Страница 122 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

33.1 [н] Решая задачу на определение КПД механизма, три ученика получили разные ответы: 1) 90 %; 2) 100 %; 3) 110 %. Кто из них ближе к истинному результату?

Решение

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма, обозначаемый греческой буквой $ \eta $ (эта), определяется как отношение полезной работы $ A_{полезная} $, совершаемой механизмом, к полной (затраченной) работе $ A_{затраченная} $, которая была совершена для приведения механизма в действие. Формула для КПД:

$ \eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \times 100\% $

Согласно закону сохранения энергии, энергия не может возникнуть из ничего и не может исчезнуть бесследно. В любом реальном механизме часть затраченной работы всегда расходуется на преодоление сил трения, сопротивления воздуха и другие потери, превращаясь в теплоту. Таким образом, затраченная работа всегда больше полезной работы:

$ A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{потери} $

где $ A_{потери} $ — это работа, потерянная на трение и другие виды сопротивления.

Из этого следует, что для любого реального механизма $ A_{полезная} < A_{затраченная} $, а значит, КПД всегда меньше 100%.

Рассмотрим полученные учениками ответы:

1) 90 %: Этот результат означает, что $ \eta < 100\% $. Такое значение вполне реально для многих механизмов, где 10% энергии теряется. Это физически возможный и правдоподобный ответ.

2) 100 %: Этот результат означает, что $ A_{полезная} = A_{затраченная} $, то есть потери энергии отсутствуют ($ A_{потери} = 0 $). Это соответствует идеальному механизму (например, без трения), который не существует в природе. КПД 100% является теоретическим пределом, но не "истинным результатом" для реальной задачи.

3) 110 %: Этот результат означает, что $ \eta > 100\% $, то есть полезная работа больше затраченной ($ A_{полезная} > A_{затраченная} $). Это прямо противоречит закону сохранения энергии, так как означало бы, что механизм создает энергию из ничего. Такой результат физически невозможен.

Таким образом, ответ 110% является неверным с точки зрения фундаментальных законов физики. Ответ 100% является теоретическим идеалом, а не результатом для реального механизма. Ответ 90% — единственный физически возможный и реалистичный результат для настоящего механизма. Следовательно, ученик, получивший ответ 90%, ближе всех к истинному результату.

Ответ: Ближе к истинному результату ученик, получивший ответ 90%, так как КПД любого реального механизма всегда меньше 100% из-за неизбежных потерь энергии, а КПД не может быть больше 100% согласно закону сохранения энергии.

33.2 [785] Какая система, состоящая из двух блоков (см. рис. IV-33), имеет больший КПД при подъёме грузов одинаковой массы? Ответ поясните.

Решение

Для определения, какая из двух систем блоков имеет больший коэффициент полезного действия (КПД), необходимо проанализировать, из чего складывается КПД и какие факторы приводят к его снижению (то есть к потерям энергии).

Коэффициент полезного действия ($\eta$) любого механизма определяется как отношение полезной работы ($A_{полезная}$) к полной (затраченной) работе ($A_{затраченная}$):

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}}$

В данном случае мы поднимаем грузы одинаковой массы $m$ на одну и ту же высоту $h$. Следовательно, полезная работа для обеих систем одинакова:

$A_{полезная} = m \cdot g \cdot h$, где $g$ – ускорение свободного падения.

Затраченная работа всегда больше полезной из-за наличия потерь энергии. Её можно представить в виде суммы полезной работы и работы, затраченной на преодоление потерь ($A_{потерь}$):

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{потерь}$

Таким образом, формула для КПД приобретает вид:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{полезная} + A_{потерь}}$

Из этой формулы видно, что при одинаковой полезной работе больший КПД будет у той системы, у которой меньше потери энергии ($A_{потерь}$).

Рассмотрим, из чего складываются потери в системе блоков:

1. Работа по подъёму подвижных частей системы. Любая система блоков, дающая выигрыш в силе, содержит подвижные блоки. Чтобы поднять груз, необходимо также поднять и эти подвижные блоки. Если их вес составляет $P_{п}$, то работа на их подъем равна $A_{потерь, 1} = P_{п} \cdot h$.
2. Работа по преодолению сил трения. Трение возникает в осях всех блоков (как подвижных, так и неподвижных), а также между веревкой и блоками. Эта работа ($A_{потерь, 2}$) пропорциональна количеству блоков в системе и общей длине веревки, которая через них проходит.

