Номер 35.15, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.15, страница 130.

35.15 [864] Можно ли предположить, что одно и то же колебание может быть описано с помощью следующих уравнений: $x = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right)$, $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$, $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$?

Решение

Для того чтобы определить, описывают ли данные уравнения одно и то же колебание, необходимо привести их к единому стандартному виду и сравнить их основные параметры: амплитуду ($A$), угловую частоту ($\omega$) и начальную фазу ($\phi_0$).

Стандартный вид уравнения гармонического колебания: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$.

Даны три уравнения:

1. $x_1 = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right)$
2. $x_2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$
3. $x_3 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$

Во всех трех уравнениях амплитуда $A = 3$ и угловая частота $\omega = \frac{\pi}{4}$ одинаковы. Чтобы колебания были идентичными, функции, описывающие смещение $x$ от времени $t$, должны быть тождественно равны. Для этого сравним их фазы.

Приведем первое уравнение к форме с косинусом, используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\alpha) = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$.

Преобразуем уравнение для $x_1$:

$x_1 = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right) = 3\cos\left(\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{2}\right)$

Выполним вычисления в аргументе косинуса:

$x_1 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{2\pi}{6}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$

Теперь мы имеем все три уравнения в единой форме:

• $x_1 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$
• $x_2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$
• $x_3 = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$

Сравнивая эти выражения, мы видим, что $x_1$ и $x_3$ полностью идентичны. Следовательно, первое и третье уравнения описывают одно и то же колебание.

Теперь сравним $x_2$ с $x_1$ (и $x_3$). Аргументы косинусов у них различны: $\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$ и $\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$. Функции $\cos(\alpha)$ и $\cos(\beta)$ тождественно равны только если $\alpha = \pm \beta + 2\pi k$, где $k$ - целое число. В нашем случае это условие не выполняется для всех $t$.

Например, при $t=0$:
$x_1(0) = 3\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$
$x_2(0) = 3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$
В этот момент времени смещения совпадают.

Однако при $t=1$:
$x_1(1) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right) = 3\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$
$x_2(1) = 3\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 3\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = 3\cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$
Поскольку $x_1(1) \neq x_2(1)$, эти уравнения описывают разные колебания.

Таким образом, не все три уравнения описывают одно и то же колебание.

Ответ: Нет, нельзя. Одно и то же колебание описывается первым и третьим уравнениями: $x = 3\sin\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{6}\right)$ и $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{3}\right)$. Второе уравнение, $x = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}t + \frac{\pi}{3}\right)$, описывает другое колебание, отличающееся по фазе.