Страница 136 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

36.15° [896°] В средах A и B распространяются гармонические волны, порождённые одним и тем же источником. Мгновенные фотографии этих волн совмещены и представлены схематически на рисунке V-10. Сравните скорости распространения волн в этих средах.

Рис. V-10

Дано:

График зависимостей смещения y от координаты x для двух гармонических волн А и В в один и тот же момент времени.
Волны порождены одним и тем же источником, следовательно, их частоты (и периоды) равны: $ν_A = ν_B = ν$.

Из графика определяем длины волн:
Длина волны A (черная линия): $\lambda_A = 20$ м.
Длина волны B (серая линия): $\lambda_B = 8$ м.

Найти:

Сравнить скорости распространения волн $v_A$ и $v_B$.

Решение:

Скорость распространения гармонической волны связана с её длиной и частотой по формуле: $v = \lambda \cdot \nu$

Запишем эту формулу для каждой из волн:

Для волны A: $v_A = \lambda_A \cdot \nu_A$

Для волны B: $v_B = \lambda_B \cdot \nu_B$

Поскольку волны порождены одним и тем же источником, их частоты равны ($ν_A = ν_B = ν$). Чтобы сравнить скорости, найдем их отношение:

$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\lambda_A \cdot \nu}{\lambda_B \cdot \nu} = \frac{\lambda_A}{\lambda_B}$

Теперь подставим значения длин волн, определенные по графику. На графике представлена "мгновенная фотография" волн, то есть зависимость смещения y от координаты x. Длина волны $\lambda$ – это расстояние, через которое форма волны повторяется.

Для волны А (черная линия), один полный период колебания вдоль оси x завершается при $x = 20$ м. Следовательно, её длина волны $\lambda_A = 20$ м.

Для волны В (серая линия), один полный период колебания вдоль оси x завершается при $x = 8$ м. Следовательно, её длина волны $\lambda_B = 8$ м.

Найдем отношение скоростей:

$\frac{v_A}{v_B} = \frac{20 \text{ м}}{8 \text{ м}} = 2.5$

Таким образом, $v_A = 2.5 \cdot v_B$. Скорость распространения волны в среде А в 2,5 раза больше, чем скорость распространения волны в среде В.

Ответ: скорость распространения волны в среде А в 2,5 раза больше скорости распространения волны в среде В ($v_A = 2.5 v_B$).

36.16$^\circ$ [894$^\circ$] На рисунке V-11 схематически представлена фотография волнообразного движения. Продольной или поперечной является волна, изображённая на фотографии? Определите длину волны и амплитуду колебаний.

y, м

0,5

0

-0,5

0 20 40 60 80

x, м

Рис. V-11

Продольной или поперечной является волна, изображённая на фотографии?

На графике показана зависимость смещения частиц среды y от координаты x в определённый момент времени. Колебания частиц происходят вдоль оси y, а волна распространяется вдоль оси x. Поскольку колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения волны, такая волна является поперечной.

Ответ: Волна, изображённая на фотографии, является поперечной.

Определите длину волны и амплитуду колебаний.

Дано:
График зависимости смещения y от координаты x. Единицы измерения (метры) соответствуют системе СИ.

Найти:
Амплитуду колебаний $A$, длину волны $\lambda$.

Решение:
1. Амплитуда колебаний ($A$) — это максимальное смещение точки от положения равновесия. Из графика видно, что максимальное смещение по оси y составляет 4 деления. Цена одного деления по оси y равна $0,5 \text{ м} / 5 = 0,1 \text{ м}$.
Следовательно, амплитуда равна:
$A = 4 \times 0,1 \text{ м} = 0,4 \text{ м}$.

2. Длина волны ($\lambda$) — это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное одному периоду колебаний. На графике это расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе (например, между двумя соседними гребнями или впадинами).
Возьмём точки, где волна пересекает ось x, двигаясь вверх: $x_1 = 0 \text{ м}$, $x_2 = 20 \text{ м}$, $x_3 = 40 \text{ м}$ и так далее. Расстояние между ними и есть длина волны.
$\lambda = x_2 - x_1 = 20 \text{ м} - 0 \text{ м} = 20 \text{ м}$.
Также можно определить длину волны по координатам гребней. Первый гребень находится при $x_{\text{гребень1}} = 10 \text{ м}$, второй — при $x_{\text{гребень2}} = 30 \text{ м}$.
$\lambda = x_{\text{гребень2}} - x_{\text{гребень1}} = 30 \text{ м} - 10 \text{ м} = 20 \text{ м}$.

