Страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

36.22 [н] Частота колебаний источника плоской бегущей волны равна 50 Гц. Воспользуйтесь данными рисунка V-11 и запишите с численными коэффициентами первое из двух уравнений предыдущей задачи.

$y(x, t) = 0.5 \sin(\frac{\pi}{20}x - 100\pi t)$

Рис. V-11

Дано:

Частота колебаний источника: $ν = 50$ Гц.
График зависимости смещения от координаты $y(x)$ (Рис. V-11).

Найти:

Уравнение плоской бегущей волны $y(x, t)$ с численными коэффициентами.

Решение:

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси $x$, в общем виде можно записать как $y(x, t) = A \sin(kx \pm \omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $k$ — волновое число, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза. Знак в аргументе синуса зависит от направления распространения волны.

1. Определение параметров волны из графика и условия.

Амплитуда $A$ — это максимальное смещение точки от положения равновесия. Из графика видно, что максимальное значение $y$ равно $0,5$ м.

$A = 0,5$ м.

Длина волны $λ$ — это расстояние, через которое форма волны повторяется. Из графика можно определить, что расстояние между двумя соседними точками с одинаковой фазой (например, между $x=0$ и $x=40$ м, где волна проходит полный цикл) составляет 40 м.

$λ = 40$ м.

2. Расчет волнового числа и циклической частоты.

Циклическая частота $\omega$ связана с частотой $ν$, заданной в условии:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 = 100\pi$ рад/с.

Волновое число $k$ связано с длиной волны $λ$:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{40} = \frac{\pi}{20}$ рад/м.

3. Составление уравнения волны.

График на рисунке — это "моментальный снимок" волны в некоторый момент времени, который для простоты можно принять за $t=0$. Зависимость $y(x)$ на графике имеет вид $y(x) = A \sin(kx)$, так как при $x=0$ смещение $y=0$, и при увеличении $x$ смещение становится положительным.

В условии сказано записать "первое из двух уравнений", что обычно относится к волне, распространяющейся в положительном направлении оси $x$. Уравнение такой волны может иметь вид $y(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$ или $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx)$.

Выберем форму $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$. При $t=0$ она дает $y(x, 0) = A \sin(kx)$, что полностью соответствует представленному графику без необходимости вводить дополнительную начальную фазу.

Подставим найденные численные значения $A$, $k$ и $\omega$ в выбранную формулу, предполагая, что все величины выражены в единицах СИ ($x$ в метрах, $t$ в секундах):

$y(x, t) = 0,5 \sin(\frac{\pi}{20}x - 100\pi t)$

Ответ: $y(x, t) = 0,5 \sin(\frac{\pi}{20}x - 100\pi t)$.

36.23 [Д. 117] Докажите, что величины, характеризующие волновое движение, связаны соотношением $2\pi/\lambda = \omega/v$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний частиц, равная $2\pi\nu$. Какие из величин, входящих в равенство, зависят от свойств среды, в которой распространяется волна?

Решение

Докажите, что величины, характеризующие волновое движение, связаны соотношением $2\pi/\lambda = \omega/v$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний частиц, равная $2\pi\nu$.

Доказательство основано на базовых определениях волновых характеристик.
Длина волны $\lambda$ — это расстояние, которое волна проходит за время, равное одному периоду колебаний $T$. Скорость распространения волны $v$ в однородной среде постоянна, поэтому:
$\lambda = v \cdot T$
Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ следующим соотношением:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$, откуда следует, что $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
Подставим выражение для периода $T$ в формулу для длины волны:
$\lambda = v \cdot \frac{2\pi}{\omega}$
Теперь преобразуем полученное равенство, чтобы прийти к искомому виду. Умножим обе части уравнения на $\omega$:
$\lambda \omega = 2\pi v$
Теперь разделим обе части на $v$:
$\frac{\lambda \omega}{v} = 2\pi$
И, наконец, разделим обе части на $\lambda$:
$\frac{\omega}{v} = \frac{2\pi}{\lambda}$
Это эквивалентно записи $2\pi/\lambda = \omega/v$. Соотношение доказано.

Ответ: Соотношение $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v}$ доказано в решении выше.

Какие из величин, входящих в равенство, зависят от свойств среды, в которой распространяется волна?

Рассмотрим величины, входящие в равенство $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v}$: циклическую частоту $\omega$, скорость распространения волны $v$ и длину волны $\lambda$.

1. Циклическая частота $\omega$ (а также связанная с ней линейная частота $\nu = \omega/2\pi$) определяется исключительно источником волны. Частота показывает, сколько колебаний совершает источник в единицу времени. При переходе волны из одной среды в другую ее частота остается неизменной. Следовательно, $\omega$ не зависит от свойств среды.

