Страница 129 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

35.1 [850] Свойством повторяемости обладают качания маятника часов, сезонные изменения температур, движение стрелки часов, колебания струны, вибрация крыльев самолёта, движение Земли вокруг Солнца, колебания напряжения в сети электрического тока. Какие из перечисленных процессов можно назвать механическими колебательными процессами?

Решение

Механические колебательные процессы (или механические колебания) — это движения тел или их частей, которые имеют свойство повторяемости во времени и происходят около положения равновесия. Это означает, что тело должно поочерёдно смещаться в противоположных направлениях от своего среднего положения. Проанализируем каждый из перечисленных процессов:

1. Качания маятника часов: Маятник совершает движение вперёд и назад относительно своего нижнего положения (положения равновесия). Это механическое движение, и оно является колебательным. Следовательно, это механический колебательный процесс.

2. Сезонные изменения температур: Температура — это физическая величина, характеризующая тепловое состояние системы. Хотя её изменения могут быть периодическими, они не являются механическим движением тела. Это тепловой процесс.

3. Движение стрелки часов: Стрелка совершает периодическое механическое движение (вращение), но это движение происходит только в одном направлении. Отсутствует признак колебаний — движение в противоположных направлениях относительно положения равновесия.

4. Колебания струны: Частицы струны движутся вверх и вниз (или вправо и влево) относительно своего прямолинейного положения равновесия. Это механическое движение, и оно является колебательным. Следовательно, это механический колебательный процесс.

5. Вибрация крыльев самолёта: Части крыла совершают быстрые механические движения вверх и вниз относительно своего среднего положения. Это механический колебательный процесс.

6. Движение Земли вокруг Солнца: Земля совершает периодическое движение по орбите, но это движение всегда направлено в одну сторону вдоль траектории. Это периодическое движение, но не колебательное.

7. Колебания напряжения в сети электрического тока: Напряжение — это электрическая величина. Его периодические изменения представляют собой электромагнитные колебания, а не механические, так как не происходит механического перемещения тел.

Таким образом, к механическим колебательным процессам из перечисленного списка относятся только те, что представляют собой повторяющееся движение материальных тел или их частей около положения равновесия.

Ответ: качания маятника часов, колебания струны, вибрация крыльев самолёта.

35.2 [851] Будут ли возможны колебания шарика, закреплённого на пружине, если вся система окажется в состоянии невесомости?

Решение

Для возникновения колебаний необходимо наличие возвращающей силы — силы, которая при отклонении тела от положения равновесия стремится вернуть его обратно. В системе «шарик-пружина» такой силой является сила упругости. Согласно закону Гука, она зависит только от свойств пружины (жесткости $k$) и величины ее деформации $x$: $F_{упр} = -kx$.

Сила тяжести влияет лишь на положение равновесия системы. На Земле при вертикальном расположении пружины сила тяжести $mg$ растягивает ее, и шарик колеблется вокруг этого нового, смещенного положения равновесия. При горизонтальном расположении на гладкой поверхности сила тяжести скомпенсирована силой реакции опоры и не влияет на колебания вдоль горизонтальной оси.

В состоянии невесомости сила тяжести отсутствует ($g \approx 0$). Это значит, что на пружину не действует никакая постоянная сила, которая могла бы ее деформировать в состоянии покоя. Следовательно, положение равновесия шарика будет соответствовать естественной, недеформированной длине пружины.

Однако главные факторы, обуславливающие колебания — масса шарика $m$ (мера его инертности) и жесткость пружины $k$ (создающая возвращающую силу) — в невесомости не изменяются. Если сместить шарик из положения равновесия (растянув или сжав пружину) и отпустить, то под действием силы упругости он начнет совершать гармонические колебания. Период этих колебаний, как и в любом случае, когда сила тяжести не играет роли (например, для горизонтального маятника), будет определяться формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Таким образом, колебания не только возможны, но и будут происходить по тем же физическим законам, что и на Земле, только вокруг другого положения равновесия.

Ответ: Да, колебания будут возможны. Наличие силы упругости пружины и инертности шарика являются достаточными условиями для возникновения колебаний. Отсутствие силы тяжести (невесомость) лишь приведет к тому, что положение равновесия, вокруг которого будут происходить колебания, будет соответствовать недеформированному состоянию пружины.

35.3 [852] Маятник часов совершает незатухающие гармонические колебания. Какие из величин — смещение, амплитуда, период, частота, скорость, ускорение — являются постоянными и какие переменными?

Решение

Незатухающие гармонические колебания описываются законом, в котором некоторые параметры являются постоянными, а другие изменяются с течением времени. Проанализируем каждую из указанных физических величин.

Постоянные величины

Величины, которые характеризуют колебательную систему и условия колебаний в целом, но не меняются в процессе одного колебательного движения.

• Амплитуда ($A$) — это максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. В условии сказано, что колебания незатухающие, это означает, что их энергия со временем не уменьшается. Следовательно, максимальное отклонение от положения равновесия остается неизменным. Амплитуда — это постоянная величина для данных колебаний.