Системы блоков, дающие разный выигрыш в силе, отличаются своей сложностью. Система, обеспечивающая больший выигрыш в силе, как правило, включает в себя большее число блоков. Сравним две системы, одна из которых даёт меньший выигрыш в силе (более простая), а другая – больший (более сложная).

• Более сложная система (с большим выигрышем в силе) обычно содержит большее количество подвижных блоков, что увеличивает их суммарный вес $P_{п}$ и, следовательно, потери $A_{потерь, 1}$.
• Более сложная система имеет большее общее число блоков, что увеличивает число осей, в которых возникает трение. Кроме того, для подъема груза на ту же высоту $h$ через такую систему приходится протягивать большую длину веревки, что также увеличивает работу сил трения $A_{потерь, 2}$.

Таким образом, система, которая обеспечивает больший выигрыш в силе, имеет и большие суммарные потери энергии ($A_{потерь}$). Так как полезная работа в обоих случаях одинакова, система с меньшими потерями будет обладать большим КПД.

Следовательно, система блоков, которая дает меньший выигрыш в силе (то есть более простая система), будет иметь больший КПД.

Ответ: Больший КПД будет иметь та система из двух блоков, которая дает меньший выигрыш в силе. Это связано с тем, что при одинаковой полезной работе (подъеме груза одинаковой массы на одну и ту же высоту) в более простой системе будут меньшие потери энергии на подъем подвижных блоков и на преодоление сил трения.

33.3 [786] Используя стальной лом в качестве рычага, на одну и ту же высоту поднимают груз $P$ двумя способами (рис. IV-48, $a$ и $б$). Плечи, на которые действует груз, и трение в точках $O$ опоры одинаковы. Одинаковым ли будет КПД рычагов? Ответ поясните.

Дано:

Высота подъема груза в обоих случаях одинакова: $h_a = h_б = h$
Вес поднимаемого груза одинаков: $P_a = P_б = P$
Плечо, на которое действует груз, в обоих случаях одинаково: $l_{P,a} = l_{P,б} = l_P$
Работа сил трения в точке опоры в обоих случаях одинакова: $A_{тр,а} = A_{тр,б} = A_{тр}$ (исходя из условия "трение ... одинаковы" и того, что при одинаковых $h$ и $l_P$ угол поворота рычага будет одинаковым).

Найти:

Сравнить КПД рычага в первом ($η_а$) и во втором ($η_б$) случае.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) любого механизма определяется как отношение полезной работы $A_{пол}$ к полной (затраченной) работе $A_{затр}$: $η = \frac{A_{пол}}{A_{затр}}$

Полезная работа в данном случае — это работа по подъему груза $P$ на высоту $h$. Так как по условию вес груза и высота подъема в обоих случаях одинаковы, то и полезная работа будет одинаковой: $A_{пол,а} = P \cdot h$ $A_{пол,б} = P \cdot h$ Следовательно, $A_{пол,а} = A_{пол,б} = A_{пол}$.

Полная (затраченная) работа $A_{затр}$ равна сумме полезной работы и работы, затраченной на преодоление сил трения и на подъем самого рычага (лома). $A_{затр} = A_{пол} + A_{потерь} = A_{пол} + A_{тр} + A_{лома}$ где $A_{тр}$ — работа против сил трения в опоре, а $A_{лома}$ — работа, связанная с перемещением центра тяжести самого лома.

Рассмотрим два типичных способа использования лома в качестве рычага.

Способ а: Рычаг первого рода. Точка опоры $O$ находится между точкой приложения силы $F$ и точкой, к которой приложен вес груза $P$. Чтобы получить выигрыш в силе, лом располагают так, чтобы плечо приложения силы было длиннее плеча, на которое действует груз ($l_F > l_P$). В этом случае центр тяжести лома, как правило, находится на длинном плече. Когда мы нажимаем на длинный конец рычага, чтобы поднять груз, центр тяжести самого лома опускается. Это означает, что вес лома помогает совершать работу, и работа, связанная с весом лома ($A_{лома,а}$), фактически будет отрицательной (или, по крайней мере, вес лома будет совершать положительную работу, уменьшая общие затраты).