Ответ: Длина волны $\lambda = 20 \text{ м}$, амплитуда колебаний $A = 0,4 \text{ м}$.

36.17 [895] На рисунке V-11 по оси ординат отложены значения смещения частиц среды от положения равновесия в некоторый момент времени. Можно ли в этом случае однозначно утверждать, что волна является поперечной? Возможно ли по рисунку определить: длину волны; частоту колебаний?

$y$, м

$x$, м

Рис. V-11

Можно ли в этом случае однозначно утверждать, что волна является поперечной?

Нет, на основании представленного графика нельзя однозначно утверждать, что волна является поперечной. На графике показана зависимость смещения частиц среды $y$ от их положения равновесия $x$. Если волна распространяется вдоль оси $x$, то для поперечной волны колебания происходят перпендикулярно оси $x$ (например, вдоль оси $y$). Для продольной волны колебания происходят вдоль оси $x$. Однако, и в случае продольной волны можно построить график, отложив по вертикальной оси величину смещения частицы от её положения равновесия. Таким образом, данный график может описывать как поперечную, так и продольную волну.

Ответ: нет, нельзя.

Возможно ли по рисунку определить длину волны?

Да, по рисунку можно определить длину волны.

Дано:

График зависимости смещения частиц от положения $y(x)$ в некоторый момент времени.

Найти:

Длина волны $λ$.

Решение:

Длина волны $λ$ — это расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе. На графике это расстояние соответствует пространственному периоду. Можно определить длину волны как расстояние между двумя соседними гребнями. Из графика находим координаты первого и второго гребней: $x_1 = 10 \text{ м}$ и $x_2 = 50 \text{ м}$.

Тогда длина волны вычисляется как разность их координат:

$λ = x_2 - x_1 = 50 \text{ м} - 10 \text{ м} = 40 \text{ м}$

Также можно заметить, что волна совершает полный цикл на отрезке от $x = 0$ до $x = 40 \text{ м}$, что также соответствует длине волны.

Ответ: да, возможно; длина волны $λ = 40 \text{ м}$.

Возможно ли по рисунку определить частоту колебаний?

Нет, по данному графику определить частоту колебаний невозможно. График представляет собой «моментальный снимок» волны, то есть зависимость смещения $y$ от координаты $x$ в фиксированный момент времени. Частота колебаний $ν$ — это величина, характеризующая, как быстро частицы среды совершают колебания, то есть она связана с изменением смещения во времени. Чтобы найти частоту, нужен либо график зависимости смещения от времени $y(t)$ для какой-либо точки, либо скорость распространения волны $v$ (тогда $ν = v/λ$). Поскольку этих данных нет, определить частоту нельзя.

Ответ: нет, невозможно.

36.18 [д. 113] По рисунку V-11 определите, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 60 см; 90 см.

$y$, м

$x$, м

Рис. V-11

Дано:

$L_1 = 60 \text{ см}$
$L_2 = 90 \text{ см}$

$L_1 = 0,6 \text{ м}$
$L_2 = 0,9 \text{ м}$

Найти:

$N_1, N_2$ - ?

Решение:

Вначале по графику (Рис. V-11) определим длину волны $λ$. Длина волны — это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное одному периоду колебаний. На графике это расстояние между двумя ближайшими точками, находящимися в одинаковой фазе, например, между двумя соседними гребнями или впадинами.

Из графика видно, что волна совершает одно полное колебание на отрезке от $x=0 \text{ м}$ до $x=20 \text{ м}$. Также расстояние между двумя соседними гребнями (например, при $x=10 \text{ м}$ и $x=30 \text{ м}$) равно $30 - 10 = 20 \text{ м}$.

Следовательно, длина волны равна:

$λ = 20 \text{ м}$

Число длин волн $N$, которое укладывается на отрезке длиной $L$, находится как отношение длины отрезка к длине волны:

$N = \frac{L}{λ}$

Теперь рассчитаем это значение для каждого из заданных отрезков.

