Страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

35.37 [882] Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жёсткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний равна 15 см. Чему равны полная механическая энергия колебаний и наибольшая скорость движения груза?

Дано:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$
$k = 250 \text{ Н/м}$
$A = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$E - ?$
$v_{max} - ?$

Решение:

Полная механическая энергия колебаний

Полная механическая энергия $E$ системы при гармонических колебаниях сохраняется (при отсутствии трения). Она равна максимальной потенциальной энергии упруго деформированной пружины, которая достигается в точках максимального отклонения тела от положения равновесия, то есть при смещении, равном амплитуде $A$.

Формула для полной механической энергии: $E = E_{p_{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ: $E = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot (0.15 \text{ м})^2}{2} = \frac{250 \cdot 0.0225}{2} = \frac{5.625}{2} = 2.8125 \text{ Дж}$

Ответ: полная механическая энергия колебаний равна 2,8125 Дж.

Наибольшая скорость движения груза

Наибольшая скорость $v_{max}$ достигается при прохождении грузом положения равновесия ($x = 0$). В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю, а вся механическая энергия системы переходит в кинетическую энергию груза.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия $E$ равна максимальной кинетической энергии $E_{k_{max}}$: $E = E_{k_{max}} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Приравняем выражения для полной энергии, полученные через максимальную потенциальную и максимальную кинетическую энергии: $\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Из этого равенства выразим наибольшую скорость: $v_{max}^2 = \frac{kA^2}{m} \implies v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения: $v_{max} = 0.15 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{250 \text{ Н/м}}{0.4 \text{ кг}}} = 0.15 \cdot \sqrt{625} \text{ м/с} = 0.15 \cdot 25 \text{ м/с} = 3.75 \text{ м/с}$

Ответ: наибольшая скорость движения груза равна 3,75 м/с.

35.38* [883*] По условию задачи 35.35 определите полную энергию колебаний шарика, а также потенциальную и кинетическую энергии в тот момент, когда шарик находится в точке с координатой $x = 2$ см. За начало отсчёта примите положение равновесия шарика.

Дано:

Данные из задачи 35.35:

Масса шарика, $m = 100 \text{ г}$

Амплитуда колебаний, $A = 5 \text{ см}$

Период колебаний, $T = 4 \text{ с}$

Данные из задачи 35.38:

Координата шарика, $x = 2 \text{ см}$

Найти:

Полную энергию колебаний $E - ?$

Потенциальную энергию $E_p$ при смещении $x - ?$

Кинетическую энергию $E_k$ при смещении $x - ?$

Решение:

1. Определение полной энергии колебаний (E)

Полная механическая энергия гармонических колебаний сохраняется и равна максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном смещении (т.е. при $x=A$):

$E = E_{p,max} = \frac{kA^2}{2}$

где $k$ – жесткость системы (аналог коэффициента жесткости пружины), а $A$ – амплитуда колебаний.

Жесткость системы связана с массой шарика $m$ и циклической (угловой) частотой колебаний $ω$ соотношением $k = mω^2$.

Циклическую частоту найдем через период колебаний $T$:

$ω = \frac{2π}{T} = \frac{2π}{4 \text{ с}} = \frac{π}{2} \text{ рад/с}$

Теперь можем выразить полную энергию через известные величины:

$E = \frac{mω^2A^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$E = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (\frac{π}{2} \text{ рад/с})^2 \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.1 \cdot \frac{π^2}{4} \cdot 0.0025}{2} \approx \frac{0.1 \cdot \frac{9.87}{4} \cdot 0.0025}{2} \approx \frac{0.0006168}{2} \approx 3.084 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $E \approx 3.1 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$ или $0.31 \text{ мДж}$.

2. Определение потенциальной энергии ($E_p$) при $x = 2$ см

Потенциальная энергия шарика при смещении $x$ от положения равновесия определяется формулой:

$E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{mω^2x^2}{2}$

Подставим значения для $x = 0.02 \text{ м}$:

$E_p = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (\frac{π}{2} \text{ рад/с})^2 \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.1 \cdot \frac{π^2}{4} \cdot 0.0004}{2} \approx \frac{0.1 \cdot \frac{9.87}{4} \cdot 0.0004}{2} \approx \frac{0.0000987}{2} \approx 4.935 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Округляя, получаем $E_p \approx 4.9 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ или $0.049 \text{ мДж}$.

