Страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

35.10 [859] Частота движений крыльев вороны в полёте равна в среднем $3 \text{ Гц}$. Сколько взмахов крыльями сделает ворона, пролетев путь $650 \text{ м}$ со скоростью $13 \text{ м/с}$?

Дано:

Частота взмахов, $\nu = 3$ Гц
Путь, $S = 650$ м
Скорость, $v = 13$ м/с

Найти:

Количество взмахов, $N$

Решение:

Для начала определим время полета вороны $t$. Так как движение равномерное, время можно найти по формуле:

$t = \frac{S}{v}$

Подставим значения из условия задачи:

$t = \frac{650 \text{ м}}{13 \text{ м/с}} = 50 \text{ с}$

Частота $\nu$ по определению — это количество событий (взмахов) $N$ за промежуток времени $t$.

$\nu = \frac{N}{t}$

Из этой формулы можно выразить искомое количество взмахов $N$:

$N = \nu \cdot t$

Подставим известные значения частоты и найденное время полета:

$N = 3 \text{ Гц} \cdot 50 \text{ с} = 150$

Ответ: ворона сделает 150 взмахов крыльями.

35.11° [860°]

Для тела, совершающего свободные колебания, график зависимости смещения от времени представлен на рисунке V-2. Определите период, частоту и амплитуду колебаний.

$x, \text{ м}$

0,5

0

-0,5

$t, \text{ с}$

5

10

15

Рис. V-2

Дано:

График зависимости смещения тела от времени $x(t)$ для свободных колебаний.

Найти:

$A$ — амплитуда колебаний

$T$ — период колебаний

$\nu$ — частота колебаний

Решение:

Для определения искомых величин проанализируем представленный график.

Амплитуда

Амплитуда ($A$) — это максимальное (по модулю) смещение колеблющегося тела от положения равновесия. На графике это соответствует максимальному значению координаты $x$.

Из графика видно, что по вертикальной оси (ось $x$) 5 делений соответствуют значению $0,5$ м. Следовательно, цена одного деления по оси $x$ равна:
$c_x = \frac{0,5 \text{ м}}{5 \text{ дел.}} = 0,1 \text{ м/дел.}$

Максимальное отклонение от положения равновесия ($x=0$) составляет 2 деления. Таким образом, амплитуда колебаний равна:

$A = 2 \text{ дел.} \cdot 0,1 \frac{\text{м}}{\text{дел.}} = 0,2 \text{ м}$.

Ответ: амплитуда колебаний равна $0,2$ м.

Период

Период ($T$) — это время одного полного колебания. На графике это промежуток времени между двумя последовательными точками, в которых состояние движения тела (координата и скорость) полностью повторяется.

Из графика видно, что тело начинает движение из положения равновесия ($x=0$) в момент времени $t=0$, двигаясь в положительном направлении. Следующий раз оно проходит положение равновесия, двигаясь в том же направлении, в момент времени $t=10$ с. Этот промежуток времени и является периодом колебаний.

Альтернативно, можно определить время половины колебания. Тело проходит положение равновесия в моменты $t=0$ с, $t=5$ с, $t=10$ с. Время между двумя последовательными прохождениями положения равновесия равно половине периода: $\frac{T}{2} = 5 \text{ с} - 0 \text{ с} = 5 \text{ с}$.

Отсюда период равен:

$T = 2 \cdot 5 \text{ с} = 10 \text{ с}$.

Ответ: период колебаний равен $10$ с.

Частота

Частота ($\nu$) — это число полных колебаний в единицу времени. Она является величиной, обратной периоду, и вычисляется по формуле:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим найденное значение периода $T = 10$ с:

$\nu = \frac{1}{10 \text{ с}} = 0,1 \text{ Гц}$.

Ответ: частота колебаний равна $0,1$ Гц.

35.12 [861] Колебания материальной точки описываются следующим уравнением: $x = 70\sin 0,5t$. Определите амплитуду колебаний и смещение точки от положения равновесия в следующие моменты времени: $t_1 = \pi/2$ и $t_2 = \pi/3$. При каких фазах смещение по модулю равно половине амплитуды?

