Номер 36.21, страница 136 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 36. Волны. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 36.21, страница 136.

36.21 [д. 116] Уравнение вида $y = Acos(2\pi vt - (2\pi/\lambda)x + \varphi_0)$ для плоской незатухающей волны позволяет определить смещение частицы среды от положения равновесия в любой момент времени $t$ в точке пространства с координатой $x$. Докажите, что это уравнение можно записать в виде $y = Asin(2\pi/\lambda)x$ для волны, представленной на рисунке V-11. Убедитесь в этом, подставив значения координаты $x$, равные $\lambda/4$; $\lambda/2$; $0,75\lambda$.

Рис. V-11

Дано:

Общее уравнение плоской незатухающей волны: $y = A\cos(2\pi\nu t - (2\pi/\lambda)x + \phi_0)$
График зависимости смещения y от координаты x в некоторый момент времени t (Рис. V-11).
Из графика определяем параметры волны:
Амплитуда $A = 0,5$ м.
Длина волны $\lambda = 20$ м (расстояние, через которое форма волны повторяется, например, от $x=0$ до $x=20$).

Найти:

1. Доказать, что уравнение для волны, представленной на рисунке, можно записать в виде $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$.
2. Убедиться в справедливости этого уравнения, подставив значения $x = \lambda/4$, $x = \lambda/2$ и $x = 0,75\lambda$.

Решение:

Докажите, что это уравнение можно записать в виде $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$ для волны, представленной на рисунке V-11.

Исходное общее уравнение волны: $y = A\cos(2\pi\nu t - \frac{2\pi}{\lambda}x + \phi_0)$.
График на рисунке V-11 представляет собой "моментальный снимок" волны, то есть зависимость $y$ от $x$ при некотором фиксированном значении времени $t$. В этом случае член $2\pi\nu t$ является константой. Объединим все фазовые сдвиги, не зависящие от $x$, в одну общую начальную фазу $\phi'$ для данного момента времени: $\phi' = 2\pi\nu t + \phi_0$.

Тогда уравнение для "снимка" волны принимает вид: $y(x) = A\cos(-\frac{2\pi}{\lambda}x + \phi')$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, перепишем уравнение: $y(x) = A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x - \phi')$

Теперь определим значение фазы $\phi'$ из графика. Воспользуемся граничными условиями в точке $x=0$. Из графика видно, что при $x=0$ смещение $y=0$. Подставим эти значения в уравнение: $0 = A\cos(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot 0 - \phi') = A\cos(-\phi') = A\cos(\phi')$

Так как амплитуда $A=0,5 \neq 0$, то должно выполняться условие $\cos(\phi') = 0$. Это возможно, если $\phi' = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – любое целое число. Например, $\phi' = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \dots$

Чтобы выбрать правильное значение фазы, проанализируем поведение функции вблизи точки $x=0$. Из графика видно, что при малых положительных $x$ смещение $y$ становится положительным, то есть функция возрастает. Это означает, что производная $\frac{dy}{dx}$ в точке $x=0$ должна быть положительной.

Найдем производную: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x - \phi') \right) = -A\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x - \phi') \cdot \frac{2\pi}{\lambda}$

При $x=0$: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = -A \frac{2\pi}{\lambda} \sin(-\phi') = A \frac{2\pi}{\lambda} \sin(\phi')$

Поскольку $A > 0$ и $\lambda > 0$, для того чтобы производная была положительной, необходимо, чтобы $\sin(\phi') > 0$. Проверим наши возможные значения для $\phi'$:

• Если $\phi' = \frac{\pi}{2}$, то $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0$. Этот вариант подходит.
• Если $\phi' = -\frac{\pi}{2}$, то $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 < 0$. Этот вариант не подходит.

Таким образом, начальная фаза для данного снимка волны равна $\phi' = \frac{\pi}{2}$. Подставим это значение в уравнение для $y(x)$: $y(x) = A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{\pi}{2})$

Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$, получаем: $y(x) = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Уравнение волны на графике действительно имеет вид $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$, где $A=0,5$ м и $\lambda=20$ м.

Убедитесь в этом, подставив значения координаты x, равные λ/4; λ/2; 0,75λ.

Используем полученное уравнение $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x)$ с параметрами $A = 0,5$ м и $\lambda = 20$ м.

1. При $x = \lambda/4$

   Теоретический расчет: $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4}) = A\sin(\frac{\pi}{2}) = A \cdot 1 = A = 0,5$ м.

   Проверка по графику: при $x = \lambda/4 = 20/4 = 5$ м, смещение $y$ достигает максимального значения, равного $0,5$ м. Совпадает.

2. При $x = \lambda/2$

   Теоретический расчет: $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2}) = A\sin(\pi) = A \cdot 0 = 0$ м.

   Проверка по графику: при $x = \lambda/2 = 20/2 = 10$ м, смещение $y$ равно нулю. Совпадает.

3. При $x = 0,75\lambda$ (то же самое, что $x = 3\lambda/4$)

   Теоретический расчет: $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{3\lambda}{4}) = A\sin(\frac{3\pi}{2}) = A \cdot (-1) = -A = -0,5$ м.

   Проверка по графику: при $x = 0,75\lambda = 0,75 \cdot 20 = 15$ м, смещение $y$ достигает минимального значения, равного $-0,5$ м. Совпадает.

Ответ: Подстановка контрольных значений $x = \lambda/4$, $x = \lambda/2$ и $x = 0,75\lambda$ в уравнение $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$ дает результаты $y=A$, $y=0$ и $y=-A$ соответственно, что полностью соответствует значениям смещения в точках $x=5$ м, $x=10$ м и $x=15$ м на представленном графике.