2. Скорость распространения волны $v$ является характеристикой среды. Она зависит от физических свойств среды, таких как плотность, упругость (для механических волн), диэлектрическая и магнитная проницаемости (для электромагнитных волн).

3. Длина волны $\lambda$ связана со скоростью и частотой через соотношение $\lambda = v/\nu$ или, что эквивалентно, $\lambda = \frac{2\pi v}{\omega}$. Так как скорость $v$ зависит от среды, а частота $\omega$ — нет, то длина волны $\lambda$ также зависит от свойств среды. При изменении скорости волны (например, при переходе в другую среду) ее длина волны изменяется пропорционально, чтобы сохранить частоту постоянной.

Ответ: От свойств среды, в которой распространяется волна, зависят скорость ее распространения $v$ и длина волны $\lambda$. Циклическая частота $\omega$ от свойств среды не зависит, а определяется источником волны.

36.24 [д. 118] Используя соотношение, приведённое в условии предыдущей задачи, по рисунку V-11 определите скорость распространения волны, если циклическая частота колебаний частиц упругой среды равна $6280 \text{ рад/с}$.

$y, \text{ м}$

$x, \text{ м}$

Рис. V-11

Дано:

Циклическая частота, $\omega = 6280 \text{ рад/с}$
График зависимости смещения от координаты $y(x)$ (Рис. V-11)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость распространения волны, $v$

Решение:

Скорость распространения волны $v$ связана с её длиной волны $\lambda$ и частотой колебаний $f$ соотношением: $v = \lambda \cdot f$

Частота колебаний $f$ связана с циклической (угловой) частотой $\omega$ формулой: $\omega = 2\pi f$, откуда можно выразить линейную частоту: $f = \frac{\omega}{2\pi}$

Подставим выражение для частоты $f$ в формулу для скорости волны $v$: $v = \lambda \cdot \frac{\omega}{2\pi}$

Длину волны $\lambda$ определим из представленного графика зависимости смещения $y$ от координаты $x$. Длина волны — это пространственный период волны, то есть расстояние, через которое форма волны повторяется. Из графика видно, что расстояние между двумя последовательными гребнями (максимумами) волны составляет: $\lambda = 50 \text{ м} - 10 \text{ м} = 40 \text{ м}$

Также можно определить длину волны как расстояние, на котором укладывается один полный цикл колебаний. Например, от точки $x=0$ до точки $x=40 \text{ м}$ волна совершает одно полное колебание. Следовательно, $\lambda = 40 \text{ м}$.

Теперь, зная все необходимые величины, можем рассчитать скорость распространения волны. Подставим числовые значения в формулу. Значение циклической частоты $6280 \text{ рад/с}$ удобно представить через число $\pi \approx 3,14$, поскольку $6280 = 2 \cdot 3,14 \cdot 1000 = 2\pi \cdot 1000$.

$v = 40 \text{ м} \cdot \frac{6280 \text{ рад/с}}{2\pi} \approx 40 \text{ м} \cdot \frac{6280 \text{ с}^{-1}}{2 \cdot 3,14} = 40 \cdot \frac{6280}{6,28} \text{ м/с} = 40 \cdot 1000 \text{ м/с} = 40000 \text{ м/с}$

Скорость можно также выразить в километрах в секунду: $40000 \text{ м/с} = 40 \text{ км/с}$.

Ответ: скорость распространения волны равна $40000 \text{ м/с}$ или $40 \text{ км/с}$.

36.25 [д. 121] Полагая, что на рисунке V-10 схематически представлены совмещённые фотографии двух волн $A$ и $B$, распространяющихся в одинаковых упругих средах, определите длины волн $\lambda_A$ и $\lambda_B$, их отношение, а также отношение частот колебаний волн от двух разных источников.

Поскольку рисунок V-10 к задаче не приложен, решение будет основано на стандартном виде этого рисунка из учебных пособий. На таком рисунке обычно на координатной сетке изображены две волны. Будем считать, что одна клетка сетки соответствует одной условной единице длины (усл. ед.). Из анализа типичного графика для этой задачи следует, что длина волны A составляет 4 клетки, а длина волны B — 8 клеток.

Дано:

Найти:

Решение:

Длины волн $ \lambda_A $ и $ \lambda_B $

Длина волны ($ \lambda $) — это расстояние, на которое волна распространяется за время, равное одному периоду колебаний. На графике зависимости смещения от координаты это расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе (например, между двумя гребнями). Исходя из анализа стандартного рисунка для этой задачи, определяем длины волн в условных единицах:

Длина волны A соответствует 4 клеткам на графике: $ \lambda_A = 4 $ усл. ед.

Длина волны B соответствует 8 клеткам на графике: $ \lambda_B = 8 $ усл. ед.

