Страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

35.29 [874] Во сколько раз надо изменить длину математического маятника, чтобы период колебания изменился в 2 раза?

Дано:

Изменение периода колебаний: $\frac{T_2}{T_1} = 2$ или $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$

Найти:

Отношение длин маятника: $\frac{l_2}{l_1}$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле: $$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$ где $T$ – период колебаний, $l$ – длина нити маятника, $g$ – ускорение свободного падения.

Запишем формулу для начального состояния маятника (с периодом $T_1$ и длиной $l_1$) и для конечного состояния (с периодом $T_2$ и длиной $l_2$): $$ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} $$ $$ T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} $$

Чтобы найти, как связана длина с периодом, разделим второе уравнение на первое: $$ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} = \sqrt{\frac{l_2/g}{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} $$

Из этого соотношения видно, что период прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника. Чтобы выразить отношение длин, возведем обе части равенства в квадрат: $$ \frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 $$

Условие "период колебания изменился в 2 раза" может означать как его увеличение, так и уменьшение. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: Период увеличился в 2 раза

В этом случае отношение периодов $\frac{T_2}{T_1} = 2$. Подставим это значение в полученную формулу для отношения длин: $$ \frac{l_2}{l_1} = (2)^2 = 4 $$ Следовательно, чтобы период колебаний увеличился в 2 раза, длину маятника необходимо увеличить в 4 раза.

Случай 2: Период уменьшился в 2 раза

В этом случае отношение периодов $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулу: $$ \frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ Следовательно, чтобы период колебаний уменьшился в 2 раза, длину маятника необходимо уменьшить в 4 раза.

Оба случая показывают, что для изменения периода в 2 раза, длину маятника нужно изменить в 4 раза.

Ответ: длину математического маятника надо изменить в 4 раза.

35.30* [875*] Из двух математических маятников в одном и том же месте Земли один совершает 40 колебаний за некоторое время, а другой за то же время — 20 колебаний. Определите длину каждого из маятников, если один из них длиннее другого на 90 см.

Дано:

$N_1 = 40$
$N_2 = 20$
$\Delta l = 90$ см

$\Delta l = 0.9$ м

Найти:

$l_1$ — ?, $l_2$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Также период можно выразить через число колебаний $N$ за время $t$: $T = \frac{t}{N}$.

Для первого маятника период равен $T_1 = \frac{t}{N_1}$.

Для второго маятника период равен $T_2 = \frac{t}{N_2}$.

Найдем отношение периодов двух маятников:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{t/N_2}{t/N_1} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{40}{20} = 2$

С другой стороны, отношение периодов можно выразить через их длины:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Приравняем два полученных выражения для отношения периодов:

$\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{l_2}{l_1} = 4$, откуда $l_2 = 4l_1$.

Из соотношения периодов ($T_2 = 2T_1$) следует, что период второго маятника больше, а значит, его длина также больше ($l_2 > l_1$). По условию задачи разница в длинах составляет $\Delta l = 90$ см.

Таким образом, $l_2 - l_1 = \Delta l$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$l_2 = 4l_1$
$l_2 - l_1 = \Delta l$

Подставим первое уравнение во второе:

$4l_1 - l_1 = \Delta l$

$3l_1 = \Delta l$

$l_1 = \frac{\Delta l}{3} = \frac{0.9 \text{ м}}{3} = 0.3 \text{ м}$

Теперь найдем длину второго маятника:

$l_2 = 4l_1 = 4 \cdot 0.3 \text{ м} = 1.2 \text{ м}$

Переведем длины в сантиметры для наглядности: $l_1 = 30$ см, $l_2 = 120$ см. Разница длин: $120 \text{ см} - 30 \text{ см} = 90$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: длина одного маятника 0.3 м (или 30 см), а другого — 1.2 м (или 120 см).

35.31* [876*] В покоящейся ракете колеблется математический маятник. При движении ракеты вверх с некоторым ускорением период колебания маятника уменьшился вдвое. Во сколько раз ускорение, с которым движется ракета, больше ускорения свободного падения?

Дано:

$T_1$ - период колебаний в покоящейся ракете.

$T_2$ - период колебаний в ракете, движущейся с ускорением.

$a$ - ускорение ракеты, направленное вертикально вверх.

$g$ - ускорение свободного падения.

$T_2 = \frac{T_1}{2}$

Найти:

Во сколько раз ускорение ракеты $a$ больше ускорения свободного падения $g$, то есть найти отношение $\frac{a}{g}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$

где $l$ — длина маятника, а $g_{эфф}$ — эффективное ускорение, действующее на маятник.

