Страница 124 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

33.16* [799*] По наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1,5 м поднимают груз массой 180 кг. Чему равны полезная работа и КПД, если коэффициент трения равен 0,3?

Дано:

Длина наклонной плоскости $l = 5$ м
Высота наклонной плоскости $h = 1.5$ м
Масса груза $m = 180$ кг
Коэффициент трения $\mu = 0.3$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Полезная работа $A_{полезная}$ - ?
КПД $\eta$ - ?

Решение:

Полезная работа

Полезной работой при подъеме груза является работа, совершаемая против силы тяжести. Она равна изменению потенциальной энергии груза и вычисляется по формуле:

$A_{полезная} = mgh$

Подставим в формулу числовые значения из условия:

$A_{полезная} = 180 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1.5 \text{ м} = 2646 \text{ Дж}$

Ответ: полезная работа равна 2646 Дж.

КПД

Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе, выраженное в процентах:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полная работа $A_{затраченная}$ складывается из полезной работы и работы $A_{трения}$, совершаемой против силы трения:

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения}$

Работу против силы трения найдем по формуле $A_{трения} = F_{тр} \cdot l$, где $F_{тр}$ — сила трения, а $l$ — длина наклонной плоскости.

Сила трения равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры уравновешивает перпендикулярную к плоскости составляющую силы тяжести: $N = mg \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол наклона плоскости.

Для определения $\cos(\alpha)$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наклонной плоскостью, где $l$ — гипотенуза, $h$ — противолежащий катет, а $b$ — прилежащий катет (основание). По теореме Пифагора:

$b = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 1.5^2} = \sqrt{25 - 2.25} = \sqrt{22.75} \text{ м}$

Косинус угла наклона равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{l} = \frac{\sqrt{22.75}}{5}$

Теперь найдем работу, совершаемую против силы трения:

$A_{трения} = \mu \cdot (mg \cos(\alpha)) \cdot l = \mu mg \left(\frac{\sqrt{22.75}}{5}\right) \cdot 5 = \mu mg \sqrt{22.75}$

Подставим числовые значения:

$A_{трения} = 0.3 \cdot 180 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{22.75} \text{ м} \approx 529.2 \cdot 4.7697 \text{ Дж} \approx 2524.3 \text{ Дж}$

Найдем полную затраченную работу:

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения} = 2646 \text{ Дж} + 2524.3 \text{ Дж} = 5170.3 \text{ Дж}$

Теперь можем рассчитать КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\% = \frac{2646 \text{ Дж}}{5170.3 \text{ Дж}} \cdot 100\% \approx 0.5118 \cdot 100\% \approx 51.2\%$

Ответ: КПД равен примерно 51,2%.

33.17 [800] Двигатель подъёмного крана мощностью 6 кВт обеспечивает поднятие груза массой 6 т на высоту 8 м. Определите время подъёма груза, если КПД крана равен 80 %.

Дано:

Мощность двигателя, $P_{затр} = 6$ кВт

Масса груза, $m = 6$ т

Высота подъема, $h = 8$ м

КПД крана, $η = 80$ %

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

$P_{затр} = 6 \cdot 1000 = 6000$ Вт

$m = 6 \cdot 1000 = 6000$ кг

$η = 80\% = 0.8$

Найти:

Время подъема груза, $t$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы $A_{пол}$ к полной (затраченной) работе $A_{затр}$:

$η = \frac{A_{пол}}{A_{затр}}$

Полезная работа в данном случае — это работа по подъему груза на высоту $h$. Она равна изменению потенциальной энергии груза:

$A_{пол} = m \cdot g \cdot h$

Затраченная работа — это работа, совершаемая двигателем подъемного крана. Ее можно найти через мощность двигателя $P_{затр}$ и время его работы $t$:

$A_{затр} = P_{затр} \cdot t$

Теперь объединим эти формулы, подставив выражения для работ в формулу КПД:

$η = \frac{m \cdot g \cdot h}{P_{затр} \cdot t}$

Из этого соотношения выразим искомую величину — время подъема $t$:

$t = \frac{m \cdot g \cdot h}{η \cdot P_{затр}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$t = \frac{6000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 8 \text{ м}}{0.8 \cdot 6000 \text{ Вт}}$

Сократим значение массы (6000) и мощности (6000):

$t = \frac{10 \text{ м/с²} \cdot 8 \text{ м}}{0.8 \cdot 1 \text{ Вт}} = \frac{80}{0.8} \text{ с} = 100 \text{ с}$

Ответ: время подъема груза равно 100 с.

