Номер 35.29, страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.29, страница 132.

35.29 [874] Во сколько раз надо изменить длину математического маятника, чтобы период колебания изменился в 2 раза?

Дано:

Изменение периода колебаний: $\frac{T_2}{T_1} = 2$ или $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$

Найти:

Отношение длин маятника: $\frac{l_2}{l_1}$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле: $$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$ где $T$ – период колебаний, $l$ – длина нити маятника, $g$ – ускорение свободного падения.

Запишем формулу для начального состояния маятника (с периодом $T_1$ и длиной $l_1$) и для конечного состояния (с периодом $T_2$ и длиной $l_2$): $$ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} $$ $$ T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} $$

Чтобы найти, как связана длина с периодом, разделим второе уравнение на первое: $$ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} = \sqrt{\frac{l_2/g}{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} $$

Из этого соотношения видно, что период прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника. Чтобы выразить отношение длин, возведем обе части равенства в квадрат: $$ \frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 $$

Условие "период колебания изменился в 2 раза" может означать как его увеличение, так и уменьшение. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: Период увеличился в 2 раза

В этом случае отношение периодов $\frac{T_2}{T_1} = 2$. Подставим это значение в полученную формулу для отношения длин: $$ \frac{l_2}{l_1} = (2)^2 = 4 $$ Следовательно, чтобы период колебаний увеличился в 2 раза, длину маятника необходимо увеличить в 4 раза.

Случай 2: Период уменьшился в 2 раза

В этом случае отношение периодов $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулу: $$ \frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ Следовательно, чтобы период колебаний уменьшился в 2 раза, длину маятника необходимо уменьшить в 4 раза.

Оба случая показывают, что для изменения периода в 2 раза, длину маятника нужно изменить в 4 раза.

Ответ: длину математического маятника надо изменить в 4 раза.