1. Когда ракета покоится, на маятник действует только ускорение свободного падения. Следовательно, эффективное ускорение равно $g_{эфф1} = g$. Период колебаний $T_1$ в этом случае составляет:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

2. Когда ракета движется вверх с ускорением $a$, на маятник в неинерциальной системе отсчета, связанной с ракетой, действует сила тяжести, направленная вниз, и сила инерции, также направленная вниз. В результате вес маятника увеличивается. Эффективное ускорение $g_{эфф2}$ становится равным сумме ускорения свободного падения и ускорения ракеты:

$g_{эфф2} = g + a$

Период колебаний $T_2$ в движущейся ракете будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$

3. Согласно условию задачи, период колебаний при движении ракеты уменьшился вдвое: $T_2 = \frac{T_1}{2}$. Подставим выражения для периодов $T_1$ и $T_2$ в это соотношение:

$2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Сократим общие множители $2\pi\sqrt{l}$ в обеих частях уравнения:

$\sqrt{\frac{1}{g+a}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{g}}$

Чтобы избавиться от знаков корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{1}{g+a} = \frac{1}{4g}$

Из этого равенства следует:

$g+a = 4g$

Теперь выразим ускорение ракеты $a$:

$a = 4g - g$

$a = 3g$

Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем искомое отношение:

$\frac{a}{g} = \frac{3g}{g} = 3$

Ответ: ускорение, с которым движется ракета, в 3 раза больше ускорения свободного падения.

35.32 [877] Груз массой 50 г, прикрепленный к пружине, жёсткость которой равна 0,49 Н/м, совершает колебания. Какой длины надо взять математический маятник, чтобы его частота колебаний была равна частоте колебаний пружинного маятника? Период колебания пружинного маятника вычисляется по формуле $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Дано:

Масса груза, $m = 50$ г

Жёсткость пружины, $k = 0,49$ Н/м

Найти:

Длину математического маятника, $l$.

Решение:

По условию задачи, частота колебаний математического маятника ($ν_{мат}$) должна быть равна частоте колебаний пружинного маятника ($ν_{пружин}$).

Частота $ν$ и период $T$ колебаний связаны соотношением $ν = \frac{1}{T}$. Следовательно, если частоты равны, то равны и периоды:

$T_{мат} = T_{пружин}$

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле, данной в условии:

$T_{пружин} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T_{мат} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — искомая длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения, которое примем равным $g \approx 9,8$ м/с².

Приравнивая выражения для периодов, получаем уравнение:

$2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$\sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{\frac{m}{k}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$\frac{l}{g} = \frac{m}{k}$

Из этого равенства выражаем длину математического маятника $l$:

$l = \frac{m \cdot g}{k}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведём вычисления:

$l = \frac{0,05 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²}}{0,49 \text{ Н/м}} = \frac{0,49 \text{ Н}}{0,49 \text{ Н/м}} = 1 \text{ м}$

Ответ: длина математического маятника должна быть равна 1 м.

35.33 [878] Как изменится период и частота колебаний упругой доски, установленной на вышке для прыжков в воду, если после взрослого человека на доске будет раскачиваться мальчик, готовясь к прыжку?

Дано:

$m_1$ – масса взрослого человека
$m_2$ – масса мальчика
$k$ – жёсткость упругой доски
Известно, что $m_1 > m_2$.

Найти:

Как изменятся период колебаний $T$ и частота колебаний $\nu$.

Решение:

Колебательную систему, состоящую из упругой доски и человека на ней, можно рассматривать как пружинный маятник. Период колебаний $T$ такого маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ – масса колеблющегося тела (в данном случае, человека), а $k$ – жёсткость доски, которая является постоянной величиной для данной доски.

Из формулы следует, что период колебаний $T$ прямо пропорционален квадратному корню из массы ($T \propto \sqrt{m}$). Поскольку масса мальчика ($m_2$) меньше массы взрослого человека ($m_1$), то есть $m_2 < m_1$, то при смене взрослого на мальчика масса колеблющейся системы уменьшается. Следовательно, период колебаний также уменьшится.

Частота колебаний $\nu$ и период $T$ связаны обратной зависимостью:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставив выражение для периода, получим формулу для частоты:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Из этой формулы видно, что частота колебаний $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из массы ($\nu \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$). Так как масса системы уменьшается ($m_2 < m_1$), частота колебаний, соответственно, увеличится.