33.18* [801*] Электродвигатель мощностью 10 кВт соединён ременной передачей с насосом, который за 30 мин подаёт воду объёмом 58,75 $m^3$ на высоту 25 м в резервуар. Определите КПД всей установки.

Дано:

Мощность электродвигателя $P = 10$ кВт

Время работы $t = 30$ мин

Объем воды $V = 58,75 \text{ м}^3$

Высота подъема $h = 25 \text{ м}$

Плотность воды $\rho \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$P = 10 \text{ кВт} = 10 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 10000 \text{ Вт}$

$t = 30 \text{ мин} = 30 \cdot 60 \text{ с} = 1800 \text{ с}$

Найти:

КПД установки $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) установки $\eta$ определяется как отношение полезной работы $A_{полезн}$ к затраченной работе $A_{затр}$.

$\eta = \frac{A_{полезн}}{A_{затр}}$

Затраченная работа $A_{затр}$ — это работа, совершаемая электродвигателем. Она равна произведению мощности двигателя $P$ на время его работы $t$:

$A_{затр} = P \cdot t$

Полезная работа $A_{полезн}$ — это работа по подъему воды на высоту $h$. Она равна изменению потенциальной энергии воды:

$A_{полезн} = mgh$

Массу воды $m$ можно найти через ее объем $V$ и плотность $\rho$:

$m = \rho V$

Подставив выражение для массы в формулу полезной работы, получим:

$A_{полезн} = \rho V g h$

Теперь объединим все в общую формулу для КПД:

$\eta = \frac{\rho V g h}{P \cdot t}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты.

$A_{затр} = 10000 \text{ Вт} \cdot 1800 \text{ с} = 18 \ 000 \ 000 \text{ Дж}$

$A_{полезн} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 58,75 \text{ м}^3 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 25 \text{ м} = 14 \ 393 \ 750 \text{ Дж}$

Вычислим КПД:

$\eta = \frac{14 \ 393 \ 750 \text{ Дж}}{18 \ 000 \ 000 \text{ Дж}} \approx 0,79965$

Для выражения результата в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$\eta \approx 0,79965 \cdot 100\% \approx 80\%$

Ответ: КПД всей установки составляет примерно $80\%$.

33.19* [802*] Сколько воды можно поднять из колодца глубиной 36 м в течение 1 ч, если мощность электродвигателя насоса равна 4,9 кВт, а КПД установки равен 70 %?

Дано:

Глубина колодца $h = 36$ м
Время работы $t = 1$ ч
Мощность электродвигателя $P_{затр} = 4.9$ кВт
КПД установки $η = 70$ %

$t = 1 \text{ ч} = 1 \cdot 3600 \text{ с} = 3600 \text{ с}$
$P_{затр} = 4.9 \text{ кВт} = 4.9 \cdot 1000 \text{ Вт} = 4900 \text{ Вт}$
$η = 70\% = 0.7$

Найти:

$m$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) установки определяется как отношение полезной работы $A_{полезн}$ к полной (затраченной) работе $A_{затр}$, совершенной электродвигателем.

$η = \frac{A_{полезн}}{A_{затр}}$

Полезная работа $A_{полезн}$ в данном случае — это работа, совершаемая для подъема воды на высоту $h$. Она равна увеличению потенциальной энергии воды:

$A_{полезн} = m \cdot g \cdot h$

Здесь $m$ — искомая масса воды, $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8 \, м/с^2$), $h$ — глубина колодца.

Затраченная работа $A_{затр}$ — это работа электродвигателя. Она вычисляется как произведение его мощности $P_{затр}$ на время работы $t$:

$A_{затр} = P_{затр} \cdot t$

Теперь подставим выражения для полезной и затраченной работы в формулу для КПД:

$η = \frac{m \cdot g \cdot h}{P_{затр} \cdot t}$

Из этой формулы выразим массу воды $m$:

$m = \frac{η \cdot P_{затр} \cdot t}{g \cdot h}$

Подставим числовые значения в систему СИ и выполним расчет:

$m = \frac{0.7 \cdot 4900 \, Вт \cdot 3600 \, с}{9.8 \, м/с^2 \cdot 36 \, м} = \frac{12348000}{352.8} \, кг = 35000 \, кг$

Полученную массу можно выразить в тоннах:

$35000 \, кг = 35 \, т$

Ответ: можно поднять 35000 кг (35 тонн) воды.

