Номер 35.12, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.12, страница 130.

35.12 [861] Колебания материальной точки описываются следующим уравнением: $x = 70\sin 0,5t$. Определите амплитуду колебаний и смещение точки от положения равновесия в следующие моменты времени: $t_1 = \pi/2$ и $t_2 = \pi/3$. При каких фазах смещение по модулю равно половине амплитуды?

Дано:

Уравнение колебаний: $x(t) = 70 \sin(0.5t)$
Моменты времени: $t_1 = \pi/2$ с, $t_2 = \pi/3$ с

Найти:

Амплитуду колебаний $A$ - ?
Смещение в момент $t_1$: $x_1$ - ?
Смещение в момент $t_2$: $x_2$ - ?
Фазы $\phi$, при которых $|x| = A/2$ - ?

Решение:

Определите амплитуду колебаний и смещение точки от положения равновесия в следующие моменты времени: $t_1=\pi/2$ и $t_2=\pi/3$.

Общий вид уравнения гармонических колебаний записывается как $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), $\omega$ – циклическая частота, $t$ – время, а $\phi_0$ – начальная фаза. В данном уравнении единицы измерения для смещения $x$ и амплитуды $A$ не указаны, поэтому будем считать их в условных единицах длины (ед.). Время $t$ измеряется в секундах (с), а фаза (аргумент синуса) – в радианах (рад).

Сравнивая заданное уравнение $x(t) = 70 \sin(0.5t)$ с общим видом, мы можем определить амплитуду. Амплитуда $A$ – это коэффициент, стоящий перед функцией синуса.

$A = 70$ ед.

Циклическая частота $\omega = 0.5$ рад/с, начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Теперь рассчитаем смещение точки в указанные моменты времени, подставляя значения $t_1$ и $t_2$ в уравнение движения.

Для момента времени $t_1 = \pi/2$ с: $x_1 = x(t_1) = 70 \sin(0.5 \cdot \frac{\pi}{2}) = 70 \sin(\frac{\pi}{4})$.

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $x_1 = 70 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 35\sqrt{2}$ ед.

Приближенное значение: $x_1 \approx 35 \cdot 1.414 \approx 49.49$ ед.

Для момента времени $t_2 = \pi/3$ с: $x_2 = x(t_2) = 70 \sin(0.5 \cdot \frac{\pi}{3}) = 70 \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем: $x_2 = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35$ ед.

Ответ: амплитуда колебаний $A=70$ ед.; смещение в момент времени $t_1=\pi/2$ с равно $x_1=35\sqrt{2}$ ед. (приблизительно 49.5 ед.); смещение в момент времени $t_2=\pi/3$ с равно $x_2=35$ ед.

При каких фазах смещение по модулю равно половине амплитуды?

Фаза колебаний в данном уравнении есть аргумент синуса, то есть $\phi = 0.5t$. Нам необходимо найти те значения фазы $\phi$, при которых модуль смещения $|x|$ равен половине амплитуды $A/2$.

Запишем это условие математически: $|x| = \frac{A}{2}$.

Подставляя выражение для $x$ из уравнения и значение $A=70$: $|70 \sin(\phi)| = \frac{70}{2}$

$|70 \sin(\phi)| = 35$

Разделив обе части на 70, получим: $|\sin(\phi)| = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}$

Данное уравнение эквивалентно двум уравнениям: 1) $\sin(\phi) = \frac{1}{2}$ 2) $\sin(\phi) = -\frac{1}{2}$

Решения для $\sin(\phi) = 1/2$ имеют вид: $\phi = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\phi = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $\sin(\phi) = -1/2$ имеют вид: $\phi = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\phi = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Все четыре серии решений можно объединить в более компактную общую формулу. Заметив, что решения повторяются с периодом $\pi$, можно записать: $\phi = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Ответ: смещение по модулю равно половине амплитуды при фазах, описываемых общей формулой $\phi = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ – любое целое число. Например, в пределах одного полного колебания (от 0 до $2\pi$) это фазы $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$.