Ответ: при замене взрослого человека на мальчика период колебаний упругой доски уменьшится, а частота колебаний увеличится.

35.34 [879] Когда груз неподвижно висел на вертикальной пружине, её удлинение было равно 5 см. Затем груз оттянули вниз и отпустили, вследствие чего он начал колебаться. Чему равен период колебания?

Дано:

$\Delta l = 5$ см

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 0.05$ м

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Когда груз неподвижно висит на пружине, он находится в положении равновесия. В этом состоянии сила тяжести, действующая на груз, уравновешена силой упругости, возникающей в пружине.Сила тяжести определяется как $F_т = mg$, где $m$ - масса груза, а $g$ - ускорение свободного падения.Сила упругости пружины по закону Гука равна $F_{упр} = k \Delta l$, где $k$ - жесткость пружины, а $\Delta l$ - ее удлинение в положении равновесия.

Из условия равновесия $F_т = F_{упр}$ следует:

$mg = k \Delta l$

Из этого соотношения мы можем выразить отношение массы груза к жесткости пружины:

$\frac{m}{k} = \frac{\Delta l}{g}$

Период колебаний пружинного маятника (груза на пружине) вычисляется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим в формулу периода выражение для $\frac{m}{k}$, которое мы нашли из условия равновесия:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$

Теперь мы можем вычислить период, подставив известные значения в систему СИ:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.05 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.005102 \, \text{с}^2} \approx 6.28 \cdot 0.0714 \, \text{с} \approx 0.4485 \, \text{с}$

Округляя до сотых, получаем:

Ответ: $T \approx 0.45$ с.

35.35 [880] Шарик с отверстием, прикреплённый к лёгкой пружине жёсткостью 250 Н/м, может совершать незатухающие колебания вдоль стержня (рис. V-5). Чему равно ускорение, испытываемое шариком в положении равновесия и в крайних положениях, если амплитуда колебаний равна 4 см, а масса шарика равна 50 г?

Рис. V-5

Дано:

жёсткость пружины $k = 250$ Н/м

амплитуда колебаний $A = 4$ см

масса шарика $m = 50$ г

Перевод в систему СИ:

$A = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Найти:

ускорение в положении равновесия $a_{равн}$ — ?

ускорение в крайних положениях $a_{крайн}$ — ?

Решение:

Движение шарика на пружине представляет собой гармонические колебания. Сила, действующая на шарик, — это сила упругости пружины, которая описывается законом Гука: $F = -kx$, где $x$ — смещение шарика от положения равновесия.

Согласно второму закону Ньютона, эта же сила сообщает шарику ускорение $a$: $F = ma$.

Объединив эти два уравнения, получаем выражение для ускорения в зависимости от смещения:

$ma = -kx$

$a(x) = -\frac{k}{m}x$

Это уравнение показывает, что ускорение шарика пропорционально его смещению и направлено в сторону, противоположную смещению (то есть всегда к положению равновесия).

Ускорение в положении равновесия

В положении равновесия смещение шарика равно нулю, то есть $x = 0$. Подставив это значение в формулу для ускорения, находим:

$a_{равн} = a(0) = -\frac{k}{m} \cdot 0 = 0$

Ответ: ускорение шарика в положении равновесия равно $0$.

Ускорение в крайних положениях

Крайние положения соответствуют максимальному смещению от положения равновесия, то есть модуль смещения равен амплитуде: $|x| = A$. В этих точках модуль ускорения будет максимальным.

$a_{крайн} = a_{max} = |-\frac{k}{m} (\pm A)| = \frac{k}{m}A$

Подставим числовые значения:

$a_{крайн} = \frac{250 \text{ Н/м}}{0.05 \text{ кг}} \cdot 0.04 \text{ м} = 5000 \frac{\text{Н}}{\text{кг} \cdot \text{м}} \cdot 0.04 \text{ м} = 200 \text{ м/с}^2$

Ускорение в крайних точках направлено к положению равновесия, а его модуль максимален.

Ответ: ускорение шарика в крайних положениях по модулю равно $200 \text{ м/с}^2$.

35.36 [881] Опишите превращения механической энергии, происходящие в процессе свободных незатухающих колебаний пружинного маятника в горизонтальном направлении; в вертикальном направлении. Сохраняется ли полная механическая энергия в процессе колебаний?

Решение

в горизонтальном направлении

При свободных незатухающих колебаниях пружинного маятника в горизонтальном направлении происходит периодическое превращение двух видов механической энергии: кинетической энергии груза и потенциальной энергии упруго деформированной пружины.