3. Определение кинетической энергии ($E_k$) при $x = 2$ см

Согласно закону сохранения полной механической энергии, в любой момент времени сумма кинетической и потенциальной энергий равна полной энергии колебаний:

$E = E_p + E_k$

Отсюда можем найти кинетическую энергию в точке с координатой $x$:

$E_k = E - E_p$

Используем ранее вычисленные значения:

$E_k \approx 3.084 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} - 4.935 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = (3.084 - 0.4935) \cdot 10^{-4} \text{ Дж} \approx 2.59 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Округляя, получаем $E_k \approx 2.6 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$ или $0.26 \text{ мДж}$.

Ответ: полная энергия колебаний шарика $E \approx 0.31 \text{ мДж}$; в момент, когда шарик находится в точке с координатой $x=2$ см, его потенциальная энергия $E_p \approx 0.049 \text{ мДж}$, а кинетическая энергия $E_k \approx 0.26 \text{ мДж}$.

35.39* [884*] Груз, подвешенный на пружине жёсткостью 1 кН/м, колеблется с амплитудой 2 см по закону $x=A \sin (\omega t + \varphi_0)$. Определите потенциальную и кинетическую энергии при фазе $\pi/6$ рад.

Дано:

Жесткость пружины, $k = 1 \text{ кН/м} = 1 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 1000 \text{ Н/м}$
Амплитуда колебаний, $A = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Закон колебаний: $x = A \sin(\omega t + \varphi_0)$
Фаза колебаний, $\varphi = \omega t + \varphi_0 = \pi/6 \text{ рад}$

Найти:

Потенциальную энергию $E_п$ и кинетическую энергию $E_к$ при заданной фазе.

Решение:

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется его деформацией (смещением от положения равновесия $x$): $E_п = \frac{kx^2}{2}$

Смещение $x$ в любой момент времени описывается заданным уравнением $x = A \sin(\omega t + \varphi_0)$. Фаза колебаний $(\omega t + \varphi_0)$ в рассматриваемый момент равна $\pi/6$. Найдем смещение груза в этот момент: $x = A \sin(\frac{\pi}{6}) = 0.02 \cdot \frac{1}{2} = 0.01 \text{ м}$

Теперь можем рассчитать потенциальную энергию: $E_п = \frac{1000 \text{ Н/м} \cdot (0.01 \text{ м})^2}{2} = \frac{1000 \cdot 0.0001}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \text{ Дж}$

Кинетическую энергию можно найти, используя закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия гармонического осциллятора постоянна и равна максимальной потенциальной энергии (когда смещение равно амплитуде): $E_{полн} = \frac{kA^2}{2}$

Рассчитаем полную энергию системы: $E_{полн} = \frac{1000 \text{ Н/м} \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = \frac{1000 \cdot 0.0004}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \text{ Дж}$

Полная энергия в любой момент времени является суммой кинетической и потенциальной энергий: $E_{полн} = E_к + E_п$

Отсюда выразим кинетическую энергию: $E_к = E_{полн} - E_п$

Подставим вычисленные значения: $E_к = 0.2 \text{ Дж} - 0.05 \text{ Дж} = 0.15 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия $E_п = 0.05 \text{ Дж}$; кинетическая энергия $E_к = 0.15 \text{ Дж}$.

35.40 [885] Почему легче идти в обуви на толстой упругой подошве при определённой частоте шагов? Объясните с точки зрения превращения энергии.

Это явление объясняется с точки зрения вынужденных колебаний и резонанса. Систему «человек + упругая подошва» можно рассматривать как колебательную систему, где масса человека ($m$) колеблется на пружине, роль которой выполняет упругая подошва с определенным коэффициентом жесткости ($k$).

Каждая колебательная система имеет собственную (резонансную) частоту свободных колебаний, которая определяется её параметрами. Для системы пружинного маятника эта частота вычисляется по формуле:

$ \nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $

Ходьба представляет собой периодическое воздействие на эту систему, то есть является вынуждающей силой с частотой, равной частоте шагов ($\nu_{шагов}$).

Рассмотрим превращения энергии во время ходьбы:

1. Когда человек делает шаг и опускает ногу, его тело обладает кинетической и потенциальной энергией. При соприкосновении с поверхностью упругая подошва сжимается. Часть механической энергии человека переходит в потенциальную энергию упругой деформации сжатой подошвы.