Дано:

Уравнение колебаний: $x(t) = 70 \sin(0.5t)$
Моменты времени: $t_1 = \pi/2$ с, $t_2 = \pi/3$ с

Найти:

Амплитуду колебаний $A$ - ?
Смещение в момент $t_1$: $x_1$ - ?
Смещение в момент $t_2$: $x_2$ - ?
Фазы $\phi$, при которых $|x| = A/2$ - ?

Решение:

Определите амплитуду колебаний и смещение точки от положения равновесия в следующие моменты времени: $t_1=\pi/2$ и $t_2=\pi/3$.

Общий вид уравнения гармонических колебаний записывается как $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), $\omega$ – циклическая частота, $t$ – время, а $\phi_0$ – начальная фаза. В данном уравнении единицы измерения для смещения $x$ и амплитуды $A$ не указаны, поэтому будем считать их в условных единицах длины (ед.). Время $t$ измеряется в секундах (с), а фаза (аргумент синуса) – в радианах (рад).

Сравнивая заданное уравнение $x(t) = 70 \sin(0.5t)$ с общим видом, мы можем определить амплитуду. Амплитуда $A$ – это коэффициент, стоящий перед функцией синуса.

$A = 70$ ед.

Циклическая частота $\omega = 0.5$ рад/с, начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Теперь рассчитаем смещение точки в указанные моменты времени, подставляя значения $t_1$ и $t_2$ в уравнение движения.

Для момента времени $t_1 = \pi/2$ с: $x_1 = x(t_1) = 70 \sin(0.5 \cdot \frac{\pi}{2}) = 70 \sin(\frac{\pi}{4})$.

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $x_1 = 70 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 35\sqrt{2}$ ед.

Приближенное значение: $x_1 \approx 35 \cdot 1.414 \approx 49.49$ ед.

Для момента времени $t_2 = \pi/3$ с: $x_2 = x(t_2) = 70 \sin(0.5 \cdot \frac{\pi}{3}) = 70 \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем: $x_2 = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35$ ед.

Ответ: амплитуда колебаний $A=70$ ед.; смещение в момент времени $t_1=\pi/2$ с равно $x_1=35\sqrt{2}$ ед. (приблизительно 49.5 ед.); смещение в момент времени $t_2=\pi/3$ с равно $x_2=35$ ед.

При каких фазах смещение по модулю равно половине амплитуды?

Фаза колебаний в данном уравнении есть аргумент синуса, то есть $\phi = 0.5t$. Нам необходимо найти те значения фазы $\phi$, при которых модуль смещения $|x|$ равен половине амплитуды $A/2$.

Запишем это условие математически: $|x| = \frac{A}{2}$.

Подставляя выражение для $x$ из уравнения и значение $A=70$: $|70 \sin(\phi)| = \frac{70}{2}$

$|70 \sin(\phi)| = 35$

Разделив обе части на 70, получим: $|\sin(\phi)| = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}$

Данное уравнение эквивалентно двум уравнениям: 1) $\sin(\phi) = \frac{1}{2}$ 2) $\sin(\phi) = -\frac{1}{2}$

Решения для $\sin(\phi) = 1/2$ имеют вид: $\phi = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\phi = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $\sin(\phi) = -1/2$ имеют вид: $\phi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\phi = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Все четыре серии решений можно объединить в более компактную общую формулу. Заметив, что решения повторяются с периодом $\pi$, можно записать: $\phi = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Ответ: смещение по модулю равно половине амплитуды при фазах, описываемых общей формулой $\phi = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ – любое целое число. Например, в пределах одного полного колебания (от 0 до $2\pi$) это фазы $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$.

35.13 [862] Чему равна разность фаз свободных колебаний рук человека при ходьбе?

Решение

При ходьбе руки человека совершают колебательные движения, которые служат для поддержания равновесия и компенсации вращательного момента, создаваемого движением ног. Наблюдения показывают, что руки движутся в противоположных направлениях: когда правая рука движется вперед, левая рука движется назад, и наоборот. Когда одна рука достигает своего крайнего переднего положения, другая в этот же момент времени находится в крайнем заднем положении.