• Период ($T$) — это время одного полного колебания. Для гармонических колебаний период является собственной характеристикой системы и не зависит от амплитуды (при малых колебаниях). Например, для математического маятника период определяется его длиной и ускорением свободного падения: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$. Эти параметры не изменяются в процессе колебаний, поэтому период является постоянной величиной.

• Частота ($\nu$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота обратно пропорциональна периоду: $\nu = 1/T$. Так как период — величина постоянная, то и частота колебаний также является постоянной.

Переменные величины

Величины, которые характеризуют состояние колеблющегося тела в конкретный момент времени и изменяются в процессе движения.

• Смещение ($x$) — это отклонение тела от положения равновесия в текущий момент времени. В процессе колебаний маятник непрерывно движется, и его положение относительно точки равновесия меняется. Смещение изменяется по гармоническому закону (синуса или косинуса), например: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$. Значение смещения колеблется от $-A$ до $+A$. Следовательно, смещение — это переменная величина.

• Скорость ($v$) — это первая производная смещения по времени. Скорость маятника максимальна по модулю в момент прохождения положения равновесия и равна нулю в точках максимального отклонения. Так как смещение постоянно меняется, скорость также является переменной величиной: $v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

• Ускорение ($a$) — это первая производная скорости по времени. Ускорение пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону ($a = -\omega^2 x$). Оно максимально по модулю в крайних точках траектории и равно нулю в положении равновесия. Ускорение, как и скорость, непрерывно изменяется со временем: $a(t) = x''(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$.

Ответ: постоянными величинами являются амплитуда, период и частота; переменными величинами являются смещение, скорость и ускорение.

35.4 [853] Шарик, подвешенный на нити, совершает вращение в горизонтальной плоскости, описывая окружность диаметром $d$ (рис. V-1). Если наблюдение производится в плоскости вращения, то движение шарика воспринимается как гармоническое колебание. Чему равна амплитуда колебаний? Что можно сказать о частоте обращения шарика и частоте колебаний?

Рис. V-1

Дано:

Диаметр окружности вращения: $d$

Найти:

Амплитуду колебаний $A$
Соотношение между частотой обращения $ν_{обр}$ и частотой колебаний $ν_{кол}$

Решение:

Чему равна амплитуда колебаний?

Когда шарик равномерно вращается в горизонтальной плоскости, он описывает окружность. Если наблюдать за этим движением из точки, лежащей в плоскости этой окружности, мы будем видеть не круговое движение, а его проекцию на прямую линию (диаметр окружности).

Такая проекция равномерного движения по окружности на ее диаметр представляет собой гармоническое колебание. Шарик будет перемещаться от одной крайней точки диаметра до другой и обратно.

Амплитуда колебаний — это максимальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. В данном случае положением равновесия является центр окружности. Максимальное смещение от центра равно радиусу окружности $r$.

Радиус окружности $r$ связан с ее диаметром $d$ соотношением: $r = \frac{d}{2}$

Следовательно, амплитуда $A$ наблюдаемых колебаний равна радиусу окружности вращения. $A = r = \frac{d}{2}$

Ответ: Амплитуда колебаний равна половине диаметра окружности, по которой вращается шарик: $A = d/2$.

Что можно сказать о частоте обращения шарика и частоте колебаний?

Частота — это количество полных циклов движения, совершаемых за единицу времени.

Рассмотрим один полный цикл для каждого вида движения.

Один полный цикл вращения (один оборот) шарика по окружности соответствует одному полному циклу колебания его проекции. То есть, за то время, пока шарик совершает один полный оборот, его проекция перемещается от одной крайней точки до другой и возвращается обратно, совершая одно полное колебание.

Это означает, что периоды обоих движений совпадают. Период обращения $T_{обр}$ равен периоду колебаний $T_{кол}$: $T_{обр} = T_{кол}$

Частота $ν$ является величиной, обратной периоду $T$: $ν = 1/T$.

Поскольку периоды равны, то и частоты, как обратные им величины, также будут равны: $ν_{обр} = ν_{кол}$

Таким образом, частота обращения шарика по окружности в точности равна частоте наблюдаемых гармонических колебаний.

Ответ: Частота обращения шарика равна частоте колебаний.

35.5 [854] Частота колебаний напряжения в электрической сети равна 50 Гц. Определите период колебаний.

Дано:

Частота колебаний напряжения $\nu = 50$ Гц

(Данное значение представлено в единицах системы СИ)

Найти:

Период колебаний $T$

Решение:

Период колебаний ($T$) и частота колебаний ($\nu$) — это взаимно обратные физические величины. Период представляет собой время, за которое система совершает одно полное колебание, в то время как частота показывает количество таких колебаний за единицу времени. Связь между ними выражается следующей формулой:

$T = \frac{1}{\nu}$

Подставим в эту формулу значение частоты, данное в условии задачи:

$T = \frac{1}{50 \text{ Гц}}$

Выполним вычисление:

$T = 0.02 \text{ с}$

Единица измерения частоты, Герц (Гц), эквивалентна обратной секунде ($1 \text{ Гц} = 1/\text{с} = \text{с}^{-1}$). Поэтому результатом вычисления является величина в секундах (с), что соответствует единице измерения периода в системе СИ.

