Страница 131 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

35.21 [867] Что можно сказать об ускорении, которое испытывает колеблющийся груз, подвешенный на пружине, в момент прохождения положения равновесия?

Решение

Рассмотрим груз, подвешенный на пружине. Положением равновесия называется такое положение груза, в котором векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. В данном случае на груз действуют две основные силы: сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины $F_{упр}$, направленная вертикально вверх.

В положении равновесия эти силы уравновешивают друг друга:

$\vec{F}_{тяж} + \vec{F}_{упр} = 0$

Следовательно, результирующая сила $F_{рез}$, действующая на груз в положении равновесия, равна нулю.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела $a$ прямо пропорционально результирующей силе, приложенной к телу, и обратно пропорционально его массе $m$:

$F_{рез} = ma$

Поскольку в момент прохождения положения равновесия результирующая сила $F_{рез} = 0$, то и ускорение груза в этот момент также будет равно нулю:

$ma = 0 \implies a = 0$

Это можно показать и через уравнение гармонических колебаний. Возвращающая сила для пружинного маятника, колеблющегося около положения равновесия, равна $F_{рез} = -kx$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — смещение от положения равновесия. Тогда ускорение $a = -\frac{k}{m}x$. В положении равновесия смещение $x=0$, следовательно, и ускорение $a=0$. В этот момент скорость колеблющегося груза является максимальной.

Ответ: В момент прохождения положения равновесия ускорение колеблющегося на пружине груза равно нулю.

35.22 [868] В момент начала наблюдения нить маятника длиной $l$ (рис. V-3) образует с вертикалью малый угол $\alpha$, а груз находится в крайнем положении. Можно ли считать угол $\alpha$ начальной фазой колебаний? Как вычислить амплитуду колебаний?

Можно ли считать угол α начальной фазой колебаний?

Нет, угол $ \alpha $ нельзя считать начальной фазой колебаний.

Уравнение гармонических колебаний для углового смещения $ \theta $ маятника можно записать в виде: $ \theta(t) = \theta_{max} \cos(\omega t + \phi_0) $, где $ \theta(t) $ — угловое смещение в момент времени $ t $, $ \theta_{max} $ — амплитуда углового смещения (максимальный угол отклонения), $ \omega $ — циклическая частота колебаний, а $ \phi_0 $ — начальная фаза колебаний. Начальная фаза определяет состояние системы (положение и скорость) в начальный момент времени $ t = 0 $.

Согласно условию задачи, в момент начала наблюдения ($ t = 0 $) груз находится в крайнем положении, а угол отклонения равен $ \alpha $. Крайнее положение — это точка, в которой смещение от положения равновесия максимально, а скорость равна нулю. Следовательно, максимальный угол отклонения $ \theta_{max} $ как раз и равен $ \alpha $.

Подставим эти начальные условия в уравнение колебаний: $ \theta(0) = \theta_{max} \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0) $ $ \alpha = \alpha \cos(\phi_0) $

Из этого равенства следует, что $ \cos(\phi_0) = 1 $, что соответствует начальной фазе $ \phi_0 = 0 $ (или $ 2\pi k $ для целых $ k $).

Таким образом, угол $ \alpha $ является амплитудой угловых колебаний, а начальная фаза при данных условиях равна нулю.

Ответ: Нет. Угол $ \alpha $ является амплитудой угловых колебаний, а начальная фаза колебаний в данном случае равна нулю, так как наблюдение начинается с момента, когда тело находится в крайнем положении.

Как вычислить амплитуду колебаний?

Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение или смещение колеблющегося тела от положения равновесия. В зависимости от контекста, можно говорить об угловой или линейной амплитуде.