Два колебания, которые происходят с одинаковой частотой, но в каждый момент времени смещения тел от положения равновесия противоположны по знаку, называются колебаниями в противофазе.

Математически, если описать колебание одной руки (например, правой) как гармоническое, используя функцию синуса, то ее смещение от положения равновесия $x_1$ в момент времени $t$ можно записать как:

$x_1(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — угловая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Поскольку левая рука движется в противофазе, ее смещение $x_2$ в тот же момент времени $t$ будет противоположно по знаку:

$x_2(t) = -x_1(t) = -A \sin(\omega t + \phi_0)$

Используя тригонометрическое свойство $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$, можно переписать выражение для $x_2(t)$:

$x_2(t) = A \sin(\omega t + \phi_0 + \pi)$

Фаза колебаний правой руки равна $(\omega t + \phi_0)$, а фаза колебаний левой руки равна $(\omega t + \phi_0 + \pi)$. Разность фаз $\Delta \phi$ будет равна:

$\Delta \phi = (\omega t + \phi_0 + \pi) - (\omega t + \phi_0) = \pi$

Таким образом, разность фаз между колебаниями левой и правой рук человека при ходьбе составляет $\pi$ радиан или 180°.

Ответ: Разность фаз свободных колебаний рук человека при ходьбе равна $\pi$ радиан (или 180°).

35.14 [863] Гармоническое колебание описывается уравнением $x = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4}\right)$. Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

Дано:

Уравнение гармонического колебания: $x = 2\sin(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$

Все величины в уравнении представлены в системе СИ (смещение $x$ в метрах, время $t$ в секундах).

Найти:

Циклическую частоту колебаний $\omega$

Линейную частоту колебаний $\nu$

Начальную фазу колебаний $\phi_0$

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Сравним данное в условии уравнение $x = 2\sin(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{4})$ с общим уравнением.

Циклическая частота колебаний

Из сравнения уравнений видно, что коэффициент при времени $t$ в аргументе функции синуса соответствует циклической частоте $\omega$. В данном уравнении он равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: циклическая частота колебаний $\omega = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

Линейная частота колебаний

Линейная частота $\nu$ связана с циклической частотой $\omega$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Отсюда можно выразить линейную частоту: $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$. Подставив найденное значение циклической частоты, получим: $\nu = \frac{\pi/2}{2\pi} = \frac{\pi}{2 \cdot 2\pi} = \frac{1}{4} = 0.25$ Гц.

Ответ: линейная частота колебаний $\nu = 0.25$ Гц.

Начальная фаза колебаний

Начальная фаза $\phi_0$ — это постоянное слагаемое в аргументе функции синуса. Из сравнения уравнений видно, что она равна $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: начальная фаза колебаний $\phi_0 = \frac{\pi}{4}$ рад.

35.15 [864] Можно ли предположить, что одно и то же колебание может быть описано с помощью следующих уравнений: $x = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right)$, $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$, $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$?

Решение

Для того чтобы определить, описывают ли данные уравнения одно и то же колебание, необходимо привести их к единому стандартному виду и сравнить их основные параметры: амплитуду ($A$), угловую частоту ($\omega$) и начальную фазу ($\phi_0$).

Стандартный вид уравнения гармонического колебания: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$.

Даны три уравнения:

1. $x_1 = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right)$
2. $x_2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$
3. $x_3 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$

Во всех трех уравнениях амплитуда $A = 3$ и угловая частота $\omega = \frac{\pi}{4}$ одинаковы. Чтобы колебания были идентичными, функции, описывающие смещение $x$ от времени $t$, должны быть тождественно равны. Для этого сравним их фазы.

Приведем первое уравнение к форме с косинусом, используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\alpha) = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$.

Преобразуем уравнение для $x_1$:

$x_1 = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right) = 3\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументе косинуса:

$x_1 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{2\pi}{6}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$

Теперь мы имеем все три уравнения в единой форме:

• $x_1 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$
• $x_2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$
• $x_3 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$

Сравнивая эти выражения, мы видим, что $x_1$ и $x_3$ полностью идентичны. Следовательно, первое и третье уравнения описывают одно и то же колебание.

