Номер 35.27, страница 131 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.27, страница 131.

35.27 [н] По данным рисунка V-4 составьте уравнения гармонических колебаний маятников в виде $x = x_{\text{max}} \sin \left(\frac{2\pi}{T}t + \varphi_0\right)$ и вычислите значение смещения от положения равновесия в момент времени $t = 1 \text{ с}$.

Рис. V-4

Дано:

Графики зависимости смещения от времени для двух маятников A и B.
Требуемый вид уравнения: $x = x_{max} \sin(\frac{2\pi}{T}t + \phi_0)$.
Момент времени для вычисления смещения: $t = 1$ с.

Найти:

Для каждого маятника:
1. Составить уравнение гармонических колебаний.
2. Вычислить значение смещения $x$ в момент времени $t = 1$ с.

Решение:

Для составления уравнения гармонических колебаний необходимо определить из графика амплитуду ($x_{max}$), период ($T$) и начальную фазу ($\phi_0$) для каждого маятника.

A

1. Амплитуда ($x_{maxA}$). Это максимальное значение смещения по оси $x$. Из графика видно, что пиковое значение для кривой А составляет 80 см. Таким образом, $x_{maxA} = 80$ см.

2. Период ($T_A$). Это время, за которое совершается одно полное колебание. Маятник А начинает движение из положения равновесия ($t=0, x=0$), достигает максимума, возвращается в положение равновесия, достигает минимума и снова возвращается в исходную точку с тем же направлением движения. Полный цикл завершается в момент времени $t=4$ с. Следовательно, $T_A = 4$ с.

3. Начальная фаза ($\phi_{0A}$). В начальный момент времени $t = 0$ смещение $x = 0$, и маятник движется в сторону увеличения координаты $x$ (график идет вверх). Подставим $t=0$ и $x=0$ в общее уравнение: $0 = x_{maxA} \sin(\phi_{0A})$, что означает $\sin(\phi_{0A}) = 0$. Возможные значения фазы: $\phi_{0A} = 0$ или $\phi_{0A} = \pi$. Скорость колебаний $v(t)$ пропорциональна $\cos(\frac{2\pi}{T}t + \phi_0)$. Поскольку в начальный момент скорость положительна ($v(0)>0$), то $\cos(\phi_{0A})$ должен быть положительным. Этому условию удовлетворяет значение $\phi_{0A} = 0$, так как $\cos(0) = 1$.

Подставляем найденные значения в общую формулу, чтобы получить уравнение колебаний для маятника А (смещение $x$ в см): $x_A(t) = 80 \sin(\frac{2\pi}{4}t + 0) = 80 \sin(\frac{\pi}{2}t)$.

Теперь вычислим смещение маятника А в момент времени $t = 1$ с: $x_A(1) = 80 \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1) = 80 \sin(\frac{\pi}{2}) = 80 \cdot 1 = 80$ см.

Ответ: Уравнение колебаний: $x_A(t) = 80 \sin(\frac{\pi}{2}t)$ (см). Смещение в момент времени $t=1$ с: $x(1) = 80$ см.

B

1. Амплитуда ($x_{maxB}$). Максимальное значение смещения для кривой B составляет 40 см. Таким образом, $x_{maxB} = 40$ см.

2. Период ($T_B$). Маятник B начинает движение из положения равновесия ($t=0, x=0$) и завершает один полный цикл колебаний в момент времени $t=8$ с. Следовательно, $T_B = 8$ с.

3. Начальная фаза ($\phi_{0B}$). В начальный момент времени $t = 0$ смещение $x = 0$, но маятник движется в сторону уменьшения координаты $x$ (график идет вниз). Как и для маятника А, из условия $x(0)=0$ следует, что $\sin(\phi_{0B}) = 0$, то есть $\phi_{0B} = 0$ или $\phi_{0B} = \pi$. Поскольку начальная скорость отрицательна ($v(0)<0$), то $\cos(\phi_{0B})$ должен быть отрицательным. Этому условию удовлетворяет значение $\phi_{0B} = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$.

Подставляем найденные значения, чтобы получить уравнение колебаний для маятника B (смещение $x$ в см): $x_B(t) = 40 \sin(\frac{2\pi}{8}t + \pi) = 40 \sin(\frac{\pi}{4}t + \pi)$.

Вычислим смещение маятника B в момент времени $t = 1$ с: $x_B(1) = 40 \sin(\frac{\pi}{4} \cdot 1 + \pi) = 40 \sin(\frac{5\pi}{4})$. Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$, получаем: $x_B(1) = -40 \sin(\frac{\pi}{4}) = -40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -20\sqrt{2}$ см. Приближенное значение: $x_B(1) \approx -20 \cdot 1.414 \approx -28.3$ см.

Ответ: Уравнение колебаний: $x_B(t) = 40 \sin(\frac{\pi}{4}t + \pi)$ (см). Смещение в момент времени $t=1$ с: $x(1) = -20\sqrt{2}$ см (приблизительно $-28.3$ см).