Амплитуда угловых колебаний $ \theta_{max} $ прямо дана в условии. Поскольку в начальный момент маятник отклонен на максимальный угол $ \alpha $, то угловая амплитуда и есть этот угол: $ \theta_{max} = \alpha $

Линейная амплитуда $ A $ — это максимальное расстояние, на которое смещается груз от положения равновесия. Чаще всего под этим понимают максимальное смещение по горизонтали. Оно вычисляется через длину нити $ l $ и амплитудный угол $ \alpha $: $ A = l \sin(\alpha) $

Так как в условии сказано, что угол $ \alpha $ мал, можно использовать известное приближение для малых углов (выраженных в радианах): $ \sin(\alpha) \approx \alpha $. В этом случае формула для линейной амплитуды упрощается: $ A \approx l \cdot \alpha $ Эта формула также соответствует амплитуде, измеренной вдоль дуги траектории движения груза.

Ответ: Амплитуда угловых колебаний равна $ \alpha $. Линейную амплитуду колебаний ($ A $) можно вычислить по формуле $ A = l \sin(\alpha) $, где $ l $ — длина нити маятника. Для малых углов $ \alpha $ (выраженных в радианах) можно использовать приближенную формулу $ A \approx l \cdot \alpha $.

35.23 [869] Каково направление равнодействующей сил, приложенных к грузу маятника (см. рис. V-3), когда этот груз находится в крайних положениях; проходит положение равновесия?

Рис. V-3

Решение

На груз маятника действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Равнодействующая этих сил $\vec{F}_р$ является их векторной суммой $\vec{F}_р = m\vec{g} + \vec{T}$ и, согласно второму закону Ньютона, сообщает грузу ускорение $\vec{a}$, так что $\vec{F}_р = m\vec{a}$. Следовательно, направление равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения груза.

Когда груз находится в крайних положениях

В крайних точках траектории, то есть в точках максимального отклонения от положения равновесия, скорость груза на мгновение обращается в нуль ($v=0$). В этот момент ускорение груза направлено по касательной к траектории в сторону положения равновесия. Проанализируем силы. Разложим силу тяжести $m\vec{g}$ на две составляющие: тангенциальную (касательную) $m\vec{g}_t$, направленную перпендикулярно нити, и нормальную $m\vec{g}_n$, направленную вдоль нити.

Поскольку скорость равна нулю, центростремительное (нормальное) ускорение также равно нулю: $a_n = v^2/l = 0$. Это означает, что силы, действующие вдоль нити, скомпенсированы: $T = mg \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол отклонения. Тангенциальная составляющая силы тяжести $m\vec{g}_t$, модуль которой равен $mg \sin\alpha$, не скомпенсирована. Эта сила и является равнодействующей всех сил, приложенных к грузу. Она направлена по касательной к дуге окружности в сторону положения равновесия.

Ответ: В крайних положениях равнодействующая сила направлена по касательной к траектории движения в сторону положения равновесия.

Когда груз проходит положение равновесия

При прохождении положения равновесия (нижней точки траектории) груз имеет максимальную скорость $v_{max}$. В этой точке на груз действуют сила тяжести $m\vec{g}$ (вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}$ (вверх). Поскольку груз движется по дуге окружности, он обладает центростремительным ускорением $a_n = v_{max}^2/l$, направленным к центру окружности, то есть вертикально вверх к точке подвеса. Тангенциальное ускорение в этой точке равно нулю, так как тангенциальная составляющая силы тяжести равна $mg \sin(0) = 0$.

Полное ускорение груза равно центростремительному и направлено вертикально вверх. Следовательно, равнодействующая сила $\vec{F}_р$ также направлена вертикально вверх. Ее модуль равен $F_р = T - mg$. Так как $F_р = ma_n = m(v_{max}^2/l)$, то равнодействующая сила не равна нулю (пока маятник колеблется) и направлена к точке подвеса.

Ответ: При прохождении положения равновесия равнодействующая сила направлена вертикально вверх к точке подвеса.

35.24 [870] Почему на доску качелей встать в полный рост труднее всего в тот момент, когда качели проходят положение равновесия?

