Номер 36.22, страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 36. Волны. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 36.22, страница 137.

36.22 [н] Частота колебаний источника плоской бегущей волны равна 50 Гц. Воспользуйтесь данными рисунка V-11 и запишите с численными коэффициентами первое из двух уравнений предыдущей задачи.

$y(x, t) = 0.5 \sin(\frac{\pi}{20}x - 100\pi t)$

Рис. V-11

Дано:

Частота колебаний источника: $ν = 50$ Гц.
График зависимости смещения от координаты $y(x)$ (Рис. V-11).

Найти:

Уравнение плоской бегущей волны $y(x, t)$ с численными коэффициентами.

Решение:

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси $x$, в общем виде можно записать как $y(x, t) = A \sin(kx \pm \omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $k$ — волновое число, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза. Знак в аргументе синуса зависит от направления распространения волны.

1. Определение параметров волны из графика и условия.

Амплитуда $A$ — это максимальное смещение точки от положения равновесия. Из графика видно, что максимальное значение $y$ равно $0,5$ м.

$A = 0,5$ м.

Длина волны $λ$ — это расстояние, через которое форма волны повторяется. Из графика можно определить, что расстояние между двумя соседними точками с одинаковой фазой (например, между $x=0$ и $x=40$ м, где волна проходит полный цикл) составляет 40 м.

$λ = 40$ м.

2. Расчет волнового числа и циклической частоты.

Циклическая частота $\omega$ связана с частотой $ν$, заданной в условии:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 = 100\pi$ рад/с.

Волновое число $k$ связано с длиной волны $λ$:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{40} = \frac{\pi}{20}$ рад/м.

3. Составление уравнения волны.

График на рисунке — это "моментальный снимок" волны в некоторый момент времени, который для простоты можно принять за $t=0$. Зависимость $y(x)$ на графике имеет вид $y(x) = A \sin(kx)$, так как при $x=0$ смещение $y=0$, и при увеличении $x$ смещение становится положительным.

В условии сказано записать "первое из двух уравнений", что обычно относится к волне, распространяющейся в положительном направлении оси $x$. Уравнение такой волны может иметь вид $y(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$ или $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx)$.

Выберем форму $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$. При $t=0$ она дает $y(x, 0) = A \sin(kx)$, что полностью соответствует представленному графику без необходимости вводить дополнительную начальную фазу.

Подставим найденные численные значения $A$, $k$ и $\omega$ в выбранную формулу, предполагая, что все величины выражены в единицах СИ ($x$ в метрах, $t$ в секундах):

$y(x, t) = 0,5 \sin(\frac{\pi}{20}x - 100\pi t)$

Ответ: $y(x, t) = 0,5 \sin(\frac{\pi}{20}x - 100\pi t)$.