Номер 35.18, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.18, страница 130.

35.18 [н] Можно ли маятник, длина нити которого равна 1,5 м, считать математическим маятником при амплитуде колебаний 50 см; 5 см? Ответ объясните.

Математический маятник — это идеализированная физическая модель, которая состоит из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Колебания реального маятника можно считать гармоническими и описывать формулами для математического маятника только в случае малых углов отклонения. На практике колебания считаются малыми, если максимальный угол отклонения нити от вертикали не превышает 5–7°. Это условие позволяет использовать приближение $ \sin \alpha \approx \alpha $ (где $ \alpha $ — угол в радианах), которое является ключевым при выводе формулы периода колебаний $ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно для каждой амплитуды вычислить максимальный угол отклонения маятника и проверить, выполняется ли условие малости угла.

Дано:

Длина нити, $ l = 1,5 $ м
Амплитуда 1, $ A_1 = 50 $ см
Амплитуда 2, $ A_2 = 5 $ см

$ l = 1,5 $ м
$ A_1 = 0,5 $ м
$ A_2 = 0,05 $ м

Найти:

Можно ли считать маятник математическим при амплитуде $ A_1 $ и $ A_2 $?

Решение:

Связь между длиной нити $ l $, амплитудой (максимальным горизонтальным смещением) $ A $ и максимальным углом отклонения $ \alpha $ в крайнем положении маятника определяется из прямоугольного треугольника:

$ \sin \alpha = \frac{A}{l} $

Рассмотрим оба случая.

при амплитуде колебаний 50 см
Вычислим синус максимального угла отклонения для амплитуды $ A_1 = 0,5 $ м.

$ \sin \alpha_1 = \frac{A_1}{l} = \frac{0,5 \text{ м}}{1,5 \text{ м}} = \frac{1}{3} \approx 0,333 $

Найдем соответствующий угол $ \alpha_1 $:

$ \alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 19,5^\circ $

Полученный угол $ 19,5^\circ $ значительно больше 5–7°. При таком отклонении колебания не являются гармоническими, и использовать модель математического маятника некорректно.

Ответ: при амплитуде 50 см маятник нельзя считать математическим, так как угол отклонения ($ \approx 19,5^\circ $) слишком велик для того, чтобы колебания можно было считать гармоническими.

при амплитуде колебаний 5 см
Вычислим синус максимального угла отклонения для амплитуды $ A_2 = 0,05 $ м.

$ \sin \alpha_2 = \frac{A_2}{l} = \frac{0,05 \text{ м}}{1,5 \text{ м}} = \frac{5}{150} = \frac{1}{30} \approx 0,0333 $

Найдем соответствующий угол $ \alpha_2 $:

$ \alpha_2 = \arcsin(\frac{1}{30}) \approx 1,9^\circ $

Угол $ 1,9^\circ $ является малым, так как он меньше 5°. Для такого угла приближение $ \sin \alpha \approx \alpha $ выполняется с высокой степенью точности, поэтому колебания можно считать гармоническими.

Ответ: при амплитуде 5 см маятник можно считать математическим, так как угол отклонения ($ \approx 1,9^\circ $) достаточно мал.