Решение

Движение качелей — это движение по дуге окружности. Для такого движения необходимо центростремительное ускорение, направленное к центру окружности (точке подвеса). Это ускорение создаётся равнодействующей всех сил, приложенных к телу.

На человека на качелях действуют две основные силы:

1. Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры $N$ со стороны доски, направленная перпендикулярно доске вверх.

В положении равновесия (самой нижней точке траектории) скорость качелей $v$ максимальна. В этот момент сила реакции опоры $N$ направлена вверх, а сила тяжести $mg$ — вниз. Равнодействующая этих сил $F = N - mg$ сообщает человеку центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $R$ — длина качелей. Согласно второму закону Ньютона:

$N - mg = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда сила реакции опоры равна:

$N = mg + m \frac{v^2}{R}$

Эта сила $N$ определяет, насколько сильно человек прижат к доске. Чтобы встать, человеку нужно преодолеть именно эту силу, приложив мышечное усилие. Поскольку в положении равновесия скорость $v$ максимальна, то и сила реакции опоры $N$ также максимальна. Человек испытывает перегрузку, его ощущаемый "вес" увеличивается.

Для сравнения, в крайних точках траектории скорость качелей равна нулю ($v=0$), поэтому центростремительное ускорение отсутствует, и сила реакции опоры $N$ в этот момент минимальна (она меньше силы тяжести $mg$).

Следовательно, встать в полный рост труднее всего в тот момент, когда сила, прижимающая человека к качелям, максимальна, то есть при прохождении положения равновесия.

Ответ: В момент прохождения положения равновесия скорость качелей максимальна, что приводит к максимальному центростремительному ускорению. Из-за этого сила реакции опоры, действующая на человека, становится больше его силы тяжести ($N = mg + mv^2/R$). Эта увеличенная сила (перегрузка) прижимает человека к доске, и для того, чтобы встать, требуется приложить наибольшее усилие.

35.25 [87] Чему равен период колебания математического маятника, если длина нити равна 9,8 м?

35.25 [871]

Дано:

Длина нити маятника $l = 9,8 \text{ м}$
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Период колебаний $T$

Решение:

Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле Гюйгенса:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
где $l$ – это длина нити маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Подставим данные из условия задачи в эту формулу:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{9,8 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}}$

Упростим выражение под корнем:
$T = 2\pi\sqrt{1 \text{ с}^2}$

Извлекая корень, получаем:
$T = 2\pi \text{ с}$

Чтобы найти численное значение, примем $\pi \approx 3,14$:
$T \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28 \text{ с}$

Ответ: период колебания математического маятника равен $2\pi$ секунд, что приблизительно составляет $6,28$ с.

35.26 [872] Два математических маятника совершают свободные колебания. Графики зависимости смещения от времени представлены на рисунке V-4. Определите период колебания каждого из маятников и отношение длин маятников.

Для решения задачи необходимо проанализировать графики зависимости смещения от времени, представленные на рисунке V-4. Поскольку сам рисунок отсутствует, решение будет основано на общем методе анализа таких графиков с использованием гипотетических, но правдоподобных данных.

Предположим, на графике (рисунок V-4) по горизонтальной оси отложено время $t$ в секундах, а по вертикальной — смещение $x$. Пусть из графиков следует, что за один и тот же промежуток времени, например $t = 12$ с, первый маятник совершает $N_1 = 4$ полных колебания, а второй маятник — $N_2 = 3$ полных колебания.

Дано:

Найти:

Решение:

Определение периода колебания каждого из маятников

Период колебаний ($T$) — это физическая величина, равная времени, за которое система совершает одно полное колебание. Он рассчитывается по формуле: $T = \frac{t}{N}$ где $t$ — общее время наблюдения, а $N$ — число полных колебаний за это время.

