Страница 123 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

33.8 [791] Используя одинаковые блоки, можно поднять груз $P$ на одну и ту же высоту (рис. IV-50). Одинаковы ли КПД установок? Ответ обоснуйте.

Рис. IV-50

Нет, КПД установок будут разными. КПД установки с неподвижным блоком будет выше, чем КПД установки с подвижным блоком. Обоснуем этот вывод.

Дано:
Установка 1: неподвижный блок
Установка 2: подвижный блок
Блоки одинаковые (имеют одинаковую массу $m_б$ и, соответственно, вес $P_б = m_б g$)
Груз $P$ одинаков в обоих случаях
Высота подъема $h$ одинакова в обоих случаях

Найти:
Сравнить КПД установок $\eta_1$ и $\eta_2$.

Решение:
Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы $A_{пол}$ к полной (затраченной) работе $A_{затр}$:

$\eta = \frac{A_{пол}}{A_{затр}}$

Полезная работа в обоих случаях заключается в подъеме груза весом $P$ на высоту $h$. Следовательно, полезная работа для обеих установок одинакова:

$A_{пол} = P \cdot h$

Затраченная работа равна сумме полезной работы и работы, затраченной на преодоление потерь (трения, подъема частей механизма и т.д.).

$A_{затр} = A_{пол} + A_{потерь}$

Чтобы сравнить КПД, необходимо сравнить затраченные работы, а для этого — проанализировать потери в каждой установке.

1. Установка с неподвижным блоком (слева)

В этой установке прикладываемая сила $F_1$ совершает работу по подъему груза $P$ и по преодолению трения в оси блока. Сам блок закреплен, и его вес $P_б$ уравновешивается силой реакции подвеса. Поэтому работа по подъему самого блока не совершается. Потери работы состоят только из работы против силы трения $A_{тр1}$.

Затраченная работа для первой установки:

$A_{затр1} = A_{пол} + A_{потерь1} = P \cdot h + A_{тр1}$

Следовательно, КПД первой установки:

$\eta_1 = \frac{P \cdot h}{P \cdot h + A_{тр1}}$

2. Установка с подвижным блоком (справа)

В этой установке прикладываемая сила $F_2$ совершает работу не только по подъему груза $P$ и преодолению трения $A_{тр2}$, но и по подъему самого подвижного блока, который поднимается вместе с грузом на ту же высоту $h$. Работа по подъему блока равна $A_б = P_б \cdot h$.

Таким образом, потери работы во второй установке складываются из работы против силы трения и работы по подъему блока.

$A_{потерь2} = A_б + A_{тр2} = P_б \cdot h + A_{тр2}$

Затраченная работа для второй установки:

$A_{затр2} = A_{пол} + A_{потерь2} = P \cdot h + P_б \cdot h + A_{тр2}$

КПД второй установки:

$\eta_2 = \frac{P \cdot h}{P \cdot h + P_б \cdot h + A_{тр2}}$

Сравнение КПД

Сравним затраченные работы $A_{затр1}$ и $A_{затр2}$. Поскольку блоки по условию одинаковые, их вес $P_б$ не равен нулю. Это означает, что во второй установке существует дополнительная потеря энергии, равная работе по подъему блока $P_б \cdot h$, которой нет в первой установке. Даже если считать, что работы по преодолению трения примерно равны ($A_{тр1} \approx A_{тр2}$), полная затраченная работа во втором случае будет больше из-за необходимости поднимать блок:

$A_{затр2} > A_{затр1}$

Поскольку полезная работа $A_{пол}$ в обоих случаях одинакова, а знаменатель в формуле для КПД у второй установки больше, то ее КПД будет меньше.

$\eta_2 < \eta_1$

Ответ: КПД установок не одинаковы. КПД установки с неподвижным блоком ($\eta_1$) больше, чем КПД установки с подвижным блоком ($\eta_2$). Это связано с тем, что при использовании подвижного блока, кроме работы по подъему груза и преодолению трения, совершается дополнительная работа по подъему самого блока, что увеличивает общие потери и снижает КПД.

33.9 [792] Ведро, в которое насыпан песок массой $24,5 \text{ кг}$, поднимают при помощи неподвижного блока на высоту $10 \text{ м}$, действуя на верёвку силой $250 \text{ Н}$. Вычислите КПД установки.