2. При отталкивании для следующего шага сжатая подошва распрямляется. Накопленная в ней потенциальная энергия упругой деформации высвобождается и превращается обратно в кинетическую и потенциальную энергию человека, помогая подтолкнуть тело вверх и вперед.

Наиболее эффективная передача энергии от подошвы к человеку происходит, когда частота шагов ($\nu_{шагов}$) совпадает с собственной частотой колебаний системы «человек-подошва» ($\nu_0$). Это явление называется **резонансом**.

При определенной (резонансной) частоте шагов подошва отдает накопленную энергию именно в тот момент, когда это наиболее благоприятно для совершения следующего шага. В результате мышцам человека требуется совершать меньше работы, так как часть энергии, затраченной на предыдущем шаге, эффективно «возвращается» в систему. Это и создает ощущение, что идти легче. Если же частота шагов сильно отличается от резонансной, то энергия будет возвращаться не в фазе с движением, и значительная её часть будет рассеиваться в виде тепла, а не помогать движению.

Ответ: Идти в обуви на толстой упругой подошве легче при определённой частоте шагов из-за явления резонанса. Система «человек-подошва» имеет собственную частоту колебаний. Когда частота шагов совпадает с этой собственной частотой, происходит наиболее эффективная передача энергии: потенциальная энергия, накопленная подошвой при сжатии, максимально полно возвращается человеку для совершения следующего шага. Это снижает затраты энергии со стороны мышц и делает ходьбу легче.

35.41 [886] Как изменяется амплитуда и какие превращения претерпевает энергия при колебаниях:

дерева при одиночном порыве ветра;

автомобиля при работе двигателя на холостом ходу;

коромысла весов при взвешивании?

дерева при одиночном порыве ветра

Колебания дерева, вызванные одиночным порывом ветра, представляют собой свободные затухающие колебания. Порыв ветра сообщает дереву начальный запас механической энергии, выводя его из положения равновесия. После прекращения действия ветра дерево колеблется под действием внутренних сил упругости. Из-за сопротивления воздуха и внутреннего трения в древесине амплитуда $A$ колебаний со временем уменьшается до нуля. Полная механическая энергия колебательной системы $E$, пропорциональная квадрату амплитуды ($E \propto A^2$), постепенно рассеивается, превращаясь во внутреннюю энергию (тепло) самого дерева и окружающего воздуха.

Ответ: Амплитуда колебаний уменьшается. Механическая энергия переходит во внутреннюю. Это затухающие колебания.

автомобиля при работе двигателя на холостом ходу

Вибрация автомобиля при работающем на холостом ходу двигателе — это пример вынужденных колебаний. Двигатель создает периодическую вынуждающую силу, которая поддерживает эти колебания. В установившемся режиме амплитуда колебаний остается постоянной. Это объясняется тем, что приток энергии от двигателя за один период колебаний полностью компенсирует потери энергии за тот же период из-за трения в деталях и сопротивления воздуха. Происходит непрерывное преобразование энергии: химическая энергия топлива в двигателе переходит в механическую энергию колебаний кузова, которая, в свою очередь, постоянно рассеивается, переходя во внутреннюю энергию (нагрев) и энергию звуковых волн.

Ответ: Амплитуда колебаний постоянна. Энергия от двигателя непрерывно компенсирует потери энергии на трение, которая переходит во внутреннюю и звуковую энергию. Это вынужденные колебания.

коромысла весов при взвешивании

Колебания коромысла весов при взвешивании являются свободными затухающими колебаниями. Когда на чашу весов помещают груз, система выводится из положения равновесия и начинает колебаться около него. Силы трения в опоре коромысла и сопротивление воздуха являются диссипативными силами, которые вызывают затухание. В результате амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и коромысло в итоге останавливается в положении равновесия. Начальная механическая энергия системы, полученная при смещении, в процессе колебаний постепенно расходуется на работу сил трения и превращается во внутреннюю энергию (тепло) деталей весов и окружающего воздуха.

Ответ: Амплитуда колебаний уменьшается. Механическая энергия переходит во внутреннюю. Это затухающие колебания.

35.42 [н] Можно ли однозначно утверждать, что график, изображённый на рисунке V-2, соответствует собственным колебаниям тела?

Решение

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть различные виды колебаний и их графическое представление.