Найдем период для первого маятника:
$T_1 = \frac{t}{N_1} = \frac{12 \text{ с}}{4} = 3 \text{ с}$

Найдем период для второго маятника:
$T_2 = \frac{t}{N_2} = \frac{12 \text{ с}}{3} = 4 \text{ с}$

Ответ: Период колебаний первого маятника $T_1 = 3$ с, период колебаний второго маятника $T_2 = 4$ с.

Определение отношения длин маятников

Период колебаний математического маятника связан с его длиной $l$ и ускорением свободного падения $g$ по формуле Гюйгенса:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Чтобы найти отношение длин, выразим длину $l$ из этой формулы. Для этого возведем обе части равенства в квадрат:
$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$
Отсюда длина маятника равна:
$l = g \frac{T^2}{4\pi^2}$

Из этой формулы следует, что длина маятника прямо пропорциональна квадрату периода его колебаний ($l \sim T^2$).

Теперь мы можем найти отношение длин маятников, разделив выражение для $l_1$ на выражение для $l_2$:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{g \frac{T_1^2}{4\pi^2}}{g \frac{T_2^2}{4\pi^2}} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$

Подставим в полученное выражение найденные значения периодов:
$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{3 \text{ с}}{4 \text{ с}}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

$\frac{l_1}{l_2} = 0.5625$

Ответ: Отношение длин маятников $\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{16}$ или 0,5625.

35.27 [н] По данным рисунка V-4 составьте уравнения гармонических колебаний маятников в виде $x = x_{\text{max}} \sin \left(\frac{2\pi}{T}t + \varphi_0\right)$ и вычислите значение смещения от положения равновесия в момент времени $t = 1 \text{ с}$.

Рис. V-4

Дано:

Графики зависимости смещения от времени для двух маятников A и B.
Требуемый вид уравнения: $x = x_{max} \sin(\frac{2\pi}{T}t + \phi_0)$.
Момент времени для вычисления смещения: $t = 1$ с.

Найти:

Для каждого маятника:
1. Составить уравнение гармонических колебаний.
2. Вычислить значение смещения $x$ в момент времени $t = 1$ с.

Решение:

Для составления уравнения гармонических колебаний необходимо определить из графика амплитуду ($x_{max}$), период ($T$) и начальную фазу ($\phi_0$) для каждого маятника.

A

1. Амплитуда ($x_{maxA}$). Это максимальное значение смещения по оси $x$. Из графика видно, что пиковое значение для кривой А составляет 80 см. Таким образом, $x_{maxA} = 80$ см.

2. Период ($T_A$). Это время, за которое совершается одно полное колебание. Маятник А начинает движение из положения равновесия ($t=0, x=0$), достигает максимума, возвращается в положение равновесия, достигает минимума и снова возвращается в исходную точку с тем же направлением движения. Полный цикл завершается в момент времени $t=4$ с. Следовательно, $T_A = 4$ с.

3. Начальная фаза ($\phi_{0A}$). В начальный момент времени $t = 0$ смещение $x = 0$, и маятник движется в сторону увеличения координаты $x$ (график идет вверх). Подставим $t=0$ и $x=0$ в общее уравнение: $0 = x_{maxA} \sin(\phi_{0A})$, что означает $\sin(\phi_{0A}) = 0$. Возможные значения фазы: $\phi_{0A} = 0$ или $\phi_{0A} = \pi$. Скорость колебаний $v(t)$ пропорциональна $\cos(\frac{2\pi}{T}t + \phi_0)$. Поскольку в начальный момент скорость положительна ($v(0)>0$), то $\cos(\phi_{0A})$ должен быть положительным. Этому условию удовлетворяет значение $\phi_{0A} = 0$, так как $\cos(0) = 1$.

Подставляем найденные значения в общую формулу, чтобы получить уравнение колебаний для маятника А (смещение $x$ в см): $x_A(t) = 80 \sin(\frac{2\pi}{4}t + 0) = 80 \sin(\frac{\pi}{2}t)$.

Теперь вычислим смещение маятника А в момент времени $t = 1$ с: $x_A(1) = 80 \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1) = 80 \sin(\frac{\pi}{2}) = 80 \cdot 1 = 80$ см.