Полная механическая энергия системы $E$ в любой момент времени складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$:
$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$
где $m$ — масса груза, $v$ — его скорость, $k$ — жесткость пружины, $x$ — смещение груза от положения равновесия.

Рассмотрим процесс превращения энергии за один период колебаний:

1. В крайних точках траектории, когда смещение максимально ($x = \pm A$, где $A$ — амплитуда), груз на мгновение останавливается ($v=0$). В эти моменты кинетическая энергия равна нулю ($E_k=0$), а потенциальная энергия пружины максимальна ($E_p = \frac{kA^2}{2}$). Вся механическая энергия системы сосредоточена в виде потенциальной энергии.
2. При движении груза из крайнего положения к положению равновесия, смещение $x$ уменьшается, а скорость $v$ растет. Потенциальная энергия пружины уменьшается и превращается в кинетическую энергию груза.
3. В момент прохождения положения равновесия ($x=0$), смещение равно нулю, поэтому и потенциальная энергия пружины равна нулю ($E_p=0$). Скорость груза в этот момент максимальна ($v=v_{max}$), и кинетическая энергия также максимальна ($E_k = \frac{mv_{max}^2}{2}$). Вся механическая энергия системы перешла в кинетическую форму.
4. При дальнейшем движении от положения равновесия к другому крайнему положению, скорость груза уменьшается, а смещение растет. Кинетическая энергия превращается обратно в потенциальную энергию пружины.

Таким образом, в процессе колебаний происходит непрерывное взаимное превращение кинетической и потенциальной энергий: $E_p \leftrightarrow E_k$.

Ответ: При горизонтальных колебаниях происходит периодическое превращение потенциальной энергии упруго деформированной пружины в кинетическую энергию груза и обратно. В крайних точках вся энергия потенциальная, в положении равновесия — вся энергия кинетическая.

в вертикальном направлении

При колебаниях пружинного маятника в вертикальном направлении в превращениях энергии участвует не только кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины, но и потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли.

Полная механическая энергия системы $E$ теперь является суммой трех слагаемых:
$E = E_k + E_{p,упр} + E_{p,тяж} = \frac{mv^2}{2} + \frac{k(\Delta l)^2}{2} + mgh$
где $\Delta l$ — удлинение пружины, а $h$ — высота груза над некоторым условным нулевым уровнем.

Удобно рассматривать суммарную потенциальную энергию системы $U = E_{p,упр} + E_{p,тяж}$. Превращения энергии происходят между кинетической энергией $E_k$ и этой суммарной потенциальной энергией $U$.

Рассмотрим процесс:

1. В крайних точках (верхней и нижней) скорость груза равна нулю ($v=0$), поэтому кинетическая энергия $E_k$ также равна нулю. В эти моменты суммарная потенциальная энергия $U$ системы достигает своего максимального значения.
2. При движении груза к положению равновесия его скорость увеличивается, а значит, растет и кинетическая энергия. Это происходит за счет уменьшения суммарной потенциальной энергии системы.
3. В положении равновесия (где сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести) скорость груза максимальна, следовательно, кинетическая энергия $E_k$ также максимальна. В этот момент суммарная потенциальная энергия системы $U$ минимальна.

Таким образом, как и в горизонтальном случае, происходит превращение энергии, но здесь оно происходит между кинетической энергией и суммой двух видов потенциальной энергии (упругой и гравитационной): $E_k \leftrightarrow (E_{p,упр} + E_{p,тяж})$.

Ответ: При вертикальных колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии груза в суммарную потенциальную энергию (состоящую из потенциальной энергии упруго деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести) и обратно.

Сохраняется ли полная механическая энергия в процессе колебаний?

В условии задачи указано, что колебания являются свободными и незатухающими. Термин "незатухающие" означает, что в системе отсутствуют силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха), которые приводили бы к потере механической энергии (превращению ее во внутреннюю энергию). Силы, совершающие работу в данной системе (сила упругости и сила тяжести), являются консервативными. Для системы, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Таким образом, для идеализированной модели пружинного маятника, совершающего незатухающие колебания, полная механическая энергия остается постоянной величиной на протяжении всего процесса колебаний.

Ответ: Да, сохраняется, так как по условию колебания незатухающие, что подразумевает отсутствие потерь энергии на трение и сопротивление среды. В такой идеальной системе выполняется закон сохранения полной механической энергии.