34.1 [803] При каком условии два тела, поднятые на разную высоту, будут обладать одинаковой потенциальной энергией? Массы тел не равны.

Дано:

$E_{p1}$ — потенциальная энергия первого тела
$E_{p2}$ — потенциальная энергия второго тела
$m_1$ — масса первого тела
$m_2$ — масса второго тела
$h_1$ — высота, на которую поднято первое тело
$h_2$ — высота, на которую поднято второе тело
$E_{p1} = E_{p2}$
$h_1 \neq h_2$
$m_1 \neq m_2$

Найти:

Условие, при котором $E_{p1} = E_{p2}$.

Решение:

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли определяется по формуле:

$E_p = mgh$

где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота тела над нулевым уровнем.

Запишем формулу потенциальной энергии для каждого из двух тел:

Для первого тела: $E_{p1} = m_1gh_1$

Для второго тела: $E_{p2} = m_2gh_2$

Согласно условию задачи, потенциальные энергии тел равны:

$E_{p1} = E_{p2}$

Подставим выражения для энергий в это равенство:

$m_1gh_1 = m_2gh_2$

Поскольку ускорение свободного падения $g$ является постоянной величиной для обоих тел (при условии, что они находятся в одной и той же точке планеты), мы можем сократить его в обеих частях уравнения:

$m_1h_1 = m_2h_2$

Это и есть искомое условие. Его можно представить в виде пропорции:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{h_2}{h_1}$

Из этой пропорции видно, что отношение масс тел должно быть обратно пропорционально отношению высот, на которые они подняты. То есть, во сколько раз масса одного тела больше массы другого, во столько же раз высота, на которую оно поднято, должна быть меньше высоты, на которую поднято другое тело.

Ответ: Два тела, поднятые на разную высоту и имеющие разную массу, будут обладать одинаковой потенциальной энергией при условии, что произведение массы первого тела на его высоту равно произведению массы второго тела на его высоту ($m_1h_1 = m_2h_2$), или, что то же самое, отношение масс тел обратно пропорционально отношению их высот ($\frac{m_1}{m_2} = \frac{h_2}{h_1}$).

34.2 [804] На столе лежат мраморный и свинцовый бруски одинакового объёма. Какое из этих тел обладает большей потенциальной энергией относительно пола?

Дано:
Мраморный брусок (м) и свинцовый брусок (с).
Объем мраморного бруска равен объему свинцового бруска: $V_м = V_с = V$.
Бруски лежат на столе, поэтому высота их центров масс относительно пола одинакова: $h_м = h_с = h$.
Плотность мрамора: $\rho_м = 2700 \text{ кг/м}^3$.
Плотность свинца: $\rho_с = 11340 \text{ кг/м}^3$.

Найти:
Сравнить потенциальные энергии брусков $E_{р,м}$ и $E_{р,с}$.

Решение:
Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли определяется формулой $E_p = mgh$, где $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота центра масс тела над нулевым уровнем (в данном случае, над полом).

Запишем выражения для потенциальной энергии каждого бруска:$E_{р,м} = m_м g h$
$E_{р,с} = m_с g h$

Поскольку бруски находятся на одной и той же высоте $h$, и ускорение свободного падения $g$ для них одинаково, то тело с большей массой $m$ будет обладать и большей потенциальной энергией.

Массу тела можно найти через его плотность $\rho$ и объем $V$ по формуле $m = \rho V$. Так как по условию объемы брусков равны ($V_м = V_с = V$), то масса тела прямо пропорциональна его плотности.

Сравним плотности материалов, из которых изготовлены бруски, используя справочные значения:
$\rho_м = 2700 \text{ кг/м}^3$ (мрамор)
$\rho_с = 11340 \text{ кг/м}^3$ (свинец)

Так как плотность свинца больше плотности мрамора ($\rho_с > \rho_м$), то при одинаковом объеме масса свинцового бруска будет больше массы мраморного:$m_с = \rho_с V > \rho_м V = m_м$

Соответственно, потенциальная энергия свинцового бруска больше потенциальной энергии мраморного:$E_{р,с} > E_{р,м}$

Ответ: большей потенциальной энергией относительно пола обладает свинцовый брусок.