60 см

Для отрезка длиной $L_1 = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$ получаем:

$N_1 = \frac{L_1}{λ} = \frac{0,6 \text{ м}}{20 \text{ м}} = 0,03$

Ответ: на отрезке длиной 60 см укладывается 0,03 длины волны.

90 см

Для отрезка длиной $L_2 = 90 \text{ см} = 0,9 \text{ м}$ получаем:

$N_2 = \frac{L_2}{λ} = \frac{0,9 \text{ м}}{20 \text{ м}} = 0,045$

Ответ: на отрезке длиной 90 см укладывается 0,045 длины волны.

36.19 [д. 114] В скольких точках (см. рис. V-11) смещение частиц среды от положения равновесия достигает амплитудных значений? Определите координаты $x$ этих точек.

$y$, м

0,5

0

-0,5

$x$, м

20

40

60

80

Рис. V-11

Дано:

На рисунке V-11 представлен график зависимости смещения y частиц среды от координаты x в некоторый момент времени. Оси координат проградуированы в метрах (м). Все данные находятся в системе СИ.

Найти:

Количество точек $N$, в которых смещение достигает амплитудных значений; координаты x этих точек.

Решение:

Амплитудное значение смещения — это максимальное по модулю отклонение частиц среды от положения равновесия. На представленном графике это соответствует точкам с максимальным (положительным) и минимальным (отрицательным) значением ординаты y. Такие точки называются гребнями и впадинами волны.

Из графика определяем, что амплитуда колебаний составляет $A = 0,5$ м. Следовательно, нам необходимо найти точки, в которых смещение $y = +0,5$ м (гребни) или $y = -0,5$ м (впадины).

Проанализируем шкалу оси абсцисс (x). Расстояние между числовыми отметками 0 и 20 м разделено на 4 больших клеточки (деления). Значит, цена одного большого деления составляет $20 \text{ м} / 4 = 5 \text{ м}$.

Теперь определим координаты x для каждой точки с амплитудным смещением, последовательно двигаясь вдоль оси x от начала координат:

1. Первый гребень (максимум, $y = +0,5$ м) находится на расстоянии двух делений от начала координат. Его координата: $x_1 = 2 \cdot 5 \text{ м} = 10 \text{ м}$.

2. Первая впадина (минимум, $y = -0,5$ м) находится на расстоянии шести делений от начала координат. Её координата: $x_2 = 6 \cdot 5 \text{ м} = 30 \text{ м}$.

3. Второй гребень ($y = +0,5$ м) находится на расстоянии десяти делений от начала координат. Его координата: $x_3 = 10 \cdot 5 \text{ м} = 50 \text{ м}$.

4. Вторая впадина ($y = -0,5$ м) находится на расстоянии четырнадцати делений от начала координат. Её координата: $x_4 = 14 \cdot 5 \text{ м} = 70 \text{ м}$.

5. Третий гребень ($y = +0,5$ м) находится на расстоянии восемнадцати делений от начала координат. Его координата: $x_5 = 18 \cdot 5 \text{ м} = 90 \text{ м}$.

На показанном участке графика больше точек с амплитудным смещением нет. Таким образом, общее количество таких точек равно 5.

Для проверки можно определить длину волны $\lambda$. Это расстояние между двумя соседними гребнями: $\lambda = x_3 - x_1 = 50 \text{ м} - 10 \text{ м} = 40 \text{ м}$. Расстояние между соседними гребнем и впадиной равно половине длины волны: $\lambda/2 = 40/2 = 20 \text{ м}$. Действительно, координаты точек с амплитудными смещениями образуют последовательность: 10, 10+20=30, 30+20=50, 50+20=70, 70+20=90.

Ответ: Смещение частиц достигает амплитудных значений в 5 точках. Координаты этих точек: 10 м, 30 м, 50 м, 70 м, 90 м.