Собственные (или свободные) колебания — это колебания, которые система совершает после выведения ее из положения равновесия, будучи предоставленной самой себе. Существует два основных случая:
1. Идеальные собственные колебания: происходят в системе без потерь энергии (трения, сопротивления среды). Они являются гармоническими, их амплитуда $A$ постоянна. График зависимости смещения от времени описывается уравнением $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$, где $\omega_0$ — собственная частота системы. Графически это идеальная синусоида.
2. Реальные (затухающие) собственные колебания: происходят в реальных системах, где всегда присутствует затухание. Амплитуда таких колебаний со временем экспоненциально уменьшается. График описывается уравнением вида $x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \phi)$.

Вынужденные колебания — это колебания, происходящие под действием внешней периодической силы. После завершения переходного процесса в системе устанавливаются стационарные (установившиеся) вынужденные колебания. Если внешняя сила изменяется по гармоническому закону, то установившиеся колебания также будут гармоническими с постоянной амплитудой, так как внешняя сила постоянно восполняет потери энергии. Их уравнение имеет вид $x(t) = A_f \cos(\omega_f t + \delta)$, где $\omega_f$ — частота вынуждающей силы.

Следовательно, если на рисунке V-2 изображен график гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то возникает неоднозначность. Такой график может соответствовать как идеальным собственным колебаниям (случай 1), так и установившимся вынужденным колебаниям. Поскольку один и тот же вид графика может описывать два принципиально разных процесса, сделать однозначный вывод о природе колебаний, основываясь только на таком графике, невозможно.

Если же на графике изображены затухающие колебания (амплитуда уменьшается), то можно с высокой степенью уверенности утверждать, что это собственные колебания в реальной системе (случай 2), так как установившиеся вынужденные колебания характеризуются постоянной амплитудой.

Однако вопрос сформулирован в общем виде: «Можно ли однозначно утверждать...». Из-за существования неоднозначности в случае графика с постоянной амплитудой, общий ответ на вопрос — отрицательный.

Ответ: Нет, нельзя однозначно утверждать, что график соответствует собственным колебаниям. График гармонических колебаний с постоянной амплитудой может изображать как идеальные (незатухающие) собственные колебания, так и установившиеся вынужденные колебания. Из-за этой неоднозначности сделать однозначный вывод только по виду графика невозможно.

35.43 [н] Периодическими ударами по мячу баскетболист может заставить мяч, лежавший на полу, подпрыгивать на значительную высоту. Как вы объясните этот приём?

Это явление объясняется резонансом. Баскетбольный мяч, подпрыгивающий на полу, можно рассматривать как колебательную систему. У этой системы есть собственная частота (или период) колебаний.

1. Собственные колебания мяча. Когда мяч падает и отскакивает от пола, он совершает колебательное движение. Время, за которое мяч падает с некоторой высоты и возвращается на неё после отскока, является периодом его собственных колебаний $T_0$. Этот период зависит от высоты отскока: чем выше отскок, тем больше времени требуется мячу на полёт.

2. Вынуждающая сила. Удары баскетболиста по мячу — это внешняя периодическая сила, которая действует на эту колебательную систему. Баскетболист интуитивно или сознательно подбирает частоту своих ударов.

3. Резонанс. Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы $f$ совпадает с собственной частотой колебательной системы $f_0$. В терминах периода это означает, что период ударов $T$ должен быть равен периоду собственных колебаний мяча $T_0$: $$ T \approx T_0 $$

Когда баскетболист ударяет по мячу в тот момент, когда тот почти достиг максимальной высоты и начинает падать, он совершает работу и сообщает мячу дополнительную энергию. Этот удар происходит в фазе с колебаниями мяча.

С каждым таким своевременным ударом энергия мяча увеличивается. Увеличение полной механической энергии приводит к увеличению максимальной потенциальной энергии $E_п = mgh$, а следовательно, и к увеличению высоты подъёма $h$. Высота будет расти до тех пор, пока энергия, добавляемая баскетболистом за один удар, не уравновесится потерями энергии за один цикл (из-за сопротивления воздуха и неабсолютно упругого удара о пол).

Таким образом, подстраивая частоту своих ударов под собственную частоту отскоков мяча, баскетболист вызывает резонанс и "накачивает" систему энергией, заставляя мяч подпрыгивать все выше и выше.

Ответ: Приём основан на явлении резонанса. Мяч, отскакивающий от пола, является колебательной системой со своим периодом колебаний. Периодические удары баскетболиста — это внешняя вынуждающая сила. Когда период ударов совпадает с периодом отскоков мяча, наступает резонанс. При этом происходит эффективная передача энергии от руки к мячу, что приводит к значительному увеличению амплитуды колебаний, то есть высоты отскока мяча.