34.3 [805] Покинув самолёт, парашютист некоторое время движется с возрастающей скоростью, а затем — с постоянной скоростью. Равную ли механическую работу совершает сила тяжести за одинаковые промежутки времени при таком движении парашютиста? Ответ поясните.

Механическая работа $A$, совершаемая силой, вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$, где $F$ — модуль силы, $s$ — модуль перемещения тела, а $\alpha$ — угол между направлением силы и направлением перемещения.

В данном случае нас интересует работа силы тяжести $F_т = mg$. Эта сила всегда направлена вертикально вниз. Парашютист также движется вертикально вниз, поэтому угол $\alpha$ между силой тяжести и перемещением равен $0^\circ$, а $\cos(0^\circ) = 1$. Таким образом, работа силы тяжести равна $A_т = F_т \cdot \Delta h = mg\Delta h$, где $\Delta h$ — вертикальное перемещение (пройденный путь) за рассматриваемый промежуток времени.

Силу тяжести $mg$ можно считать постоянной в ходе всего падения. Следовательно, работа, совершаемая этой силой за одинаковые промежутки времени $\Delta t$, будет зависеть только от расстояния $\Delta h$, которое парашютист проходит за это время.

Рассмотрим две стадии движения парашютиста:

1. Движение с возрастающей скоростью (ускоренное движение). На этом этапе скорость парашютиста увеличивается. Это означает, что за каждый последующий равный промежуток времени он будет пролетать всё большее расстояние. Например, если взять два последовательных промежутка времени $\Delta t_1$ и $\Delta t_2$ (где $\Delta t_1 = \Delta t_2$), то путь, пройденный за второй промежуток времени ($\Delta h_2$), будет больше пути, пройденного за первый ($\Delta h_1$). Следовательно, и работа силы тяжести будет разной: $A_2 = mg\Delta h_2 > mg\Delta h_1 = A_1$.

2. Движение с постоянной скоростью. На этом этапе парашютист движется равномерно. За любые равные промежутки времени он проходит одинаковое расстояние $\Delta h = v \cdot \Delta t$. В этом случае работа силы тяжести за равные промежутки времени будет одинаковой.

Вопрос относится ко всему процессу движения в целом, который включает в себя участок с переменной скоростью. Если мы сравним работу за один и тот же промежуток времени $\Delta t$ на начальном (ускоренном) и конечном (равномерном) этапах, она не будет одинаковой, так как скорость (а значит, и проходимый путь) на этих этапах разная. Таким образом, в общем случае, при таком движении работа силы тяжести за одинаковые промежутки времени не будет равной.

Ответ: Нет, не равную. Работа силы тяжести зависит от пройденного по вертикали расстояния. Так как скорость парашютиста сначала растет, а потом становится постоянной, то за одинаковые промежутки времени он проходит разное расстояние (на этапе ускорения расстояние увеличивается, на этапе равномерного движения — оно постоянно). Поэтому работа силы тяжести за одинаковые промежутки времени будет одинаковой только на том участке, где скорость постоянна. В общем же случае, рассматривая всё движение, работа не будет одинаковой.

34.4 [807] Сначала кирпич лежал на полу плашмя (рис. IV-53). Затем его поставили вертикально. Изменилась ли при этом потенциальная энергия кирпича относительно пола?

Рис. IV-53

Решение

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли определяется по формуле:

$E_p = mgh$

где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота центра масс тела относительно выбранного нулевого уровня (в данном случае — относительно пола).

Для однородного тела, каким является кирпич, центр масс находится в его геометрическом центре.

1. Когда кирпич лежал на полу плашмя (на самой большой грани), его центр масс находился на некоторой высоте $h_1$ над полом. Эта высота равна половине толщины кирпича.

2. Когда кирпич поставили вертикально, его центр масс переместился вверх. Новая высота центра масс $h_2$ стала равна половине высоты кирпича в вертикальном положении.

Из рисунка и общих представлений о форме кирпича очевидно, что его высота (или длина) значительно больше его толщины. Следовательно, новая высота центра масс больше первоначальной: $h_2 > h_1$.

Поскольку масса кирпича $m$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами, а высота центра масс $h$ увеличилась, то потенциальная энергия кирпича $E_p$ также увеличилась.

