Номер 35.17, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.17, страница 130.

35.17 [н] Может ли уравнение, приведённое в условии предыдущей задачи, описывать колебания как математического маятника, так и пружинного?

Решение

Да, уравнение, описывающее гармонические колебания, может описывать движение как пружинного, так и математического маятника (при определенных условиях). Чтобы это показать, проанализируем уравнения движения для каждой из этих систем.

Для пружинного маятника, представляющего собой тело массой $m$ на пружине с жесткостью $k$, второй закон Ньютона $ma = F$ с учетом закона Гука $F = -kx$ дает дифференциальное уравнение движения: $mx'' = -kx$, где $x$ — смещение от положения равновесия, а $x''$ — его вторая производная по времени (ускорение). Преобразуем это уравнение к стандартному виду: $x'' + \frac{k}{m}x = 0$. Это каноническое уравнение гармонических колебаний. Величина $\omega^2 = \frac{k}{m}$ является квадратом циклической частоты колебаний. Решение этого уравнения имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Теперь рассмотрим математический маятник — материальную точку массой $m$ на невесомой и нерастяжимой нити длиной $l$. Его движение описывается через угол отклонения $\theta$ от вертикали. Уравнение движения, полученное из основного закона динамики вращательного движения, имеет вид: $\theta'' + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$, где $g$ — ускорение свободного падения. В общем виде это уравнение нелинейное. Однако для малых колебаний, когда угол $\theta$ мал (в радианах), можно использовать приближение $\sin\theta \approx \theta$. В этом случае уравнение упрощается и становится линейным: $\theta'' + \frac{g}{l}\theta = 0$.

Это уравнение математически полностью идентично уравнению для пружинного маятника. Здесь квадратом циклической частоты является $\omega^2 = \frac{g}{l}$. Решение также является гармонической функцией: $\theta(t) = \theta_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$.

Таким образом, одно и то же по форме математическое уравнение $y'' + \omega^2 y = 0$ и его решение $y(t) = Y_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$ могут описывать обе колебательные системы. Различие состоит в физической интерпретации переменных и параметров. Для пружинного маятника колеблющейся величиной $y$ является линейное смещение $x$, а циклическая частота определяется как $\omega = \sqrt{k/m}$. Для математического маятника величиной $y$ является угловое смещение $\theta$, а частота зависит от длины нити $l$ и ускорения свободного падения $g$ как $\omega = \sqrt{g/l}$.

Следовательно, если в предыдущей задаче было дано конкретное уравнение гармонических колебаний, то оно может описывать и пружинный, и математический маятник. Достаточно лишь подобрать параметры систем ($k, m$ или $l$) так, чтобы их собственная частота колебаний совпала с частотой в уравнении.

Ответ: Да, может. Уравнение гармонических колебаний, которое, предположительно, было дано в условии предыдущей задачи, является универсальным математическим описанием для малых колебаний множества различных физических систем. К таким системам относятся пружинный маятник и математический маятник (в приближении малых углов). Физическое различие между системами проявляется в том, что именно колеблется (смещение или угол) и от каких физических параметров (массы, жесткости, длины) зависит частота этих колебаний.