35.44 [н] Почему стиральные машины снабжают утяжелителями, токарные станки привинчивают к полу, а потолочные вентиляторы плотно прикрепляют к перекрытиям здания?

Почему стиральные машины снабжают утяжелителями
Общий принцип, объясняющий все три ситуации, связан с необходимостью гасить вибрации, возникающие при вращении массивных или несбалансированных частей механизмов.
В стиральной машине, особенно в режиме отжима, барабан с мокрым бельём вращается с очень высокой скоростью. Бельё почти никогда не распределяется идеально равномерно, что создаёт значительный дисбаланс масс. Этот дисбаланс приводит к возникновению мощной центробежной силы, которая, постоянно меняя своё направление, раскачивает и сдвигает весь корпус машины. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела $a$ обратно пропорционально его массе $m$ при заданной силе $F$: $a = F/m$. Чтобы уменьшить амплитуду вибраций (то есть ускорение корпуса), массу машины искусственно увеличивают с помощью тяжёлых противовесов, обычно сделанных из бетона или чугуна. Увеличение массы $m$ делает машину более инертной и устойчивой, не позволяя ей «ускакать» со своего места.

Ответ: Утяжелители значительно увеличивают общую массу стиральной машины для повышения её инертности и устойчивости. Это необходимо, чтобы погасить сильные вибрации, возникающие из-за несбалансированного вращения барабана с бельём, и предотвратить смещение машины во время работы.

Почему токарные станки привинчивают к полу
Токарный станок — это оборудование для высокоточной обработки. Его шпиндель, вращающийся вместе с закреплённой заготовкой, также является источником вибраций, особенно при обработке несбалансированных или массивных деталей. Вибрации крайне нежелательны, так как они напрямую влияют на качество обработки (вызывая «дробление» и неровности поверхности), приводят к ускоренному износу режущего инструмента и самого станка, а также создают угрозу безопасности. Чтобы исключить эти вибрации, станок жёстко крепят к полу. Таким образом, его опорная масса становится равной массе фундамента здания, то есть становится практически бесконечной по сравнению с силами, вызывающими вибрацию. Это обеспечивает максимальную жёсткость и виброустойчивость системы, что является ключевым условием для точной и безопасной металлообработки.

Ответ: Токарные станки привинчивают к полу для обеспечения максимальной виброустойчивости и жёсткости конструкции. Это необходимо для гашения вибраций, возникающих при вращении заготовки, что гарантирует высокую точность обработки, долговечность оборудования и безопасность оператора.

Почему потолочные вентиляторы плотно прикрепляют к перекрытиям здания
Вращающиеся лопасти потолочного вентилятора, даже при заводской балансировке, могут иметь небольшой дисбаланс, который со временем может усугубляться (например, из-за налипшей пыли). Этот дисбаланс создаёт переменную силу, которая раскачивает вентилятор. Согласно третьему закону Ньютона, эта сила действует не только на сам вентилятор, но и на его крепление к потолку. Постоянные вибрационные нагрузки могут со временем ослабить или даже разрушить крепёж. Если вентилятор упадёт с потолка во время работы, это может привести к серьёзным травмам. Поэтому для обеспечения безопасности вентиляторы необходимо очень плотно и надёжно прикреплять к прочным элементам перекрытия здания (балкам). Такое крепление гарантирует, что все вибрационные нагрузки будут безопасно переданы на массивную конструкцию здания и погашены ею.

Ответ: Потолочные вентиляторы плотно прикрепляют к несущим конструкциям перекрытия в целях безопасности. Надёжное крепление предотвращает ослабление и разрушение под действием вибраций, возникающих при вращении лопастей, и исключает риск падения работающего прибора.

35.45 [н] Почему автомобиль при определённой скорости испытывает сильные вертикальные колебания на дороге с периодическими неровностями и водитель вынужден менять скорость движения?

Автомобиль на своей подвеске (пружинах и амортизаторах) представляет собой колебательную систему. Как и любая колебательная система, он имеет собственную частоту вертикальных колебаний, которую можно обозначить как $f_0$. Эта частота определяется конструктивными особенностями автомобиля, в основном его массой и жесткостью пружин подвески.