Ответ: Да, потенциальная энергия кирпича относительно пола изменилась. Она увеличилась, так как центр масс кирпича в вертикальном положении находится выше, чем в положении плашмя.

34.5 [806] Кирпичи одинаковой массы лежали на полу плашмя. Их подняли и расположили на столе так, как показано на рисунке IV-54. Какой из кирпичей 1—3 приобрёл наибольшую потенциальную энергию относительно поверхности пола? какой — наименьшую? Какой из кирпичей 4—6 обладает наибольшей потенциальной энергией относительно поверхности стола и в каком случае она может проявиться?

Рис. IV-54

Дано:

Кирпичи одинаковой массы $m$.
Начальное положение: кирпичи лежали на полу плашмя.
Конечное положение: кирпичи расположены на столе, как показано на рисунке.

Найти:

1. Какой из кирпичей 1-3 обладает наибольшей, а какой наименьшей потенциальной энергией относительно поверхности пола?
2. Какой из кирпичей 4-6 обладает наибольшей потенциальной энергией относительно поверхности стола?
3. В каком случае может проявиться потенциальная энергия кирпича с наибольшей энергией в стопке?

Решение:

Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли определяется формулой: $E_p = mgh$ где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота центра масс тела над некоторым нулевым уровнем.

Поскольку все кирпичи по условию имеют одинаковую массу $m$, а ускорение свободного падения $g$ является постоянной величиной, потенциальная энергия кирпича $E_p$ прямо пропорциональна высоте его центра масс $h$ над выбранным уровнем отсчета ($E_p \propto h$). Чем выше расположен центр масс кирпича, тем большей потенциальной энергией он обладает.

Какой из кирпичей 1—3 приобрёл наибольшую потенциальную энергию относительно поверхности пола? какой — наименьшую?

Для этого вопроса нулевым уровнем отсчета является поверхность пола. Все три кирпича (1, 2, 3) находятся на столе, то есть на одной и той же базовой высоте. Однако их собственная ориентация в пространстве различна, что влияет на положение их центров масс. Из рисунка видно, что кирпич 1 поставлен на торец (наименьшую по площади грань), поэтому его высота максимальна. Кирпич 3 лежит плашмя (на наибольшей по площади грани), поэтому его высота минимальна. Кирпич 2 занимает промежуточное положение, стоя на боковой грани. Следовательно, центр масс кирпича 1 находится на наибольшей высоте от пола, а центр масс кирпича 3 — на наименьшей.

Ответ: Наибольшую потенциальную энергию относительно пола приобрёл кирпич 1, а наименьшую — кирпич 3.

Какой из кирпичей 4—6 обладает наибольшей потенциальной энергией относительно поверхности стола

Для этого вопроса нулевым уровнем отсчета является поверхность стола. Кирпичи 4, 5 и 6 сложены в стопку, лежа плашмя. Это означает, что центр масс каждого последующего кирпича в стопке находится выше предыдущего. Пусть толщина одного кирпича равна $T$. Центр масс кирпича 4 находится на высоте $h_4 = T/2$ от стола. Центр масс кирпича 5 находится на высоте $h_5 = T + T/2 = 3T/2$ от стола. Центр масс кирпича 6 находится на высоте $h_6 = 2T + T/2 = 5T/2$ от стола. Так как $h_6 > h_5 > h_4$, то самый верхний кирпич (6) обладает наибольшей потенциальной энергией относительно поверхности стола.

Ответ: Наибольшей потенциальной энергией относительно поверхности стола обладает кирпич 6.

и в каком случае она может проявиться?

Потенциальная энергия является "скрытой" энергией положения. Она может проявиться (превратиться в другие виды энергии) при изменении этого положения. Например, если кирпич 6 упадёт со стопки на стол. Во время падения его потенциальная энергия будет преобразовываться в кинетическую энергию (энергию движения). В момент удара о стол кинетическая энергия, в свою очередь, преобразуется в работу по деформации (кирпича и стола), а также в тепловую и звуковую энергию. Таким образом, запасенная потенциальная энергия проявит себя через совершение работы и выделение тепла и звука.

Ответ: Эта энергия может проявиться, например, при падении кирпича со стопки. В этом случае она превратится в кинетическую энергию, а при ударе о стол — в работу, тепло и звук.