Способ б: Рычаг второго рода. Груз $P$ находится между точкой опоры $O$ и точкой приложения силы $F$. Например, один конец лома упирается в землю (опора), а другой конец мы поднимаем, при этом груз лежит на ломе. В этом случае, поднимая груз, мы вынуждены поднимать и сам лом. Центр тяжести лома поднимается вместе с грузом. Следовательно, затрачивается дополнительная положительная работа на подъем самого лома ($A_{лома,б} > 0$).

Сравним полные работы. $A_{затр,а} = A_{пол} + A_{тр} + A_{лома,а}$ $A_{затр,б} = A_{пол} + A_{тр} + A_{лома,б}$

Поскольку в способе "а" вес лома помогает ($A_{лома,а} \le 0$), а в способе "б" мешает ($A_{лома,б} > 0$), очевидно, что $A_{лома,а} < A_{лома,б}$. Учитывая, что $A_{пол}$ и $A_{тр}$ в обоих случаях одинаковы, получаем: $A_{затр,а} < A_{затр,б}$

Теперь сравним КПД: $η_а = \frac{A_{пол}}{A_{затр,а}}$ $η_б = \frac{A_{пол}}{A_{затр,б}}$

Так как полезная работа (числитель) одинакова, а затраченная работа в первом случае меньше, чем во втором ($A_{затр,а} < A_{затр,б}$), то КПД в первом случае будет больше, чем во втором. $η_а > η_б$

Следовательно, КПД рычагов не будет одинаковым.

Ответ: КПД рычагов не будет одинаковым. КПД будет выше в том случае, когда лом используется как рычаг первого рода (опора между грузом и силой), так как вес самого лома помогает совершать работу, уменьшая общие затраты работы. В случае использования лома как рычага второго рода (груз между опорой и силой) приходится совершать дополнительную работу по подъему самого лома, что увеличивает затраченную работу и, соответственно, снижает КПД.

33.4 [787] Для подъёма одного и того же груза на одну и ту же высоту в качестве рычага можно использовать стальной стержень (рис. IV-49, а) или такого же диаметра и длины, как стержень, стальную трубу (рис. IV-49, б). Одинаковы ли в этих случаях КПД рычагов? Ответ обоснуйте.

а) $ \vec{F_1} $

б) $ \vec{F_2} $

Рис. IV-49

КПД рычагов в этих случаях будут неодинаковы. КПД рычага, изготовленного из стальной трубы (случай б), будет выше, чем у рычага из сплошного стального стержня (случай а).

Для обоснования ответа проанализируем, от чего зависит КПД рычага.

Дано:

Случай а: рычаг - стальной сплошной стержень.
Случай б: рычаг - стальная полая труба.
Длина рычагов одинакова: $L_a = L_б = L$.
Внешний диаметр рычагов одинаков: $D_a = D_б = D$.
Масса поднимаемого груза одинакова: $m_{груза,а} = m_{груза,б} = m_{груза}$.
Высота подъема груза одинакова: $h_{а} = h_{б} = h$.

Найти:

Сравнить КПД рычагов $η_a$ и $η_б$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) любого механизма, в том числе и рычага, определяется по формуле: $η = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$ где $A_{полезная}$ – полезная работа, а $A_{затраченная}$ – полная (затраченная) работа.

Полезная работа в данном случае – это работа по подъему груза на заданную высоту. Так как масса груза и высота подъема в обоих случаях одинаковы, то и полезная работа будет одинаковой: $A_{полезная} = m_{груза} \cdot g \cdot h$

Затраченная работа – это работа, совершаемая приложенной силой ($F_1$ или $F_2$). Эта работа идет не только на совершение полезной работы (подъем груза), но и на преодоление веса самого рычага. Таким образом, затраченная работа складывается из полезной работы и работы по подъему самого рычага: $A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{рычага}$

Сравним массы, а следовательно, и веса рычагов в случаях а) и б). Оба рычага изготовлены из стали, то есть их плотность $\rho$ одинакова. Длина $L$ и внешний диаметр $D$ также одинаковы.

