Номер 35.37, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.37, страница 133.

35.37 [882] Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жёсткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний равна 15 см. Чему равны полная механическая энергия колебаний и наибольшая скорость движения груза?

Дано:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$
$k = 250 \text{ Н/м}$
$A = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$E - ?$
$v_{max} - ?$

Решение:

Полная механическая энергия колебаний

Полная механическая энергия $E$ системы при гармонических колебаниях сохраняется (при отсутствии трения). Она равна максимальной потенциальной энергии упруго деформированной пружины, которая достигается в точках максимального отклонения тела от положения равновесия, то есть при смещении, равном амплитуде $A$.

Формула для полной механической энергии: $E = E_{p_{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ: $E = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot (0.15 \text{ м})^2}{2} = \frac{250 \cdot 0.0225}{2} = \frac{5.625}{2} = 2.8125 \text{ Дж}$

Ответ: полная механическая энергия колебаний равна 2,8125 Дж.

Наибольшая скорость движения груза

Наибольшая скорость $v_{max}$ достигается при прохождении грузом положения равновесия ($x = 0$). В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю, а вся механическая энергия системы переходит в кинетическую энергию груза.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия $E$ равна максимальной кинетической энергии $E_{k_{max}}$: $E = E_{k_{max}} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Приравняем выражения для полной энергии, полученные через максимальную потенциальную и максимальную кинетическую энергии: $\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Из этого равенства выразим наибольшую скорость: $v_{max}^2 = \frac{kA^2}{m} \implies v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения: $v_{max} = 0.15 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{250 \text{ Н/м}}{0.4 \text{ кг}}} = 0.15 \cdot \sqrt{625} \text{ м/с} = 0.15 \cdot 25 \text{ м/с} = 3.75 \text{ м/с}$

Ответ: наибольшая скорость движения груза равна 3,75 м/с.