Теперь сравним $x_2$ с $x_1$ (и $x_3$). Аргументы косинусов у них различны: $\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$ и $\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$. Функции $\cos(\alpha)$ и $\cos(\beta)$ тождественно равны только если $\alpha = \pm \beta + 2\pi k$, где $k$ - целое число. В нашем случае это условие не выполняется для всех $t$.

Например, при $t=0$:
$x_1(0) = 3\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$
$x_2(0) = 3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$
В этот момент времени смещения совпадают.

Однако при $t=1$:
$x_1(1) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right) = 3\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$
$x_2(1) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 3\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$
Поскольку $x_1(1) \neq x_2(1)$, эти уравнения описывают разные колебания.

Таким образом, не все три уравнения описывают одно и то же колебание.

Ответ: Нет, нельзя. Одно и то же колебание описывается первым и третьим уравнениями: $x = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right)$ и $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$. Второе уравнение, $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$, описывает другое колебание, отличающееся по фазе.

35.16 [865] В какие моменты времени скорость колеблющейся материальной точки равна нулю, если колебание описывается уравнением $x = 4\sin \frac{\pi}{2}t$?

Дано:

Уравнение колебаний материальной точки:

$x(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$

Все величины представлены в системе СИ (координата $x$ в метрах, время $t$ в секундах).

Найти:

Моменты времени $t$, в которые скорость точки $v$ равна нулю.

Решение:

Скорость материальной точки $v(t)$ является первой производной по времени от ее координаты $x(t)$.

$v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

Для нахождения уравнения скорости продифференцируем заданное уравнение колебаний по времени $t$:

$v(t) = \frac{d}{dt}\left(4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\right)$

Используя правило дифференцирования сложной функции (производная от $\sin(u)$ равна $\cos(u) \cdot u'$), получаем:

$v(t) = 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2}t\right)' = 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \cdot \frac{\pi}{2}$

Упростив выражение, получим уравнение для скорости:

$v(t) = 2\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$

Скорость равна нулю, когда $v(t) = 0$. Приравняем полученное уравнение к нулю:

$2\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) = 0$

Так как множитель $2\pi$ не равен нулю, то нулю должен быть равен косинус:

$\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) = 0$

Функция косинуса равна нулю, когда ее аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$\frac{\pi}{2}t = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы выразить $t$, разделим обе части уравнения на $\frac{\pi}{2}$:

$t = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} + \frac{\pi n}{\frac{\pi}{2}} = 1 + 2n$

По физическому смыслу время $t$ не может быть отрицательным, то есть $t \ge 0$. Следовательно, $1 + 2n \ge 0$, откуда $2n \ge -1$, и $n \ge -0.5$. Поскольку $n$ – целое число, его возможные значения: $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

Таким образом, скорость обращается в ноль в моменты времени $t = 1$ с, $3$ с, $5$ с, и так далее. Это соответствует моментам, когда точка достигает максимального отклонения от положения равновесия (амплитудных значений).

Ответ: скорость колеблющейся материальной точки равна нулю в моменты времени $t = 2n + 1$, где $n = 0, 1, 2, \ldots$ (время в секундах).

35.17 [н] Может ли уравнение, приведённое в условии предыдущей задачи, описывать колебания как математического маятника, так и пружинного?

Решение

Да, уравнение, описывающее гармонические колебания, может описывать движение как пружинного, так и математического маятника (при определенных условиях). Чтобы это показать, проанализируем уравнения движения для каждой из этих систем.