36.20 [д. 115] По рисунку V-11 определите разность фаз колебаний частиц упругой среды, в которой распространяется волна, в точках с координатами: 1) $x_1 = 30$ см и $x_2 = 54$ см; 2) $x_3 = 0$ и $x_4 = 90$ см.

y, м

x, м

Рис. V-11

Дано:

Найти:

1) $\Delta\phi_1$ - разность фаз в точках $x_1$ и $x_2$.

2) $\Delta\phi_2$ - разность фаз в точках $x_3$ и $x_4$.

Решение:

На рисунке V-11 представлен график зависимости смещения частиц среды $y$ от координаты $x$ в некоторый момент времени (моментальный снимок волны). По этому графику можно определить длину волны $\lambda$.

Длина волны — это расстояние между двумя ближайшими точками, которые колеблются в одинаковой фазе. Из графика видно, что один полный цикл волны (например, от гребня до гребня или от одного пересечения оси $x$ с положительным наклоном до следующего) занимает расстояние по оси $x$, равное 40 единицам. Например, от $x=0$ до $x=40$. Таким образом, длина волны $\lambda = 40$.

В условии задачи координаты точек даны в сантиметрах (см), в то время как на оси абсцисс графика указана размерность в метрах ("М"). Это, вероятнее всего, опечатка в обозначении на графике. Для согласования данных будем считать, что единицы измерения на оси $x$ — сантиметры. Следовательно, $\lambda = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$.

Разность фаз $\Delta\phi$ колебаний двух точек, находящихся на расстоянии $\Delta x$ друг от друга вдоль направления распространения волны, определяется по формуле:

$\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$

1) $x_1 = 30 \text{ см}$ и $x_2 = 54 \text{ см}$

Найдем расстояние между точками:

$\Delta x_1 = x_2 - x_1 = 54 \text{ см} - 30 \text{ см} = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

Теперь вычислим разность фаз для этих точек:

$\Delta\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_1 = \frac{2\pi}{0.4 \text{ м}} \cdot 0.24 \text{ м} = \frac{2\pi \cdot 0.24}{0.4} = \frac{0.48\pi}{0.4} = 1.2\pi \text{ рад}$

Ответ: разность фаз колебаний равна $1.2\pi$ рад.

2) $x_3 = 0$ и $x_4 = 90 \text{ см}$

Найдем расстояние между точками:

$\Delta x_2 = x_4 - x_3 = 90 \text{ см} - 0 \text{ см} = 90 \text{ см} = 0.9 \text{ м}$

Вычислим разность фаз для этих точек:

$\Delta\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_2 = \frac{2\pi}{0.4 \text{ м}} \cdot 0.9 \text{ м} = \frac{2\pi \cdot 0.9}{0.4} = \frac{1.8\pi}{0.4} = 4.5\pi \text{ рад}$

Ответ: разность фаз колебаний равна $4.5\pi$ рад.

36.21 [д. 116] Уравнение вида $y = Acos(2\pi vt - (2\pi/\lambda)x + \varphi_0)$ для плоской незатухающей волны позволяет определить смещение частицы среды от положения равновесия в любой момент времени $t$ в точке пространства с координатой $x$. Докажите, что это уравнение можно записать в виде $y = Asin(2\pi/\lambda)x$ для волны, представленной на рисунке V-11. Убедитесь в этом, подставив значения координаты $x$, равные $\lambda/4$; $\lambda/2$; $0,75\lambda$.

Рис. V-11

Дано:

Общее уравнение плоской незатухающей волны: $y = A\cos(2\pi\nu t - (2\pi/\lambda)x + \phi_0)$
График зависимости смещения y от координаты x в некоторый момент времени t (Рис. V-11).
Из графика определяем параметры волны:
Амплитуда $A = 0,5$ м.
Длина волны $\lambda = 20$ м (расстояние, через которое форма волны повторяется, например, от $x=0$ до $x=20$).

Найти:

1. Доказать, что уравнение для волны, представленной на рисунке, можно записать в виде $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$.
2. Убедиться в справедливости этого уравнения, подставив значения $x = \lambda/4$, $x = \lambda/2$ и $x = 0,75\lambda$.

Решение:

Докажите, что это уравнение можно записать в виде $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$ для волны, представленной на рисунке V-11.