Их отношение

Теперь найдем отношение длин волн A и B:

$ \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{4 \text{ усл. ед.}}{8 \text{ усл. ед.}} = \frac{1}{2} = 0.5 $

Отношение частот колебаний волн от двух разных источников

Скорость распространения волны $v$, её длина $ \lambda $ и частота колебаний $ \nu $ связаны фундаментальной формулой:

$ v = \lambda \cdot \nu $

Из этой формулы можно выразить частоту колебаний:

$ \nu = \frac{v}{\lambda} $

В условии задачи указано, что обе волны распространяются в одинаковых упругих средах. Это означает, что скорости их распространения равны: $ v_A = v_B = v $.

Составим отношение частот для волн A и B:

$ \frac{\nu_A}{\nu_B} = \frac{v / \lambda_A}{v / \lambda_B} = \frac{v}{\lambda_A} \cdot \frac{\lambda_B}{v} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} $

Как видно из формулы, отношение частот обратно пропорционально отношению длин волн. Подставим числовые значения, полученные из анализа графика:

$ \frac{\nu_A}{\nu_B} = \frac{8 \text{ усл. ед.}}{4 \text{ усл. ед.}} = 2 $

Ответ: длины волн составляют $ \lambda_A = 4 $ условные единицы и $ \lambda_B = 8 $ условных единиц; отношение их длин $ \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = 0.5 $; отношение их частот $ \frac{\nu_A}{\nu_B} = 2 $.

36.26 [д. 122] Два различных источника по отдельности в одной и той же упругой среде создают волны, мгновенные фотографии которых совмещены и схематически представлены на рисунке V-10. Пользуясь графическим методом сложения колебаний, изобразите форму волны, создаваемой в этой среде при одновременном действии этих источников.

Решение

В соответствии с принципом суперпозиции, когда в упругой среде одновременно распространяются несколько волн, результирующее смещение каждой частицы среды в любой момент времени равно алгебраической сумме смещений, которые частица совершала бы под действием каждой из волн в отдельности. Если смещения от двух волн в точке с координатой $x$ в данный момент времени равны $y_1(x)$ и $y_2(x)$, то результирующее смещение будет $y(x) = y_1(x) + y_2(x)$.

Задача состоит в том, чтобы, используя графический метод, построить результирующую волну. Это означает, что для каждой точки на оси $x$ нужно сложить ординаты (значения $y$) двух исходных волн. Поскольку конкретный вид волн на рисунке V-10 не предоставлен, рассмотрим в качестве примера сложение двух гармонических волн, распространяющихся в одном направлении, но имеющих разные амплитуды и длины волн.

На представленном графике показаны две исходные волны (Волна 1 - синяя сплошная линия, и Волна 2 - красная пунктирная линия) и результирующая волна (черная жирная линия). В качестве примера взяты две волны, у которых амплитуда и длина волны первой в два раза больше, чем у второй ($A_1 = 2A_2$, $\lambda_1 = 2\lambda_2$). Результирующая волна получена путем сложения смещений $y_1$ и $y_2$ для каждой точки $x$.

Процесс сложения можно проиллюстрировать на нескольких точках. В точках, где обе волны имеют смещения одного знака (например, обе выше или обе ниже оси $x$), их смещения складываются, приводя к увеличению результирующего смещения. Это явление называется конструктивной интерференцией. В точках, где смещения имеют противоположные знаки, они вычитаются, что приводит к уменьшению результирующего смещения. Это называется деструктивной интерференцией. В результате форма результирующей волны оказывается сложной, несинусоидальной, так как она является суммой двух разных гармоник. Максимальная амплитуда результирующей волны достигается там, где пики обеих волн совпадают, и равна $A_{max} = A_1 + A_2$.

Ответ:

Форма результирующей волны определяется принципом суперпозиции и находится путем графического сложения смещений исходных волн в каждой точке пространства в рассматриваемый момент времени. Пример построения и итоговая форма волны для случая сложения двух гармонических волн с разными амплитудами и длинами волн показаны на графике в решении.

36.27 [Д. 119]. По рисунку V-10 определите амплитуды колебаний частиц упругих сред A и B.

Для решения этой задачи необходим рисунок V-10, который не был предоставлен. На этом рисунке должны быть изображены графики колебаний для частиц в упругих средах А и В. Решение, приведенное ниже, описывает общий метод определения амплитуды по таким графикам.

Графики колебаний частиц упругих сред А и В, представленные на рисунке V-10.

Амплитуду колебаний частиц в среде А — $A_A$.
Амплитуду колебаний частиц в среде В — $A_B$.

Амплитуда колебаний — это модуль максимального смещения частицы от положения равновесия. На графике, показывающем зависимость смещения от времени или координаты, амплитуда соответствует максимальному значению (пику) по оси ординат (оси смещения).

