Номер 33.16, страница 124 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 33. КПД механизмов. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 33.16, страница 124.

33.16* [799*] По наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1,5 м поднимают груз массой 180 кг. Чему равны полезная работа и КПД, если коэффициент трения равен 0,3?

Дано:

Длина наклонной плоскости $l = 5$ м
Высота наклонной плоскости $h = 1.5$ м
Масса груза $m = 180$ кг
Коэффициент трения $\mu = 0.3$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Полезная работа $A_{полезная}$ - ?
КПД $\eta$ - ?

Решение:

Полезная работа

Полезной работой при подъеме груза является работа, совершаемая против силы тяжести. Она равна изменению потенциальной энергии груза и вычисляется по формуле:

$A_{полезная} = mgh$

Подставим в формулу числовые значения из условия:

$A_{полезная} = 180 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1.5 \text{ м} = 2646 \text{ Дж}$

Ответ: полезная работа равна 2646 Дж.

КПД

Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе, выраженное в процентах:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полная работа $A_{затраченная}$ складывается из полезной работы и работы $A_{трения}$, совершаемой против силы трения:

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения}$

Работу против силы трения найдем по формуле $A_{трения} = F_{тр} \cdot l$, где $F_{тр}$ — сила трения, а $l$ — длина наклонной плоскости.

Сила трения равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры уравновешивает перпендикулярную к плоскости составляющую силы тяжести: $N = mg \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол наклона плоскости.

Для определения $\cos(\alpha)$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наклонной плоскостью, где $l$ — гипотенуза, $h$ — противолежащий катет, а $b$ — прилежащий катет (основание). По теореме Пифагора:

$b = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 1.5^2} = \sqrt{25 - 2.25} = \sqrt{22.75} \text{ м}$

Косинус угла наклона равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{l} = \frac{\sqrt{22.75}}{5}$

Теперь найдем работу, совершаемую против силы трения:

$A_{трения} = \mu \cdot (mg \cos(\alpha)) \cdot l = \mu mg \left(\frac{\sqrt{22.75}}{5}\right) \cdot 5 = \mu mg \sqrt{22.75}$

Подставим числовые значения:

$A_{трения} = 0.3 \cdot 180 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{22.75} \text{ м} \approx 529.2 \cdot 4.7697 \text{ Дж} \approx 2524.3 \text{ Дж}$

Найдем полную затраченную работу:

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения} = 2646 \text{ Дж} + 2524.3 \text{ Дж} = 5170.3 \text{ Дж}$

Теперь можем рассчитать КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\% = \frac{2646 \text{ Дж}}{5170.3 \text{ Дж}} \cdot 100\% \approx 0.5118 \cdot 100\% \approx 51.2\%$

Ответ: КПД равен примерно 51,2%.