Исходное общее уравнение волны: $y = A\cos(2\pi\nu t - \frac{2\pi}{\lambda}x + \phi_0)$.
График на рисунке V-11 представляет собой "моментальный снимок" волны, то есть зависимость $y$ от $x$ при некотором фиксированном значении времени $t$. В этом случае член $2\pi\nu t$ является константой. Объединим все фазовые сдвиги, не зависящие от $x$, в одну общую начальную фазу $\phi'$ для данного момента времени: $\phi' = 2\pi\nu t + \phi_0$.

Тогда уравнение для "снимка" волны принимает вид: $y(x) = A\cos(-\frac{2\pi}{\lambda}x + \phi')$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, перепишем уравнение: $y(x) = A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x - \phi')$

Теперь определим значение фазы $\phi'$ из графика. Воспользуемся граничными условиями в точке $x=0$. Из графика видно, что при $x=0$ смещение $y=0$. Подставим эти значения в уравнение: $0 = A\cos(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot 0 - \phi') = A\cos(-\phi') = A\cos(\phi')$

Так как амплитуда $A=0,5 \neq 0$, то должно выполняться условие $\cos(\phi') = 0$. Это возможно, если $\phi' = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – любое целое число. Например, $\phi' = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \dots$

Чтобы выбрать правильное значение фазы, проанализируем поведение функции вблизи точки $x=0$. Из графика видно, что при малых положительных $x$ смещение $y$ становится положительным, то есть функция возрастает. Это означает, что производная $\frac{dy}{dx}$ в точке $x=0$ должна быть положительной.

Найдем производную: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x - \phi') \right) = -A\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x - \phi') \cdot \frac{2\pi}{\lambda}$

При $x=0$: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = -A \frac{2\pi}{\lambda} \sin(-\phi') = A \frac{2\pi}{\lambda} \sin(\phi')$

Поскольку $A > 0$ и $\lambda > 0$, для того чтобы производная была положительной, необходимо, чтобы $\sin(\phi') > 0$. Проверим наши возможные значения для $\phi'$:

• Если $\phi' = \frac{\pi}{2}$, то $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0$. Этот вариант подходит.
• Если $\phi' = -\frac{\pi}{2}$, то $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 < 0$. Этот вариант не подходит.

Таким образом, начальная фаза для данного снимка волны равна $\phi' = \frac{\pi}{2}$. Подставим это значение в уравнение для $y(x)$: $y(x) = A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x - \frac{\pi}{2})$

Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$, получаем: $y(x) = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Уравнение волны на графике действительно имеет вид $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$, где $A=0,5$ м и $\lambda=20$ м.

Убедитесь в этом, подставив значения координаты x, равные λ/4; λ/2; 0,75λ.

Используем полученное уравнение $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda}x)$ с параметрами $A = 0,5$ м и $\lambda = 20$ м.

1. При $x = \lambda/4$

   Теоретический расчет: $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4}) = A\sin(\frac{\pi}{2}) = A \cdot 1 = A = 0,5$ м.

   Проверка по графику: при $x = \lambda/4 = 20/4 = 5$ м, смещение $y$ достигает максимального значения, равного $0,5$ м. Совпадает.

2. При $x = \lambda/2$

   Теоретический расчет: $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2}) = A\sin(\pi) = A \cdot 0 = 0$ м.

   Проверка по графику: при $x = \lambda/2 = 20/2 = 10$ м, смещение $y$ равно нулю. Совпадает.

3. При $x = 0,75\lambda$ (то же самое, что $x = 3\lambda/4$)

   Теоретический расчет: $y = A\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{3\lambda}{4}) = A\sin(\frac{3\pi}{2}) = A \cdot (-1) = -A = -0,5$ м.

   Проверка по графику: при $x = 0,75\lambda = 0,75 \cdot 20 = 15$ м, смещение $y$ достигает минимального значения, равного $-0,5$ м. Совпадает.

Ответ: Подстановка контрольных значений $x = \lambda/4$, $x = \lambda/2$ и $x = 0,75\lambda$ в уравнение $y = A\sin((2\pi/\lambda)x)$ дает результаты $y=A$, $y=0$ и $y=-A$ соответственно, что полностью соответствует значениям смещения в точках $x=5$ м, $x=10$ м и $x=15$ м на представленном графике.