Масса сплошного стержня (а) равна: $m_a = \rho \cdot V_a = \rho \cdot L \cdot \frac{\pi D^2}{4}$

Масса полой трубы (б), имеющей внутренний диаметр $d$, равна: $m_б = \rho \cdot V_б = \rho \cdot L \cdot \frac{\pi (D^2 - d^2)}{4}$

Поскольку труба полая ($d > 0$), ее объем $V_б$ меньше объема сплошного стержня $V_a$. Следовательно, и масса трубы меньше массы стержня: $m_б < m_a$

Работа по подъему самого рычага $A_{рычага}$ пропорциональна его весу. Так как масса стержня больше массы трубы, то и работа, затрачиваемая на подъем стержня, будет больше работы, затрачиваемой на подъем трубы: $A_{рычага, а} > A_{рычага, б}$

Теперь сравним полные затраченные работы: $A_{затраченная, а} = A_{полезная} + A_{рычага, а}$ $A_{затраченная, б} = A_{полезная} + A_{рычага, б}$ Так как $A_{рычага, а} > A_{рычага, б}$, то $A_{затраченная, а} > A_{затраченная, б}$.

Наконец, сравним КПД. $η_a = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная, а}}$ $η_б = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная, б}}$

Поскольку полезная работа $A_{полезная}$ в обоих случаях одинакова, а затраченная работа в случае а) больше, чем в случае б) ($A_{затраченная, а} > A_{затраченная, б}$), то КПД рычага в виде стержня будет меньше, чем КПД рычага в виде трубы. $η_a < η_б$

Ответ: КПД рычагов неодинаковы. КПД рычага, представляющего собой стальную трубу, больше, чем КПД рычага, сделанного из сплошного стального стержня, так как при той же полезной работе затраченная работа в случае с трубой будет меньше из-за меньшей массы самого рычага.

33.5 [788] К короткому плечу рычага (см. рис. IV-48, б) подвешен груз весом 1200 Н. При равномерном поднятии его на высоту 0,12 м к длинному плечу приложили силу 360 Н, при этом точка приложения силы переместилась на 0,5 м. Вычислите КПД рычага.

a) O P $\vec{F_1}$

б) O P $\vec{F_2}$

Рис. IV-48

Дано:

Найти:

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма — это физическая величина, равная отношению полезной работы $A_{полезная}$ к полной (затраченной) работе $A_{затраченная}$. КПД обычно выражают в процентах.

Формула для расчета КПД: $η = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полезной работой в данном случае является работа, совершенная для равномерного подъема груза. Она вычисляется как произведение веса груза $P$ на высоту подъема $h$: $A_{полезная} = P \cdot h$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи: $A_{полезная} = 1200 \, \text{Н} \cdot 0,12 \, \text{м} = 144 \, \text{Дж}$

Затраченная работа — это работа, совершенная приложенной к длинному плечу силой $F_2$ на пути $s_2$: $A_{затраченная} = F_2 \cdot s_2$

Подставим в формулу числовые значения: $A_{затраченная} = 360 \, \text{Н} \cdot 0,5 \, \text{м} = 180 \, \text{Дж}$

Теперь мы можем вычислить КПД рычага, подставив найденные значения полезной и затраченной работы в основную формулу: $η = \frac{144 \, \text{Дж}}{180 \, \text{Дж}} \cdot 100\% = 0,8 \cdot 100\% = 80\%$

Ответ: КПД рычага составляет 80%.

33.6 [789] Вычислите КПД рычага, с помощью которого груз массой 245 кг равномерно подняли на высоту 6 см, при этом к длинному плечу рычага была приложена сила 500 Н, а точка приложения этой силы опустилась на 0,3 м.

Дано:

Масса груза $m = 245$ кг
Высота подъема груза $h = 6$ см
Приложенная сила $F = 500$ Н
Перемещение точки приложения силы $s = 0,3$ м
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

КПД рычага $\eta$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) любого механизма определяется как отношение полезной работы $A_{полезная}$ к полной (затраченной) работе $A_{затраченная}$, выраженное в процентах.

