Номер 33.4, страница 122 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 33. КПД механизмов. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 33.4, страница 122.

33.4 [787] Для подъёма одного и того же груза на одну и ту же высоту в качестве рычага можно использовать стальной стержень (рис. IV-49, а) или такого же диаметра и длины, как стержень, стальную трубу (рис. IV-49, б). Одинаковы ли в этих случаях КПД рычагов? Ответ обоснуйте.

а) $ \vec{F_1} $

б) $ \vec{F_2} $

Рис. IV-49

КПД рычагов в этих случаях будут неодинаковы. КПД рычага, изготовленного из стальной трубы (случай б), будет выше, чем у рычага из сплошного стального стержня (случай а).

Для обоснования ответа проанализируем, от чего зависит КПД рычага.

Дано:

Случай а: рычаг - стальной сплошной стержень.
Случай б: рычаг - стальная полая труба.
Длина рычагов одинакова: $L_a = L_б = L$.
Внешний диаметр рычагов одинаков: $D_a = D_б = D$.
Масса поднимаемого груза одинакова: $m_{груза,а} = m_{груза,б} = m_{груза}$.
Высота подъема груза одинакова: $h_{а} = h_{б} = h$.

Найти:

Сравнить КПД рычагов $η_a$ и $η_б$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) любого механизма, в том числе и рычага, определяется по формуле: $η = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$ где $A_{полезная}$ – полезная работа, а $A_{затраченная}$ – полная (затраченная) работа.

Полезная работа в данном случае – это работа по подъему груза на заданную высоту. Так как масса груза и высота подъема в обоих случаях одинаковы, то и полезная работа будет одинаковой: $A_{полезная} = m_{груза} \cdot g \cdot h$

Затраченная работа – это работа, совершаемая приложенной силой ($F_1$ или $F_2$). Эта работа идет не только на совершение полезной работы (подъем груза), но и на преодоление веса самого рычага. Таким образом, затраченная работа складывается из полезной работы и работы по подъему самого рычага: $A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{рычага}$

Сравним массы, а следовательно, и веса рычагов в случаях а) и б). Оба рычага изготовлены из стали, то есть их плотность $\rho$ одинакова. Длина $L$ и внешний диаметр $D$ также одинаковы.

Масса сплошного стержня (а) равна: $m_a = \rho \cdot V_a = \rho \cdot L \cdot \frac{\pi D^2}{4}$

Масса полой трубы (б), имеющей внутренний диаметр $d$, равна: $m_б = \rho \cdot V_б = \rho \cdot L \cdot \frac{\pi (D^2 - d^2)}{4}$

Поскольку труба полая ($d > 0$), ее объем $V_б$ меньше объема сплошного стержня $V_a$. Следовательно, и масса трубы меньше массы стержня: $m_б < m_a$

Работа по подъему самого рычага $A_{рычага}$ пропорциональна его весу. Так как масса стержня больше массы трубы, то и работа, затрачиваемая на подъем стержня, будет больше работы, затрачиваемой на подъем трубы: $A_{рычага, а} > A_{рычага, б}$

Теперь сравним полные затраченные работы: $A_{затраченная, а} = A_{полезная} + A_{рычага, а}$ $A_{затраченная, б} = A_{полезная} + A_{рычага, б}$ Так как $A_{рычага, а} > A_{рычага, б}$, то $A_{затраченная, а} > A_{затраченная, б}$.

Наконец, сравним КПД. $η_a = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная, а}}$ $η_б = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная, б}}$

Поскольку полезная работа $A_{полезная}$ в обоих случаях одинакова, а затраченная работа в случае а) больше, чем в случае б) ($A_{затраченная, а} > A_{затраченная, б}$), то КПД рычага в виде стержня будет меньше, чем КПД рычага в виде трубы. $η_a < η_б$

Ответ: КПД рычагов неодинаковы. КПД рычага, представляющего собой стальную трубу, больше, чем КПД рычага, сделанного из сплошного стального стержня, так как при той же полезной работе затраченная работа в случае с трубой будет меньше из-за меньшей массы самого рычага.