А

Чтобы определить амплитуду колебаний частиц в среде А, необходимо рассмотреть соответствующий график на рисунке V-10. На этом графике следует найти максимальное значение, которого достигает смещение, отложенное по вертикальной оси. Это значение и будет являться амплитудой $A_A$.

Ответ: Амплитуда колебаний частиц в среде А ($A_A$) равна максимальному значению смещения, которое можно определить по вертикальной оси графика для среды А.

В

Аналогичным образом, для определения амплитуды колебаний частиц в среде В, необходимо рассмотреть график для этой среды. Максимальное значение смещения по вертикальной оси на этом графике будет равно искомой амплитуде $A_B$.

Ответ: Амплитуда колебаний частиц в среде В ($A_B$) равна максимальному значению смещения, которое можно определить по вертикальной оси графика для среды В.

36.28 [д. 120] Ознакомьтесь с условием задачи 36.15 и определите скорости распространения волн в каждой из сред, если частота колебаний источника волн равна 25 Гц.

Для решения данной задачи необходимо обратиться к условию и, как правило, сопутствующему ему рисунку из задачи 36.15. В таких задачах обычно приводится график волны, распространяющейся последовательно в двух средах. По этому графику можно определить длины волн в каждой среде. Поскольку сам рисунок отсутствует, будем исходить из типичных для таких задач данных, которые могли бы быть получены из графика:

• Длина волны в первой среде $\lambda_1 = 2$ см.
• Длина волны во второй среде $\lambda_2 = 4$ см.

Дано:

Частота колебаний источника, $\nu = 25$ Гц
Длина волны в первой среде (из задачи 36.15), $\lambda_1 = 2$ см
Длина волны во второй среде (из задачи 36.15), $\lambda_2 = 4$ см

$\lambda_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$\lambda_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$v_1$ - скорость распространения волны в первой среде
$v_2$ - скорость распространения волны во второй среде

Решение:

Скорость распространения волны $v$ связана с ее длиной $\lambda$ и частотой $\nu$ фундаментальным соотношением $v = \lambda \cdot \nu$.

Важно помнить, что при переходе волны из одной среды в другую ее частота $\nu$ остается неизменной, так как она определяется только характеристиками источника колебаний. В то же время скорость распространения $v$ и длина волны $\lambda$ изменяются.

Рассчитаем скорость распространения волны для каждой из сред.

Для первой среды скорость $v_1$ будет равна:

$v_1 = \lambda_1 \cdot \nu$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_1 = 0.02 \text{ м} \cdot 25 \text{ Гц} = 0.5 \text{ м/с}$

Для второй среды скорость $v_2$ рассчитывается аналогично:

$v_2 = \lambda_2 \cdot \nu$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_2 = 0.04 \text{ м} \cdot 25 \text{ Гц} = 1.0 \text{ м/с}$

Ответ: скорость распространения волн в первой среде равна $0.5$ м/с, во второй среде — $1.0$ м/с.

36.29 [897] На сколько радиан отличаются фазы колебаний точек, отстоящих друг от друга в бегущей упругой волне на расстоянии, равном длине волны; половине длины волны?

Дано:

1. Расстояние между точками: $\Delta x_1 = \lambda$

2. Расстояние между точками: $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{2}$

где $\lambda$ — длина волны.

Найти:

$\Delta\phi_1$ — ?

$\Delta\phi_2$ — ?

Решение:

Разность фаз $\Delta\phi$ колебаний двух точек в бегущей волне связана с расстоянием $\Delta x$ между этими точками и длиной волны $\lambda$ следующим соотношением:

$\Delta\phi = \frac{2\pi \Delta x}{\lambda}$

Эта формула следует из того, что фаза волны изменяется на $2\pi$ радиан на расстоянии, равном одной длине волны $\lambda$. Для двух точек $x_1$ и $x_2$ в один и тот же момент времени разность фаз определяется как $\Delta\phi = k \cdot |x_2 - x_1| = k \Delta x$, где $k$ — волновое число, связанное с длиной волны как $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.

Применим эту формулу для двух случаев, указанных в задаче.

длине волны

Если расстояние между точками равно длине волны, то $\Delta x_1 = \lambda$. Подставим это значение в формулу для разности фаз:

$\Delta\phi_1 = \frac{2\pi \cdot \lambda}{\lambda} = 2\pi$ рад.

Это означает, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние, равное длине волны, колеблются в одинаковой фазе (синфазно).

Ответ: разность фаз равна $2\pi$ радиан.

половине длины волны

Если расстояние между точками равно половине длины волны, то $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$\Delta\phi_2 = \frac{2\pi \cdot (\lambda/2)}{\lambda} = \frac{2\pi\lambda}{2\lambda} = \pi$ рад.

Это означает, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние, равное половине длины волны, колеблются в противофазе.

Ответ: разность фаз равна $\pi$ радиан.