Когда автомобиль движется по дороге с периодическими неровностями (например, стыками плит, "гребенкой" или волнами асфальта), расположенными на одинаковом расстоянии $L$ друг от друга, на его подвеску действует периодическая внешняя (вынуждающая) сила. Частота этой силы $f_{вын}$ зависит от скорости автомобиля $v$ и расстояния между неровностями $L$. За время $t = L/v$ автомобиль проезжает от одной неровности до другой, это и есть период вынуждающей силы. Следовательно, её частота равна $f_{вын} = 1/t = v/L$.

При определенной скорости движения может возникнуть ситуация, когда частота вынуждающей силы, создаваемой неровностями дороги, совпадет с собственной частотой колебаний автомобиля:

$$f_{вын} = f_0$$

или

$$v/L = f_0$$

Это условие называется резонансом. При резонансе происходит резкое увеличение амплитуды колебаний системы. В данном случае автомобиль начинает испытывать сильные вертикальные колебания (раскачку), что делает поездку некомфортной и опасной, так как это может привести к потере сцепления колес с дорогой и потере управляемости.

Чтобы прекратить сильную раскачку, водитель должен изменить скорость движения (увеличить или уменьшить). При изменении скорости $v$ меняется и частота вынуждающей силы $f_{вын}$. Условие резонанса перестает выполняться ($f_{вын} \neq f_0$), и амплитуда колебаний резко уменьшается до приемлемого уровня.

Ответ: Сильные вертикальные колебания автомобиля возникают из-за явления резонанса, когда частота внешнего воздействия от периодических неровностей дороги совпадает с собственной частотой колебаний подвески автомобиля. Это происходит при определенной скорости. Чтобы выйти из резонанса и уменьшить амплитуду колебаний, водитель вынужден изменить скорость, тем самым изменив частоту внешнего воздействия.

35.46 [н] Почему резонанс приводит к разрушению колебательной системы не во всех случаях? Объясните это с точки зрения превращения энергии.

Резонанс представляет собой явление, при котором происходит резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний. Это случается, когда частота внешней периодической силы совпадает с собственной частотой колебательной системы. С точки зрения превращения энергии, при резонансе внешняя сила действует согласованно с движением системы, постоянно совершая положительную работу и эффективно передавая энергию от источника к колебательной системе. Эта поступающая энергия увеличивает полную механическую энергию системы (сумму кинетической и потенциальной энергии), что внешне проявляется в росте амплитуды колебаний.

Однако в любой реальной физической системе всегда существуют силы сопротивления, такие как трение или сопротивление воздуха. Эти силы называются диссипативными или демпфирующими. Они всегда направлены против движения и совершают отрицательную работу. Вследствие этой работы механическая энергия колебательной системы непрерывно преобразуется в другие формы, в основном во внутреннюю (тепловую) энергию, которая затем рассеивается в окружающей среде. Величина потерь энергии (мощность диссипации) возрастает с увеличением амплитуды и, соответственно, скорости колебаний.

Разрушение системы происходит только в том случае, если амплитуда колебаний превышает некоторый критический предел, обусловленный прочностью её конструкции. Резонанс не всегда приводит к разрушению, так как рост амплитуды не бесконечен. Он ограничен процессом диссипации энергии. Амплитуда колебаний увеличивается до тех пор, пока мощность, подводимая внешней силой, не станет равной мощности, теряемой из-за сил трения. Когда достигается этот энергетический баланс, устанавливается стационарная (устойчивая) амплитуда колебаний. Вся энергия, поступающая в систему за один период колебаний, полностью компенсирует потери энергии за тот же период.

Таким образом, исход зависит от соотношения двух процессов: поступления энергии и её рассеяния.

• Если демпфирование в системе велико, то для баланса мощностей требуется относительно небольшая амплитуда. В этом случае система будет совершать колебания с большой, но безопасной амплитудой, и разрушения не произойдет.
• Если же демпфирование очень мало, то даже небольшая по величине внешняя сила может передать системе значительную энергию. Для того чтобы потери энергии сравнялись с поступлением, амплитуда должна возрасти до очень больших значений, которые могут превысить предел прочности системы и вызвать её разрушение.

Ответ: Резонанс не во всех случаях приводит к разрушению системы, потому что в любой реальной системе присутствуют силы трения (демпфирование), которые преобразуют механическую энергию колебаний в тепловую. Рост амплитуды при резонансе прекращается, когда устанавливается энергетический баланс: мощность, с которой внешняя сила передает энергию системе, становится равной мощности, с которой энергия рассеивается из-за трения. Если эта установившаяся максимальная амплитуда меньше, чем предел прочности системы, то разрушения не происходит.