Для пружинного маятника, представляющего собой тело массой $m$ на пружине с жесткостью $k$, второй закон Ньютона $ma = F$ с учетом закона Гука $F = -kx$ дает дифференциальное уравнение движения: $mx'' = -kx$, где $x$ — смещение от положения равновесия, а $x''$ — его вторая производная по времени (ускорение). Преобразуем это уравнение к стандартному виду: $x'' + \frac{k}{m}x = 0$. Это каноническое уравнение гармонических колебаний. Величина $\omega^2 = \frac{k}{m}$ является квадратом циклической частоты колебаний. Решение этого уравнения имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Теперь рассмотрим математический маятник — материальную точку массой $m$ на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$. Его движение описывается через угол отклонения $\theta$ от вертикали. Уравнение движения, полученное из основного закона динамики вращательного движения, имеет вид: $\theta'' + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$, где $g$ — ускорение свободного падения. В общем виде это уравнение нелинейное. Однако для малых колебаний, когда угол $\theta$ мал (в радианах), можно использовать приближение $\sin\theta \approx \theta$. В этом случае уравнение упрощается и становится линейным: $\theta'' + \frac{g}{l}\theta = 0$.

Это уравнение математически полностью идентично уравнению для пружинного маятника. Здесь квадратом циклической частоты является $\omega^2 = \frac{g}{l}$. Решение также является гармонической функцией: $\theta(t) = \theta_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$.

Таким образом, одно и то же по форме математическое уравнение $y'' + \omega^2 y = 0$ и его решение $y(t) = Y_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$ могут описывать обе колебательные системы. Различие состоит в физической интерпретации переменных и параметров. Для пружинного маятника колеблющейся величиной $y$ является линейное смещение $x$, а циклическая частота определяется как $\omega = \sqrt{k/m}$. Для математического маятника величиной $y$ является угловое смещение $\theta$, а частота зависит от длины нити $l$ и ускорения свободного падения $g$ как $\omega = \sqrt{g/l}$.

Следовательно, если в предыдущей задаче было дано конкретное уравнение гармонических колебаний, то оно может описывать и пружинный, и математический маятник. Достаточно лишь подобрать параметры систем ($k, m$ или $l$) так, чтобы их собственная частота колебаний совпала с частотой в уравнении.

Ответ: Да, может. Уравнение гармонических колебаний, которое, предположительно, было дано в условии предыдущей задачи, является универсальным математическим описанием для малых колебаний множества различных физических систем. К таким системам относятся пружинный маятник и математический маятник (в приближении малых углов). Физическое различие между системами проявляется в том, что именно колеблется (смещение или угол) и от каких физических параметров (массы, жесткости, длины) зависит частота этих колебаний.

35.18 [н] Можно ли маятник, длина нити которого равна 1,5 м, считать математическим маятником при амплитуде колебаний 50 см; 5 см? Ответ объясните.

Математический маятник — это идеализированная физическая модель, которая состоит из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Колебания реального маятника можно считать гармоническими и описывать формулами для математического маятника только в случае малых углов отклонения. На практике колебания считаются малыми, если максимальный угол отклонения нити от вертикали не превышает 5–7°. Это условие позволяет использовать приближение $ \sin \alpha \approx \alpha $ (где $ \alpha $ — угол в радианах), которое является ключевым при выводе формулы периода колебаний $ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно для каждой амплитуды вычислить максимальный угол отклонения маятника и проверить, выполняется ли условие малости угла.

Дано:

Длина нити, $ l = 1,5 $ м
Амплитуда 1, $ A_1 = 50 $ см
Амплитуда 2, $ A_2 = 5 $ см

$ l = 1,5 $ м
$ A_1 = 0,5 $ м
$ A_2 = 0,05 $ м

Найти:

Можно ли считать маятник математическим при амплитуде $ A_1 $ и $ A_2 $?

Решение:

Связь между длиной нити $ l $, амплитудой (максимальным горизонтальным смещением) $ A $ и максимальным углом отклонения $ \alpha $ в крайнем положении маятника определяется из прямоугольного треугольника:

$ \sin \alpha = \frac{A}{l} $

Рассмотрим оба случая.

при амплитуде колебаний 50 см
Вычислим синус максимального угла отклонения для амплитуды $ A_1 = 0,5 $ м.

$ \sin \alpha_1 = \frac{A_1}{l} = \frac{0,5 \text{ м}}{1,5 \text{ м}} = \frac{1}{3} \approx 0,333 $

Найдем соответствующий угол $ \alpha_1 $:

$ \alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 19,5^\circ $

Полученный угол $ 19,5^\circ $ значительно больше 5–7°. При таком отклонении колебания не являются гармоническими, и использовать модель математического маятника некорректно.

