Номер 35.30, страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.30, страница 132.

35.30* [875*] Из двух математических маятников в одном и том же месте Земли один совершает 40 колебаний за некоторое время, а другой за то же время — 20 колебаний. Определите длину каждого из маятников, если один из них длиннее другого на 90 см.

Дано:

$N_1 = 40$
$N_2 = 20$
$\Delta l = 90$ см

$\Delta l = 0.9$ м

Найти:

$l_1$ — ?, $l_2$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Также период можно выразить через число колебаний $N$ за время $t$: $T = \frac{t}{N}$.

Для первого маятника период равен $T_1 = \frac{t}{N_1}$.

Для второго маятника период равен $T_2 = \frac{t}{N_2}$.

Найдем отношение периодов двух маятников:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{t/N_2}{t/N_1} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{40}{20} = 2$

С другой стороны, отношение периодов можно выразить через их длины:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Приравняем два полученных выражения для отношения периодов:

$\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{l_2}{l_1} = 4$, откуда $l_2 = 4l_1$.

Из соотношения периодов ($T_2 = 2T_1$) следует, что период второго маятника больше, а значит, его длина также больше ($l_2 > l_1$). По условию задачи разница в длинах составляет $\Delta l = 90$ см.

Таким образом, $l_2 - l_1 = \Delta l$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$l_2 = 4l_1$
$l_2 - l_1 = \Delta l$

Подставим первое уравнение во второе:

$4l_1 - l_1 = \Delta l$

$3l_1 = \Delta l$

$l_1 = \frac{\Delta l}{3} = \frac{0.9 \text{ м}}{3} = 0.3 \text{ м}$

Теперь найдем длину второго маятника:

$l_2 = 4l_1 = 4 \cdot 0.3 \text{ м} = 1.2 \text{ м}$

Переведем длины в сантиметры для наглядности: $l_1 = 30$ см, $l_2 = 120$ см. Разница длин: $120 \text{ см} - 30 \text{ см} = 90$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: длина одного маятника 0.3 м (или 30 см), а другого — 1.2 м (или 120 см).