Номер 35.16, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.16, страница 130.

35.16 [865] В какие моменты времени скорость колеблющейся материальной точки равна нулю, если колебание описывается уравнением $x = 4\sin \frac{\pi}{2}t$?

Дано:

Уравнение колебаний материальной точки:

$x(t) = 4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$

Все величины представлены в системе СИ (координата $x$ в метрах, время $t$ в секундах).

Найти:

Моменты времени $t$, в которые скорость точки $v$ равна нулю.

Решение:

Скорость материальной точки $v(t)$ является первой производной по времени от ее координаты $x(t)$.

$v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

Для нахождения уравнения скорости продифференцируем заданное уравнение колебаний по времени $t$:

$v(t) = \frac{d}{dt}\left(4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\right)$

Используя правило дифференцирования сложной функции (производная от $\sin(u)$ равна $\cos(u) \cdot u'$), получаем:

$v(t) = 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2}t\right)' = 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \cdot \frac{\pi}{2}$

Упростив выражение, получим уравнение для скорости:

$v(t) = 2\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$

Скорость равна нулю, когда $v(t) = 0$. Приравняем полученное уравнение к нулю:

$2\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) = 0$

Так как множитель $2\pi$ не равен нулю, то нулю должен быть равен косинус:

$\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) = 0$

Функция косинуса равна нулю, когда ее аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$\frac{\pi}{2}t = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы выразить $t$, разделим обе части уравнения на $\frac{\pi}{2}$:

$t = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} + \frac{\pi n}{\frac{\pi}{2}} = 1 + 2n$

По физическому смыслу время $t$ не может быть отрицательным, то есть $t \ge 0$. Следовательно, $1 + 2n \ge 0$, откуда $2n \ge -1$, и $n \ge -0.5$. Поскольку $n$ – целое число, его возможные значения: $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

Таким образом, скорость обращается в ноль в моменты времени $t = 1$ с, $3$ с, $5$ с, и так далее. Это соответствует моментам, когда точка достигает максимального отклонения от положения равновесия (амплитудных значений).

Ответ: скорость колеблющейся материальной точки равна нулю в моменты времени $t = 2n + 1$, где $n = 0, 1, 2, \ldots$ (время в секундах).