Дано:

Масса ведра с песком $m = 24,5$ кг
Высота подъема $h = 10$ м
Приложенная сила $F = 250$ Н

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{Н}{кг}$ для удобства вычислений, что часто используется в школьных задачах.

Найти:

КПД установки $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы, совершенной для подъема груза, к полной (затраченной) работе, совершенной приложенной силой. Формула для КПД:

$ \eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\% $

Полезная работа ($A_{полезная}$) — это работа по преодолению силы тяжести ведра при его подъеме на высоту $h$. Она вычисляется по формуле:

$ A_{полезная} = m \cdot g \cdot h $

Подставим известные значения в формулу:

$ A_{полезная} = 24,5 \, \text{кг} \cdot 10 \, \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 10 \, \text{м} = 2450 \, \text{Дж} $

Затраченная работа ($A_{затраченная}$) — это работа, совершенная силой $F$, приложенной к веревке. Неподвижный блок изменяет направление действия силы, но не дает выигрыша в расстоянии. Это означает, что для подъема груза на высоту $h$, необходимо вытянуть веревку на такую же длину $s=h$.

$ A_{затраченная} = F \cdot s = F \cdot h $

Подставим известные значения:

$ A_{затраченная} = 250 \, \text{Н} \cdot 10 \, \text{м} = 2500 \, \text{Дж} $

Теперь, зная полезную и затраченную работу, можем вычислить КПД установки:

$ \eta = \frac{2450 \, \text{Дж}}{2500 \, \text{Дж}} \cdot 100\% = 0,98 \cdot 100\% = 98\% $

Ответ: КПД установки равен 98%.

33.10 [793] С помощью неподвижного блока груз массой 100 кг поднят на высоту 5 м. Определите совершенную при этом работу, если коэффициент полезного действия равен 70 %.

Дано:

$m = 100 \text{ кг}$
$h = 5 \text{ м}$
$\eta = 70 \% = 0.7$
$g \approx 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

$A_{\text{полн}}$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) любого механизма, в том числе и неподвижного блока, определяется как отношение полезной работы $A_{\text{полезн}}$ к полной (затраченной) работе $A_{\text{полн}}$.

Формула для КПД имеет вид: $\eta = \frac{A_{\text{полезн}}}{A_{\text{полн}}}$

Полезная работа $A_{\text{полезн}}$ в данном случае – это работа по подъему груза массой $m$ на высоту $h$. Она равна изменению потенциальной энергии груза и рассчитывается по формуле: $A_{\text{полезн}} = m \cdot g \cdot h$

Подставим известные значения и вычислим полезную работу: $A_{\text{полезн}} = 100 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 5 \text{ м} = 4900 \text{ Дж}$

Теперь из формулы КПД выразим полную (совершенную) работу $A_{\text{полн}}$: $A_{\text{полн}} = \frac{A_{\text{полезн}}}{\eta}$

Подставим значения полезной работы и КПД (в виде десятичной дроби $70\% = 0.7$) для нахождения полной работы: $A_{\text{полн}} = \frac{4900 \text{ Дж}}{0.7} = 7000 \text{ Дж}$

Полученное значение можно также выразить в килоджоулях: $7000 \text{ Дж} = 7 \text{ кДж}$.

Ответ: совершенная работа равна $7000 \text{ Дж}$.

33.11 [794] У каждого неподвижного блока (рис. IV-51) КПД равен $0,9$. Определите КПД всей установки.

Рис. IV-51

Дано:

Количество неподвижных блоков: $n = 3$

КПД каждого блока: $\eta_б = 0,9$

Найти:

КПД всей установки: $\eta_{общ}$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной работы $A_п$ к полной (затраченной) работе $A_з$.

$\eta_{общ} = \frac{A_п}{A_з}$

В данной установке полезной работой является работа по подъему груза весом $P$ на высоту $h$: $A_п = P \cdot h$.

Затраченная работа — это работа, которую совершает внешняя сила $F$, приложенная к свободному концу веревки. Так как все блоки в системе неподвижные, они только изменяют направление силы и не дают выигрыша в расстоянии. Это означает, что для подъема груза на высоту $h$, конец веревки необходимо протянуть на такое же расстояние $h$. Таким образом, затраченная работа равна $A_з = F \cdot h$.

Вся установка представляет собой последовательное соединение трех простых механизмов (блоков). При последовательном соединении механизмов их обший КПД равен произведению КПД каждого из них. Это происходит потому, что полезная работа предыдущего механизма становится затраченной работой для следующего.

