как $F_1$ и $F_2$ соответственно. Подъём груза является равномерным, что означает, что ускорение равно нулю, и все силы, действующие на тела, скомпенсированы.

Рассмотрим случай, изображенный справа.

В этой установке динамометр прикреплен непосредственно к грузу и измеряет силу натяжения цепи, которая поднимает этот груз. Рассмотрим силы, действующие на груз:

• Вниз действует сила тяжести (вес) груза $P_г$.
• Вверх действует сила упругости пружины динамометра, равная его показанию $F_2$.

Поскольку груз движется равномерно (без ускорения), сумма сил, действующих на него, равна нулю. Отсюда следует:
$F_2 - P_г = 0$
$F_2 = P_г$
Таким образом, во втором случае динамометр показывает силу, в точности равную весу груза.

Ответ: $F_2 = P_г$

Рассмотрим случай, изображенный слева.

В этой установке динамометр находится на том конце цепи, за который тянут, и измеряет силу, которую необходимо приложить для подъёма груза. Чтобы поднять груз, приложенная сила должна преодолеть не только вес самого груза $P_г$, но и силу трения $F_{тр}$ в оси неподвижного блока. Неподвижный блок, будучи реальным физическим объектом, обладает трением, которое препятствует вращению.
Поэтому сила натяжения цепи на тяговом конце ($F_1$) должна быть больше, чем сила натяжения на конце с грузом ($P_г$):
$F_1 = P_г + F_{тр}$
Поскольку сила трения всегда положительна ($F_{тр} > 0$), показание динамометра в первом случае будет строго больше веса груза:
$F_1 > P_г$

Ответ: $F_1 > P_г$

Сравнение и итоговый вывод.

Сравнивая показания динамометра в обоих случаях, мы получаем:
$F_1 = P_г + F_{тр}$
$F_2 = P_г$
Так как $F_{тр} > 0$, то очевидно, что $F_1 > F_2$.
Следовательно, динамометр будет показывать меньшую силу в случае, изображенном на рисунке справа. Это происходит потому, что в правом случае динамометр измеряет непосредственно силу, необходимую для удержания груза (его вес), а в левом случае он измеряет тяговую силу, которая должна дополнительно преодолевать трение в блоке.

Ответ: Динамометр будет показывать меньшую силу в случае, изображенном справа. Причина в том, что в этом положении он измеряет силу, равную весу груза $P_г$. В случае слева динамометр измеряет тяговую силу, которая для равномерного подъема должна быть больше веса груза на величину силы трения в оси блока.