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полезная работа в данном случае — это работа, совершенная для подъема груза на заданную высоту. Она равна произведению веса груза $P$ на высоту подъема $h$.

$A_{полезная} = P \cdot h$

Вес груза $P$ вычисляется по формуле $P = m \cdot g$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

$P = 245 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 2450 \text{ Н}$

Теперь можем рассчитать полезную работу, переведя высоту в метры ($h = 0,06$ м).

$A_{полезная} = 2450 \text{ Н} \cdot 0,06 \text{ м} = 147 \text{ Дж}$

Затраченная работа — это работа, совершенная приложенной силой $F$ на длинном плече рычага. Она равна произведению этой силы на расстояние $s$, на которое опустилась точка приложения силы.

$A_{затраченная} = F \cdot s$

$A_{затраченная} = 500 \text{ Н} \cdot 0,3 \text{ м} = 150 \text{ Дж}$

Теперь, зная полезную и затраченную работу, мы можем вычислить КПД рычага.

$\eta = \frac{147 \text{ Дж}}{150 \text{ Дж}} \cdot 100\% = 0,98 \cdot 100\% = 98\%$

Ответ: КПД рычага составляет $98\%$.

33.7 [790] У какой системы неподвижных блоков (см. рис. IV-29) при подъёме равных грузов КПД больше, если силы трения во всех блоках одинаковые? Ответ обоснуйте.

Дано:

Величины предполагаются в системе СИ (вес и сила в Ньютонах, Н).

Найти:

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе. Формула для КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}}$

Полезная работа, совершаемая при подъеме груза весом $P$ на высоту $h$, одинакова для всех рассматриваемых систем и равна:

$A_{полезная} = P \cdot h$

Затраченная работа $A_{затраченная}$ состоит из полезной работы и работы, совершаемой для преодоления сил потерь, в данном случае — сил трения в блоках ($A_{трения}$):

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения}$

Рассмотрим систему, состоящую из $n$ неподвижных блоков. Неподвижные блоки служат только для изменения направления действия силы и не дают выигрыша в силе или расстоянии. Это означает, что для подъема груза на высоту $h$, необходимо вытянуть веревку на такую же длину $h$.

Приложенная к веревке сила $F$ должна уравновесить вес груза $P$ и суммарную силу трения, создаваемую всеми $n$ блоками. Поскольку по условию сила трения в каждом блоке одинакова и равна $F_{тр}$, то суммарная сила трения для системы из $n$ блоков составит $n \cdot F_{тр}$. Таким образом, приложенная сила равна:

$F = P + n \cdot F_{тр}$

Тогда затраченная работа для системы из $n$ блоков будет равна:

$A_{затраченная, n} = F \cdot h = (P + n \cdot F_{тр}) \cdot h$

Теперь можно записать выражение для КПД системы из $n$ неподвижных блоков:

$\eta_n = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная, n}} = \frac{P \cdot h}{(P + n \cdot F_{тр}) \cdot h} = \frac{P}{P + n \cdot F_{тр}}$

Из полученной формулы видно, что КПД системы зависит от количества блоков $n$. Проанализируем эту зависимость. Сравним КПД двух систем: одной с количеством блоков $n_1$ и другой с количеством блоков $n_2$, где $n_2 > n_1$.

$\eta_1 = \frac{P}{P + n_1 \cdot F_{тр}}$

$\eta_2 = \frac{P}{P + n_2 \cdot F_{тр}}$

Поскольку $n_2 > n_1$ и сила трения $F_{тр}$ является положительной величиной, знаменатель выражения для КПД второй системы будет больше, чем у первой:

$P + n_2 \cdot F_{тр} > P + n_1 \cdot F_{тр}$

Так как числители в выражениях для $\eta_1$ и $\eta_2$ равны, то большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Следовательно, $\eta_1 > \eta_2$.

Таким образом, чем меньше неподвижных блоков используется в системе для подъема груза, тем выше будет её коэффициент полезного действия, так как при этом совершается меньшая работа против сил трения.

Ответ: КПД больше у той системы неподвижных блоков, в которой их количество меньше. Каждый дополнительный блок увеличивает общую силу трения, что приводит к увеличению затраченной работы при той же полезной работе и, следовательно, к снижению КПД.