Пусть на вход системы подается работа $A_з$.

После прохождения первого по ходу силы блока (нижний правый) полезная работа составит $A_1 = A_з \cdot \eta_б$.

Эта работа $A_1$ является затраченной для второго блока (верхний правый). Его полезная работа будет $A_2 = A_1 \cdot \eta_б = (A_з \cdot \eta_б) \cdot \eta_б = A_з \cdot \eta_б^2$.

Работа $A_2$ является затраченной для третьего блока (верхний левый). Его полезная работа и есть полезная работа всей системы, идущая на подъем груза: $A_п = A_2 \cdot \eta_б = (A_з \cdot \eta_б^2) \cdot \eta_б = A_з \cdot \eta_б^3$.

Следовательно, общий КПД установки равен:

$\eta_{общ} = \frac{A_п}{A_з} = \frac{A_з \cdot \eta_б^3}{A_з} = \eta_б^3$

Подставляем числовые значения:

$\eta_{общ} = (0,9)^3 = 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,729$

Ответ: КПД всей установки составляет 0,729 или 72,9%.

33.12* [795*] Ящик с гвоздями, масса которого 54 кг, поднимают на пятый этаж строящегося дома при помощи подвижного блока, действуя на трос силой 360 Н. Вычислите КПД установки.

Дано:

Масса ящика $m = 54$ кг

Сила, прикладываемая к тросу $F = 360$ H

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

Найти:

КПД установки $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы $A_п$ к полной (затраченной) работе $A_з$, выраженное в процентах:

$\eta = \frac{A_п}{A_з} \cdot 100\%$

Полезная работа в данном случае — это работа по подъему ящика с гвоздями на некоторую высоту $h$. Она равна произведению силы тяжести ящика $P$ на высоту подъема $h$.

$A_п = P \cdot h$

Сила тяжести ящика вычисляется по формуле:

$P = m \cdot g = 54 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 540 \text{ Н}$

Таким образом, полезная работа равна:

$A_п = 540 \cdot h$

Полная (затраченная) работа — это работа, совершаемая силой $F$, которую прикладывают к свободному концу троса. Она равна произведению этой силы на длину троса $s$, на которую его вытянули.

$A_з = F \cdot s$

Используется подвижный блок. Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза (в идеальном случае), но приводит к проигрышу в расстоянии в 2 раза. Это означает, что для подъема груза на высоту $h$, необходимо вытянуть трос на длину $s$, вдвое большую, чем $h$.

$s = 2h$

Теперь подставим выражения для полезной и полной работы в формулу для КПД:

$\eta = \frac{P \cdot h}{F \cdot s} = \frac{P \cdot h}{F \cdot 2h}$

Высота подъема $h$ сокращается, поэтому информация о том, на какой этаж поднимают ящик, не требуется для решения задачи.

$\eta = \frac{P}{2F}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\eta = \frac{540 \text{ Н}}{2 \cdot 360 \text{ Н}} = \frac{540}{720} = \frac{54}{72} = \frac{3}{4} = 0,75$

Выразим КПД в процентах:

$\eta = 0,75 \cdot 100\% = 75\%$

Ответ: КПД установки составляет 75%.

33.13 [796] С помощью блоков равномерно поднимают груз (рис. IV-52). Используя данные рисунка, вычислите КПД установки.

5 кг

H

Рис. IV-52

Дано:

Масса груза $m = 5 \text{ кг}$
Сила, прикладываемая к веревке (показания динамометра) $F = 30 \text{ Н}$
Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Все данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

КПД установки $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе, выраженное в процентах:
$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полезная работа $A_{полезная}$ — это работа по подъему груза на высоту $h$. Она вычисляется по формуле:
$A_{полезная} = P \cdot h$, где $P$ — вес груза.

Найдем вес груза:
$P = m \cdot g = 5 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 50 \text{ Н}$

Таким образом, полезная работа равна:
$A_{полезная} = 50 \text{ Н} \cdot h$

Затраченная работа $A_{затраченная}$ — это работа силы $F$, приложенной к свободному концу веревки, на пути $s$:
$A_{затраченная} = F \cdot s$

Данная система блоков состоит из одного неподвижного и одного подвижного блока. Подвижный блок дает теоретический выигрыш в силе в 2 раза, но при этом вызывает проигрыш в расстоянии также в 2 раза. Это означает, что для подъема груза на высоту $h$, необходимо вытянуть веревку на расстояние $s$, равное $2h$.

