Номер 35.36, страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.36, страница 132.

35.36 [881] Опишите превращения механической энергии, происходящие в процессе свободных незатухающих колебаний пружинного маятника в горизонтальном направлении; в вертикальном направлении. Сохраняется ли полная механическая энергия в процессе колебаний?

Решение

в горизонтальном направлении

При свободных незатухающих колебаниях пружинного маятника в горизонтальном направлении происходит периодическое превращение двух видов механической энергии: кинетической энергии груза и потенциальной энергии упруго деформированной пружины.

Полная механическая энергия системы $E$ в любой момент времени складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$:
$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$
где $m$ — масса груза, $v$ — его скорость, $k$ — жесткость пружины, $x$ — смещение груза от положения равновесия.

Рассмотрим процесс превращения энергии за один период колебаний:

1. В крайних точках траектории, когда смещение максимально ($x = \pm A$, где $A$ — амплитуда), груз на мгновение останавливается ($v=0$). В эти моменты кинетическая энергия равна нулю ($E_k=0$), а потенциальная энергия пружины максимальна ($E_p = \frac{kA^2}{2}$). Вся механическая энергия системы сосредоточена в виде потенциальной энергии.
2. При движении груза из крайнего положения к положению равновесия, смещение $x$ уменьшается, а скорость $v$ растет. Потенциальная энергия пружины уменьшается и превращается в кинетическую энергию груза.
3. В момент прохождения положения равновесия ($x=0$), смещение равно нулю, поэтому и потенциальная энергия пружины равна нулю ($E_p=0$). Скорость груза в этот момент максимальна ($v=v_{max}$), и кинетическая энергия также максимальна ($E_k = \frac{mv_{max}^2}{2}$). Вся механическая энергия системы перешла в кинетическую форму.
4. При дальнейшем движении от положения равновесия к другому крайнему положению, скорость груза уменьшается, а смещение растет. Кинетическая энергия превращается обратно в потенциальную энергию пружины.

Таким образом, в процессе колебаний происходит непрерывное взаимное превращение кинетической и потенциальной энергий: $E_p \leftrightarrow E_k$.

Ответ: При горизонтальных колебаниях происходит периодическое превращение потенциальной энергии упруго деформированной пружины в кинетическую энергию груза и обратно. В крайних точках вся энергия потенциальная, в положении равновесия — вся энергия кинетическая.

в вертикальном направлении

При колебаниях пружинного маятника в вертикальном направлении в превращениях энергии участвует не только кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины, но и потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли.

Полная механическая энергия системы $E$ теперь является суммой трех слагаемых:
$E = E_k + E_{p,упр} + E_{p,тяж} = \frac{mv^2}{2} + \frac{k(\Delta l)^2}{2} + mgh$
где $\Delta l$ — удлинение пружины, а $h$ — высота груза над некоторым условным нулевым уровнем.

Удобно рассматривать суммарную потенциальную энергию системы $U = E_{p,упр} + E_{p,тяж}$. Превращения энергии происходят между кинетической энергией $E_k$ и этой суммарной потенциальной энергией $U$.

Рассмотрим процесс:

1. В крайних точках (верхней и нижней) скорость груза равна нулю ($v=0$), поэтому кинетическая энергия $E_k$ также равна нулю. В эти моменты суммарная потенциальная энергия $U$ системы достигает своего максимального значения.
2. При движении груза к положению равновесия его скорость увеличивается, а значит, растет и кинетическая энергия. Это происходит за счет уменьшения суммарной потенциальной энергии системы.
3. В положении равновесия (где сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести) скорость груза максимальна, следовательно, кинетическая энергия $E_k$ также максимальна. В этот момент суммарная потенциальная энергия системы $U$ минимальна.

Таким образом, как и в горизонтальном случае, происходит превращение энергии, но здесь оно происходит между кинетической энергией и суммой двух видов потенциальной энергии (упругой и гравитационной): $E_k \leftrightarrow (E_{p,упр} + E_{p,тяж})$.

Ответ: При вертикальных колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии груза в суммарную потенциальную энергию (состоящую из потенциальной энергии упруго деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести) и обратно.

Сохраняется ли полная механическая энергия в процессе колебаний?

В условии задачи указано, что колебания являются свободными и незатухающими. Термин "незатухающие" означает, что в системе отсутствуют силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха), которые приводили бы к потере механической энергии (превращению ее во внутреннюю энергию). Силы, совершающие работу в данной системе (сила упругости и сила тяжести), являются консервативными. Для системы, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Таким образом, для идеализированной модели пружинного маятника, совершающего незатухающие колебания, полная механическая энергия остается постоянной величиной на протяжении всего процесса колебаний.

Ответ: Да, сохраняется, так как по условию колебания незатухающие, что подразумевает отсутствие потерь энергии на трение и сопротивление среды. В такой идеальной системе выполняется закон сохранения полной механической энергии.