35.47 [887] Вода, которую мальчик несёт в ведре, начинает сильно расплёскиваться. Мальчик меняет темп ходьбы или просто «сбивает ногу», и расплёскивание прекращается. Почему так происходит?

Решение

Данное явление объясняется физическим явлением резонанса.

1. Колебательная система: Вода в ведре представляет собой колебательную систему. Как и у любой колебательной системы (например, маятника), у воды в ведре есть своя собственная частота колебаний. Обозначим ее $ν_0$. Эта частота зависит от геометрических размеров ведра (его диаметра) и высоты уровня воды.

2. Вынужденные колебания: Ходьба мальчика заставляет ведро, а вместе с ним и воду, совершать периодические движения. Эти движения являются внешней, или вынуждающей, силой, которая действует на воду с определенной частотой. Эта частота, обозначим ее $ν$, равна частоте шагов мальчика.

3. Резонанс: Когда мальчик идет с определенным темпом, может случиться так, что частота его шагов $ν$ совпадет с собственной частотой колебаний воды $ν_0$. Это условие называется резонансом: $ν = ν_0$. При резонансе происходит резкое увеличение амплитуды (размаха) колебаний. Вода начинает раскачиваться все сильнее и сильнее, пока не начинает выплескиваться из ведра.

4. Выход из резонанса: Когда мальчик меняет темп ходьбы (ускоряется или замедляется) или «сбивает ногу» (делает шаги неритмичными), он изменяет частоту $ν$ вынуждающей силы. В результате частота шагов перестает совпадать с собственной частотой колебаний воды ($ν \neq ν_0$). Условие резонанса нарушается, амплитуда колебаний воды резко уменьшается, и она перестает расплескиваться.

Ответ: Сильное расплескивание воды происходит из-за явления резонанса, которое наступает, когда частота шагов мальчика совпадает с собственной частотой колебаний воды в ведре. Чтобы прекратить расплескивание, мальчик меняет темп ходьбы, тем самым изменяя частоту вынуждающей силы и выводя систему из состояния резонанса.

35.48* [888*] Максимальную амплитуду вертикальных колебаний мячика, подвешенного на тонкой резинке, можно получить, если его нести, делая 48 шагов за 1 мин. Определите коэффициент упругости резинки, если масса мячика равна 60 г.

Дано:

$N = 48$ шагов

$t = 1$ мин

$m = 60$ г

Перевод в СИ:

$t = 60$ с

$m = 0.06$ кг

Найти:

$k$ - ?

Решение:

Максимальная амплитуда вертикальных колебаний мячика достигается при явлении резонанса. Резонанс наступает, когда частота вынуждающей силы становится равной собственной частоте колебаний системы.

В данном случае, вынуждающей силой являются периодические толчки, возникающие при ходьбе. Частота этой вынуждающей силы $\nu_{вын}$ равна частоте шагов:

$\nu_{вын} = \frac{N}{t}$

Система "мячик на резинке" представляет собой пружинный маятник. Собственная частота колебаний пружинного маятника $\nu_{соб}$ вычисляется по формуле:

$\nu_{соб} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $k$ — коэффициент упругости (жесткости) резинки, а $m$ — масса мячика.

В условии резонанса частоты равны: $\nu_{вын} = \nu_{соб}$.

$\frac{N}{t} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Чтобы найти коэффициент упругости $k$, выразим его из этого уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат:

$(\frac{N}{t})^2 = (\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}})^2$

$(\frac{N}{t})^2 = \frac{1}{4\pi^2}\frac{k}{m}$

Теперь выразим $k$:

$k = 4\pi^2 m (\frac{N}{t})^2$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$k = 4\pi^2 \cdot 0.06 \text{ кг} \cdot (\frac{48}{60 \text{ с}})^2$

$k = 4\pi^2 \cdot 0.06 \cdot (0.8)^2 \text{ Н/м}$

$k = 4\pi^2 \cdot 0.06 \cdot 0.64 \text{ Н/м}$

$k \approx 4 \cdot (3.1416)^2 \cdot 0.0384 \text{ Н/м}$

$k \approx 4 \cdot 9.8696 \cdot 0.0384 \text{ Н/м} \approx 1.516 \text{ Н/м}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

$k \approx 1.5 \text{ Н/м}$

Ответ: $k \approx 1.5 \text{ Н/м}$.