Номер 35.31, страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.31, страница 132.

35.31* [876*] В покоящейся ракете колеблется математический маятник. При движении ракеты вверх с некоторым ускорением период колебания маятника уменьшился вдвое. Во сколько раз ускорение, с которым движется ракета, больше ускорения свободного падения?

Дано:

$T_1$ - период колебаний в покоящейся ракете.

$T_2$ - период колебаний в ракете, движущейся с ускорением.

$a$ - ускорение ракеты, направленное вертикально вверх.

$g$ - ускорение свободного падения.

$T_2 = \frac{T_1}{2}$

Найти:

Во сколько раз ускорение ракеты $a$ больше ускорения свободного падения $g$, то есть найти отношение $\frac{a}{g}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$

где $l$ — длина маятника, а $g_{эфф}$ — эффективное ускорение, действующее на маятник.

1. Когда ракета покоится, на маятник действует только ускорение свободного падения. Следовательно, эффективное ускорение равно $g_{эфф1} = g$. Период колебаний $T_1$ в этом случае составляет:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

2. Когда ракета движется вверх с ускорением $a$, на маятник в неинерциальной системе отсчета, связанной с ракетой, действует сила тяжести, направленная вниз, и сила инерции, также направленная вниз. В результате вес маятника увеличивается. Эффективное ускорение $g_{эфф2}$ становится равным сумме ускорения свободного падения и ускорения ракеты:

$g_{эфф2} = g + a$

Период колебаний $T_2$ в движущейся ракете будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$

3. Согласно условию задачи, период колебаний при движении ракеты уменьшился вдвое: $T_2 = \frac{T_1}{2}$. Подставим выражения для периодов $T_1$ и $T_2$ в это соотношение:

$2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Сократим общие множители $2\pi\sqrt{l}$ в обеих частях уравнения:

$\sqrt{\frac{1}{g+a}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{g}}$

Чтобы избавиться от знаков корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{1}{g+a} = \frac{1}{4g}$

Из этого равенства следует:

$g+a = 4g$

Теперь выразим ускорение ракеты $a$:

$a = 4g - g$

$a = 3g$

Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем искомое отношение:

$\frac{a}{g} = \frac{3g}{g} = 3$

Ответ: ускорение, с которым движется ракета, в 3 раза больше ускорения свободного падения.