Ответ: $0.02 \text{ с}$.

35.6 [855] При измерении пульса человека было зафиксировано 75 пульсаций крови за 1 мин. Определите период сокращений сердечной мышцы.

Дано:

Число пульсаций (сокращений), $N = 75$
Промежуток времени, $t = 1 \text{ мин}$

$t = 1 \cdot 60 \text{ с} = 60 \text{ с}$

Найти:

Период сокращений, $T$

Решение:

Период сокращений ($T$) — это время, необходимое для одного полного сокращения сердечной мышцы. Чтобы найти период, нужно разделить общее время наблюдения ($t$) на количество сокращений ($N$), произошедших за это время.

Формула для расчета периода:

$T = \frac{t}{N}$

Перед расчетом переведем время из минут в секунды, так как секунда является основной единицей времени в системе СИ:

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$T = \frac{60 \text{ с}}{75} = 0.8 \text{ с}$

Ответ: период сокращений сердечной мышцы равен $0.8 \text{ с}$.

35.7 [856] Частота вращения вала электрической швейной машинки равна 1200 об./мин. За один оборот игла совершает одно колебание. Определите период колебания иглы.

Дано:

Частота вращения вала $n = 1200$ об./мин.

Найти:

Период колебания иглы $T$.

Решение:

Согласно условию задачи, за один оборот вала игла совершает одно полное колебание. Это означает, что частота колебаний иглы $\nu$ равна частоте вращения вала $n$.

Частота вращения вала, переведенная в системные единицы (Герцы), составляет $20$ Гц. Следовательно, частота колебаний иглы также равна:

$\nu = 20 \text{ Гц}$

Период колебаний $T$ — это физическая величина, равная времени одного полного колебания. Период является величиной, обратной частоте, и вычисляется по формуле:

$T = \frac{1}{\nu}$

Подставим в эту формулу значение частоты колебаний иглы:

$T = \frac{1}{20 \text{ Гц}} = 0.05 \text{ с}$

Ответ: период колебания иглы равен $0.05$ с.

35.8 [857] Фреза имеет частоту вращения 600 об./мин. Число зубьев на фрезе равно 40. С какой частотой вибрирует станок? Определите период вибраций.

Дано:

Частота вращения фрезы, $n_{вр} = 600$ об./мин.
Число зубьев на фрезе, $N = 40$.

$n = 600 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{600 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 10 \frac{\text{об}}{\text{с}} = 10 \text{ Гц}$

Найти:

Частота вибраций, $\nu$ - ?
Период вибраций, $T$ - ?

Решение:

С какой частотой вибрирует станок?
Вибрация станка вызвана ударами зубьев фрезы о заготовку. Частота вибраций ($\nu$) определяется общим числом ударов зубьев в секунду. За один оборот фреза наносит $N$ ударов. Частота вращения фрезы $n$ показывает, сколько оборотов она совершает за одну секунду. Следовательно, частота вибраций станка будет равна произведению частоты вращения фрезы на количество зубьев:

$\nu = n \cdot N$

Подставим числовые значения, используя частоту вращения в СИ (Гц):

$\nu = 10 \text{ Гц} \cdot 40 = 400 \text{ Гц}$

Ответ: частота вибраций станка равна 400 Гц.

Определите период вибраций.
Период вибраций ($T$) — это время одного полного колебания (в данном случае — время между двумя последовательными ударами зубьев). Период является величиной, обратной частоте:

$T = \frac{1}{\nu}$

Подставим найденное значение частоты:

$T = \frac{1}{400 \text{ Гц}} = 0,0025 \text{ с}$

Ответ: период вибраций равен 0,0025 с.

35.9 [858] Какова частота колебаний поршня двигателя автомобиля, если за 0,5 мин поршень совершает 600 колебаний?

Дано:

$N = 600$

$t = 0,5 \text{ мин}$

Найти:

$\nu - ?$

Решение:

Частота колебаний $\nu$ — это физическая величина, которая показывает, сколько полных колебаний $N$ совершается за единицу времени $t$. Для нахождения частоты используется формула:

$\nu = \frac{N}{t}$

Перед вычислениями необходимо перевести время из минут в секунды, так как Герц (Гц) — это количество колебаний в секунду ($1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$).

$t = 0,5 \text{ мин} = 0,5 \cdot 60 \text{ с} = 30 \text{ с}$

Теперь подставим числовые значения в формулу для частоты:

$\nu = \frac{600}{30 \text{ с}} = 20 \text{ Гц}$

Ответ: $20 \text{ Гц}$.