Из показаний динамометра на рисунке видно, что приложенная сила $F = 30 \text{ Н}$.
Тогда затраченная работа равна:
$A_{затраченная} = F \cdot s = 30 \text{ Н} \cdot (2h) = 60 \text{ Н} \cdot h$

Теперь мы можем вычислить КПД, подставив выражения для полезной и затраченной работы в основную формулу:
$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\% = \frac{50 \text{ Н} \cdot h}{60 \text{ Н} \cdot h} \cdot 100\% = \frac{5}{6} \cdot 100\%$

$\eta \approx 0.833 \cdot 100\% \approx 83.3\%$

Ответ: КПД установки составляет примерно 83.3%.

33.14 [797] Груз массой 1,2 кг ученик равномерно переместил по наклонной плоскости длиной 0,8 м и высотой 0,2 м к вершине. При этом перемещении сила, направленная параллельно линии наклона плоскости, была равна 5,4 Н. Какой результат должен получить ученик при вычислении КПД установки?

Дано:

Масса груза $m = 1,2$ кг

Длина наклонной плоскости $l = 0,8$ м

Высота наклонной плоскости $h = 0,2$ м

Приложенная сила $F = 5,4$ Н

Найти:

КПД установки $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости как механизма определяется отношением полезной работы к затраченной работе. Формула для КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полезная работа ($A_{полезная}$) — это работа по подъему груза на высоту $h$ без учета наклонной плоскости. Она равна изменению потенциальной энергии груза и вычисляется по формуле:

$A_{полезная} = m \cdot g \cdot h$

где $g$ — ускорение свободного падения. Для упрощения расчетов в школьных задачах часто принимают $g \approx 10$ м/с².

Затраченная работа ($A_{затраченная}$) — это работа, которую совершает ученик, прикладывая силу $F$ для перемещения груза вдоль всей длины наклонной плоскости $l$.

$A_{затраченная} = F \cdot l$

Подставим выражения для работ в формулу КПД:

$\eta = \frac{m \cdot g \cdot h}{F \cdot l} \cdot 100\%$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения из условия задачи.

Вычислим полезную работу:

$A_{полезная} = 1,2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,2 \text{ м} = 2,4$ Дж

Вычислим затраченную работу:

$A_{затраченная} = 5,4 \text{ Н} \cdot 0,8 \text{ м} = 4,32$ Дж

Теперь рассчитаем КПД установки:

$\eta = \frac{2,4 \text{ Дж}}{4,32 \text{ Дж}} \cdot 100\% \approx 0,5555... \cdot 100\% \approx 55,6\%$

Ответ: при вычислении КПД установки ученик должен получить результат 55,6%.

33.15 [798] При равномерном перемещении груза массой $15 \text{ кг}$ вверх по наклонной плоскости динамометр, привязанный к грузу, показывал силу, равную $40 \text{ Н}$. Вычислите КПД наклонной плоскости, если её длина $1,8 \text{ м}$, а высота $30 \text{ см}$.

Дано:

Найти:

$η$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости определяется как отношение полезной работы ($A_{полезн}$) к полной, или затраченной, работе ($A_{затр}$), выраженное в процентах.

Формула для вычисления КПД: $η = \frac{A_{полезн}}{A_{затр}} \cdot 100\%$

Полезная работа при использовании наклонной плоскости — это работа по подъему груза на высоту $h$, то есть работа против силы тяжести. Она вычисляется по формуле: $A_{полезн} = mgh$ где $m$ — масса груза, $h$ — высота подъема, а $g$ — ускорение свободного падения. Для упрощения расчетов примем значение $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Рассчитаем полезную работу: $A_{полезн} = 15 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 0,3 \text{ м} = 45 \text{ Дж}$

Полная (затраченная) работа — это работа, совершаемая приложенной силой $F$ для перемещения груза по всей длине наклонной плоскости $l$: $A_{затр} = F \cdot l$

Рассчитаем затраченную работу: $A_{затр} = 40 \text{ Н} \cdot 1,8 \text{ м} = 72 \text{ Дж}$

Теперь, зная обе работы, мы можем вычислить КПД наклонной плоскости: $η = \frac{45 \text{ Дж}}{72 \text{ Дж}} \cdot 100\% = 0,625 \cdot 100\% = 62,5\%$

Ответ: КПД наклонной плоскости составляет $62,5\%$.