Номер 33.7, страница 122 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 33. КПД механизмов. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 33.7, страница 122.

33.7 [790] У какой системы неподвижных блоков (см. рис. IV-29) при подъёме равных грузов КПД больше, если силы трения во всех блоках одинаковые? Ответ обоснуйте.

Дано:

$P$ - вес поднимаемого груза (одинаков для всех систем)
$F_{тр}$ - сила трения в одном блоке (одинакова для всех блоков)
$n$ - количество неподвижных блоков в системе

Величины предполагаются в системе СИ (вес и сила в Ньютонах, Н).

Найти:

У какой системы КПД ($\eta$) больше.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе. Формула для КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}}$

Полезная работа, совершаемая при подъеме груза весом $P$ на высоту $h$, одинакова для всех рассматриваемых систем и равна:

$A_{полезная} = P \cdot h$

Затраченная работа $A_{затраченная}$ состоит из полезной работы и работы, совершаемой для преодоления сил потерь, в данном случае — сил трения в блоках ($A_{трения}$):

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения}$

Рассмотрим систему, состоящую из $n$ неподвижных блоков. Неподвижные блоки служат только для изменения направления действия силы и не дают выигрыша в силе или расстоянии. Это означает, что для подъема груза на высоту $h$, необходимо вытянуть веревку на такую же длину $h$.

Приложенная к веревке сила $F$ должна уравновесить вес груза $P$ и суммарную силу трения, создаваемую всеми $n$ блоками. Поскольку по условию сила трения в каждом блоке одинакова и равна $F_{тр}$, то суммарная сила трения для системы из $n$ блоков составит $n \cdot F_{тр}$. Таким образом, приложенная сила равна:

$F = P + n \cdot F_{тр}$

Тогда затраченная работа для системы из $n$ блоков будет равна:

$A_{затраченная, n} = F \cdot h = (P + n \cdot F_{тр}) \cdot h$

Теперь можно записать выражение для КПД системы из $n$ неподвижных блоков:

$\eta_n = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная, n}} = \frac{P \cdot h}{(P + n \cdot F_{тр}) \cdot h} = \frac{P}{P + n \cdot F_{тр}}$

Из полученной формулы видно, что КПД системы зависит от количества блоков $n$. Проанализируем эту зависимость. Сравним КПД двух систем: одной с количеством блоков $n_1$ и другой с количеством блоков $n_2$, где $n_2 > n_1$.

$\eta_1 = \frac{P}{P + n_1 \cdot F_{тр}}$

$\eta_2 = \frac{P}{P + n_2 \cdot F_{тр}}$

Поскольку $n_2 > n_1$ и сила трения $F_{тр}$ является положительной величиной, знаменатель выражения для КПД второй системы будет больше, чем у первой:

$P + n_2 \cdot F_{тр} > P + n_1 \cdot F_{тр}$

Так как числители в выражениях для $\eta_1$ и $\eta_2$ равны, то большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Следовательно, $\eta_1 > \eta_2$.

Таким образом, чем меньше неподвижных блоков используется в системе для подъема груза, тем выше будет её коэффициент полезного действия, так как при этом совершается меньшая работа против сил трения.

Ответ: КПД больше у той системы неподвижных блоков, в которой их количество меньше. Каждый дополнительный блок увеличивает общую силу трения, что приводит к увеличению затраченной работы при той же полезной работе и, следовательно, к снижению КПД.