Ответ: при амплитуде 50 см маятник нельзя считать математическим, так как угол отклонения ($ \approx 19,5^\circ $) слишком велик для того, чтобы колебания можно было считать гармоническими.

при амплитуде колебаний 5 см
Вычислим синус максимального угла отклонения для амплитуды $ A_2 = 0,05 $ м.

$ \sin \alpha_2 = \frac{A_2}{l} = \frac{0,05 \text{ м}}{1,5 \text{ м}} = \frac{5}{150} = \frac{1}{30} \approx 0,0333 $

Найдем соответствующий угол $ \alpha_2 $:

$ \alpha_2 = \arcsin(\frac{1}{30}) \approx 1,9^\circ $

Угол $ 1,9^\circ $ является малым, так как он меньше 5°. Для такого угла приближение $ \sin \alpha \approx \alpha $ выполняется с высокой степенью точности, поэтому колебания можно считать гармоническими.

Ответ: при амплитуде 5 см маятник можно считать математическим, так как угол отклонения ($ \approx 1,9^\circ $) достаточно мал.

35.19 [н] Как связаны между собой размах колебаний маятника и амплитуда колебаний?

35.19 [н]

Решение

Для того чтобы установить связь между размахом и амплитудой колебаний, необходимо определить оба понятия.

Амплитуда колебаний – это физическая величина, характеризующая максимальное смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Обозначим амплитуду буквой $A$. Положение равновесия — это точка, в которой маятник находится в состоянии покоя.

Размах колебаний – это расстояние между двумя крайними точками, которых достигает колеблющееся тело в процессе своего движения. Обозначим размах буквой $R$.

В процессе колебаний маятник отклоняется от положения равновесия в одну сторону на расстояние, равное амплитуде ($A$), достигая первого крайнего положения. Затем он возвращается, проходит положение равновесия и отклоняется в противоположную сторону на такое же расстояние $A$, достигая второго крайнего положения.

Следовательно, общее расстояние между двумя этими крайними положениями (размах колебаний) равно сумме максимальных смещений в обе стороны от положения равновесия.

Математически эта связь выражается следующей формулой:

$R = A + A = 2A$

Таким образом, размах колебаний в два раза больше амплитуды колебаний.

Ответ: Размах колебаний маятника равен удвоенной амплитуде его колебаний ($R = 2A$).

35.20 [866] Максимально или минимально ускорение в те моменты времени, когда скорость колеблющегося пружинного маятника равна 0?

Решение

Рассмотрим движение пружинного маятника. Это пример гармонических колебаний.

1. Скорость колеблющегося тела обращается в ноль в точках максимального отклонения от положения равновесия. В этих точках, которые называются точками поворота, маятник на мгновение замирает, чтобы начать движение в обратном направлении. В этих точках смещение $x$ от положения равновесия максимально и равно амплитуде $A$ ($x = \pm A$).

2. Ускорение телу, согласно второму закону Ньютона, сообщает равнодействующая всех сил, приложенных к телу: $F = ma$. Следовательно, ускорение $a$ прямо пропорционально силе $F$.

3. Для пружинного маятника возвращающая сила — это сила упругости пружины. По закону Гука, она равна $F = -kx$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — смещение от положения равновесия. Знак "минус" указывает, что сила всегда направлена к положению равновесия, то есть в сторону, противоположную смещению.

4. Совмещая эти факты, получаем, что ускорение маятника равно $a = \frac{F}{m} = -\frac{k}{m}x$. Из этой формулы видно, что модуль ускорения $|a| = \frac{k}{m}|x|$ прямо пропорционален модулю смещения $|x|$.

5. Таким образом, в моменты времени, когда скорость равна нулю, смещение $x$ максимально по модулю ($|x| = A$). Следовательно, и ускорение в эти моменты также максимально по модулю: $|a|_{max} = \frac{k}{m}A$.

Итак, в те моменты времени, когда скорость пружинного маятника равна 0 (в крайних точках траектории), его ускорение является максимальным по величине.

Ответ: Ускорение максимально.