Номер 35.32, страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.32, страница 132.

35.32 [877] Груз массой 50 г, прикрепленный к пружине, жёсткость которой равна 0,49 Н/м, совершает колебания. Какой длины надо взять математический маятник, чтобы его частота колебаний была равна частоте колебаний пружинного маятника? Период колебания пружинного маятника вычисляется по формуле $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Дано:

Масса груза, $m = 50$ г

Жёсткость пружины, $k = 0,49$ Н/м

$m = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$

Найти:

Длину математического маятника, $l$.

Решение:

По условию задачи, частота колебаний математического маятника ($ν_{мат}$) должна быть равна частоте колебаний пружинного маятника ($ν_{пружин}$).

Частота $ν$ и период $T$ колебаний связаны соотношением $ν = \frac{1}{T}$. Следовательно, если частоты равны, то равны и периоды:

$T_{мат} = T_{пружин}$

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле, данной в условии:

$T_{пружин} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T_{мат} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — искомая длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения, которое примем равным $g \approx 9,8$ м/с².

Приравнивая выражения для периодов, получаем уравнение:

$2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$\sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{\frac{m}{k}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$\frac{l}{g} = \frac{m}{k}$

Из этого равенства выражаем длину математического маятника $l$:

$l = \frac{m \cdot g}{k}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведём вычисления:

$l = \frac{0,05 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²}}{0,49 \text{ Н/м}} = \frac{0,49 \text{ Н}}{0,49 \text{ Н/м}} = 1 \text{ м}$

Ответ: длина математического маятника должна быть равна 1 м.