Номер 35.39, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.39, страница 133.

35.39* [884*] Груз, подвешенный на пружине жёсткостью 1 кН/м, колеблется с амплитудой 2 см по закону $x=A \sin (\omega t + \varphi_0)$. Определите потенциальную и кинетическую энергии при фазе $\pi/6$ рад.

Дано:

Жесткость пружины, $k = 1 \text{ кН/м} = 1 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 1000 \text{ Н/м}$
Амплитуда колебаний, $A = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Закон колебаний: $x = A \sin(\omega t + \varphi_0)$
Фаза колебаний, $\varphi = \omega t + \varphi_0 = \pi/6 \text{ рад}$

Найти:

Потенциальную энергию $E_п$ и кинетическую энергию $E_к$ при заданной фазе.

Решение:

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется его деформацией (смещением от положения равновесия $x$): $E_п = \frac{kx^2}{2}$

Смещение $x$ в любой момент времени описывается заданным уравнением $x = A \sin(\omega t + \varphi_0)$. Фаза колебаний $(\omega t + \varphi_0)$ в рассматриваемый момент равна $\pi/6$. Найдем смещение груза в этот момент: $x = A \sin(\frac{\pi}{6}) = 0.02 \cdot \frac{1}{2} = 0.01 \text{ м}$

Теперь можем рассчитать потенциальную энергию: $E_п = \frac{1000 \text{ Н/м} \cdot (0.01 \text{ м})^2}{2} = \frac{1000 \cdot 0.0001}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \text{ Дж}$

Кинетическую энергию можно найти, используя закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия гармонического осциллятора постоянна и равна максимальной потенциальной энергии (когда смещение равно амплитуде): $E_{полн} = \frac{kA^2}{2}$

Рассчитаем полную энергию системы: $E_{полн} = \frac{1000 \text{ Н/м} \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = \frac{1000 \cdot 0.0004}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \text{ Дж}$

Полная энергия в любой момент времени является суммой кинетической и потенциальной энергий: $E_{полн} = E_к + E_п$

Отсюда выразим кинетическую энергию: $E_к = E_{полн} - E_п$

Подставим вычисленные значения: $E_к = 0.2 \text{ Дж} - 0.05 \text{ Дж} = 0.15 \text{ Дж}$

Ответ: потенциальная энергия $E_п = 0.05 \text{ Дж}$; кинетическая энергия $E_к = 0.15 \text{ Дж}$.