Номер 35.38, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.38, страница 133.

35.38* [883*] По условию задачи 35.35 определите полную энергию колебаний шарика, а также потенциальную и кинетическую энергии в тот момент, когда шарик находится в точке с координатой $x = 2$ см. За начало отсчёта примите положение равновесия шарика.

Дано:

Данные из задачи 35.35:

Масса шарика, $m = 100 \text{ г}$

Амплитуда колебаний, $A = 5 \text{ см}$

Период колебаний, $T = 4 \text{ с}$

Данные из задачи 35.38:

Координата шарика, $x = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.1 \text{ кг}$

$A = 0.05 \text{ м}$

$x = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Полную энергию колебаний $E - ?$

Потенциальную энергию $E_p$ при смещении $x - ?$

Кинетическую энергию $E_k$ при смещении $x - ?$

Решение:

1. Определение полной энергии колебаний (E)

Полная механическая энергия гармонических колебаний сохраняется и равна максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном смещении (т.е. при $x=A$):

$E = E_{p,max} = \frac{kA^2}{2}$

где $k$ – жесткость системы (аналог коэффициента жесткости пружины), а $A$ – амплитуда колебаний.

Жесткость системы связана с массой шарика $m$ и циклической (угловой) частотой колебаний $ω$ соотношением $k = mω^2$.

Циклическую частоту найдем через период колебаний $T$:

$ω = \frac{2π}{T} = \frac{2π}{4 \text{ с}} = \frac{π}{2} \text{ рад/с}$

Теперь можем выразить полную энергию через известные величины:

$E = \frac{mω^2A^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$E = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (\frac{π}{2} \text{ рад/с})^2 \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.1 \cdot \frac{π^2}{4} \cdot 0.0025}{2} \approx \frac{0.1 \cdot \frac{9.87}{4} \cdot 0.0025}{2} \approx \frac{0.0006168}{2} \approx 3.084 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $E \approx 3.1 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$ или $0.31 \text{ мДж}$.

2. Определение потенциальной энергии ($E_p$) при $x = 2$ см

Потенциальная энергия шарика при смещении $x$ от положения равновесия определяется формулой:

$E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{mω^2x^2}{2}$

Подставим значения для $x = 0.02 \text{ м}$:

$E_p = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (\frac{π}{2} \text{ рад/с})^2 \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.1 \cdot \frac{π^2}{4} \cdot 0.0004}{2} \approx \frac{0.1 \cdot \frac{9.87}{4} \cdot 0.0004}{2} \approx \frac{0.0000987}{2} \approx 4.935 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Округляя, получаем $E_p \approx 4.9 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ или $0.049 \text{ мДж}$.

3. Определение кинетической энергии ($E_k$) при $x = 2$ см

Согласно закону сохранения полной механической энергии, в любой момент времени сумма кинетической и потенциальной энергий равна полной энергии колебаний:

$E = E_p + E_k$

Отсюда можем найти кинетическую энергию в точке с координатой $x$:

$E_k = E - E_p$

Используем ранее вычисленные значения:

$E_k \approx 3.084 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} - 4.935 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = (3.084 - 0.4935) \cdot 10^{-4} \text{ Дж} \approx 2.59 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Округляя, получаем $E_k \approx 2.6 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$ или $0.26 \text{ мДж}$.

Ответ: полная энергия колебаний шарика $E \approx 0.31 \text{ мДж}$; в момент, когда шарик находится в точке с координатой $x=2$ см, его потенциальная энергия $E_p \approx 0.049 \text{ мДж}$, а кинетическая энергия $E_k \approx 0.26 \text{ мДж}$.