Ответ: Уравнение колебаний: $x_A(t) = 80 \sin(\frac{\pi}{2}t)$ (см). Смещение в момент времени $t=1$ с: $x(1) = 80$ см.

B

1. Амплитуда ($x_{maxB}$). Максимальное значение смещения для кривой B составляет 40 см. Таким образом, $x_{maxB} = 40$ см.

2. Период ($T_B$). Маятник B начинает движение из положения равновесия ($t=0, x=0$) и завершает один полный цикл колебаний в момент времени $t=8$ с. Следовательно, $T_B = 8$ с.

3. Начальная фаза ($\phi_{0B}$). В начальный момент времени $t = 0$ смещение $x = 0$, но маятник движется в сторону уменьшения координаты $x$ (график идет вниз). Как и для маятника А, из условия $x(0)=0$ следует, что $\sin(\phi_{0B}) = 0$, то есть $\phi_{0B} = 0$ или $\phi_{0B} = \pi$. Поскольку начальная скорость отрицательна ($v(0)<0$), то $\cos(\phi_{0B})$ должен быть отрицательным. Этому условию удовлетворяет значение $\phi_{0B} = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$.

Подставляем найденные значения, чтобы получить уравнение колебаний для маятника B (смещение $x$ в см): $x_B(t) = 40 \sin(\frac{2\pi}{8}t + \pi) = 40 \sin(\frac{\pi}{4}t + \pi)$.

Вычислим смещение маятника B в момент времени $t = 1$ с: $x_B(1) = 40 \sin(\frac{\pi}{4} \cdot 1 + \pi) = 40 \sin(\frac{5\pi}{4})$. Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$, получаем: $x_B(1) = -40 \sin(\frac{\pi}{4}) = -40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -20\sqrt{2}$ см. Приближенное значение: $x_B(1) \approx -20 \cdot 1.414 \approx -28.3$ см.

Ответ: Уравнение колебаний: $x_B(t) = 40 \sin(\frac{\pi}{4}t + \pi)$ (см). Смещение в момент времени $t=1$ с: $x(1) = -20\sqrt{2}$ см (приблизительно $-28.3$ см).

35.28 [873] Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного падения в данном месте поверхности Земли? (Можно принять $\pi^2 \approx 9,87$.)

Дано:

Длина маятника, $l = 0,99 \text{ м}$
Число полных колебаний, $N = 50$
Время колебаний, $t = 1 \text{ мин } 40 \text{ с}$
$\pi^2 \approx 9,87$

Перевод в систему СИ:
$t = 1 \cdot 60 \text{ с} + 40 \text{ с} = 100 \text{ с}$

Найти:

Ускорение свободного падения, $g$ - ?

Решение:

Период колебаний $T$ – это время одного полного колебания. Мы можем вычислить его, разделив общее время колебаний $t$ на количество колебаний $N$.

$T = \frac{t}{N}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T = \frac{100 \text{ с}}{50} = 2 \text{ с}$

Период колебаний математического маятника также описывается формулой Гюйгенса, которая связывает период с длиной маятника $l$ и ускорением свободного падения $g$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Для того чтобы найти ускорение свободного падения $g$, необходимо выразить его из этой формулы. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} = 4\pi^2\frac{l}{g}$

Теперь выразим $g$:

$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Подставим в полученное выражение все известные величины: $l = 0,99 \text{ м}$, $T = 2 \text{ с}$ и данное значение $\pi^2 \approx 9,87$.

$g = \frac{4 \cdot 9,87 \cdot 0,99 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{4 \cdot 9,87 \cdot 0,99}{4} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Сократив 4 в числителе и знаменателе, получим:

$g = 9,87 \cdot 0,99 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 9,7713 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округлим полученный результат до сотых.

$g \approx 9,77 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение свободного падения в данном месте равно приблизительно $9,77 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.