Страница 128 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

34.39 [н] На рисунке IV-57, а и б «забыли»: 1) изобразить графики полной механической энергии свободно падающего тела; 2) обозначить графики потенциальной и кинетической энергии; 3) указать параметры одной из осей координат. Исправьте эту «оплошность», сделав правильный рисунок у себя в тетради.

a) $E$

$E_К, E_П$

$0$

б) $E$

$E_К, E_П$

$0$

Рис. IV-57

Рассмотрим движение свободно падающего тела, которое начинает падение без начальной скорости с некоторой высоты $H$. В этом случае, пренебрегая сопротивлением воздуха, полная механическая энергия тела сохраняется.

Полная механическая энергия $E$ представляет собой сумму кинетической энергии $E_к$ и потенциальной энергии $E_п$:

$E = E_к + E_п = const$

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_к = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли определяется как $E_п = mgh$, где $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота тела над нулевым уровнем (например, поверхностью Земли).

Исправим ошибки на предложенных рисунках.

Рисунок IV-57, а

На данном графике зависимости энергии представлены кривыми линиями, что характерно для зависимости от времени падения $t$.

1) Изобразить график полной механической энергии.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия $E$ остается постоянной на протяжении всего падения. Поэтому ее график — это горизонтальная прямая линия на уровне максимального значения энергии.

2) Обозначить графики потенциальной и кинетической энергии.

В начальный момент времени ($t=0$) тело покоится на максимальной высоте $H$, поэтому его потенциальная энергия максимальна ($E_п = mgH$), а кинетическая энергия равна нулю ($E_к = 0$). С течением времени тело падает, его высота $h$ уменьшается, а скорость $v$ увеличивается. Следовательно, потенциальная энергия будет уменьшаться, а кинетическая — возрастать.

Зависимости энергии от времени $t$ выглядят так:

• Потенциальная энергия: $E_п(t) = mg(H - \frac{gt^2}{2})$. Это убывающая функция, график которой — ветвь параболы, направленная вниз.
• Кинетическая энергия: $E_к(t) = \frac{m(gt)^2}{2} = \frac{mg^2t^2}{2}$. Это возрастающая функция, график которой — ветвь параболы, направленная вверх и выходящая из начала координат.

Следовательно, убывающая кривая на графике (а) — это $E_п$, а возрастающая — $E_к$.

3) Указать параметры одной из осей координат.

Горизонтальная ось представляет собой время $t$, измеряемое в секундах (с). Вертикальная ось — энергия $E$, измеряемая в джоулях (Дж).

Ответ: На рисунке а) по горизонтальной оси отложено время $t$. Убывающая параболическая кривая — это график потенциальной энергии $E_п$. Возрастающая параболическая кривая — это график кинетической энергии $E_к$. График полной механической энергии $E$ — это горизонтальная прямая, проведенная от максимального значения на оси энергии.

Рисунок IV-57, б

На этом графике зависимости энергии линейны. Такая зависимость характерна для изменения энергии в зависимости от высоты $h$.

1) Изобразить график полной механической энергии.

Как и в предыдущем случае, график полной механической энергии $E$ — это горизонтальная прямая, так как энергия сохраняется.

2) Обозначить графики потенциальной и кинетической энергии.

Рассмотрим зависимость энергий от высоты $h$, отсчитываемой от земли (нулевой уровень).

• Потенциальная энергия: $E_п(h) = mgh$. Это прямая пропорциональность, график которой — прямая линия, выходящая из начала координат (при $h=0, E_п=0$).
• Кинетическая энергия: из закона сохранения $E = E_к + E_п = mgH$ (где $H$ — начальная высота) следует, что $E_к(h) = mgH - mgh = mg(H-h)$. Это убывающая линейная функция. При $h=0$ кинетическая энергия максимальна ($E_к = mgH$), а при $h=H$ она равна нулю.

Следовательно, возрастающая прямая на графике (б) — это $E_п$, а убывающая прямая — $E_к$.

3) Указать параметры одной из осей координат.

Горизонтальная ось представляет собой высоту $h$, измеряемую в метрах (м). Вертикальная ось — энергия $E$, измеряемая в джоулях (Дж).

Ответ: На рисунке б) по горизонтальной оси отложена высота $h$. Возрастающая прямая — это график потенциальной энергии $E_п$. Убывающая прямая — это график кинетической энергии $E_к$. График полной механической энергии $E$ — это горизонтальная прямая, соединяющая максимальные значения на оси энергии.

34.40* [839*] Тело массой 2 кг соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в петлю радиусом 1 м (рис. IV-58). Какой потенциальной энергией должно обладать тело в начальный момент, чтобы описать полную окружность? С какой высоты $h_0$ оно должно соскальзывать? (Трение считайте ничтожно малым.)

Рис. IV-58

Дано:

$m = 2$ кг
$R = 1$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, м/с^2$.

Найти:

$E_{p0}$ - начальная потенциальная энергия
$h_0$ - начальная высота

Решение:

Чтобы тело смогло описать полную окружность, оно не должно отрываться от поверхности в верхней точке петли. Это означает, что сила реакции опоры $N$ в верхней точке должна быть больше или равна нулю ($N \ge 0$). Минимальная начальная энергия, необходимая для прохождения петли, соответствует минимально возможной скорости $v$ в верхней точке, при которой тело еще не отрывается от опоры. Это предельное условие достигается, когда сила реакции опоры становится равной нулю ($N = 0$).

Запишем второй закон Ньютона для тела в верхней точке петли, направив ось Y вертикально вниз. На тело действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $N$, обе направлены вниз. Их сумма создает центростремительное ускорение:

$mg + N = \frac{mv^2}{R}$

При минимальной скорости $v_{min}$ в верхней точке, $N = 0$, следовательно:

$mg = \frac{mv_{min}^2}{R}$

Отсюда можем найти квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$v_{min}^2 = gR$

Поскольку по условию задачи трением можно пренебречь, для системы будет выполняться закон сохранения полной механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнюю точку петли (горизонтальную поверхность).

Полная механическая энергия тела в начальный момент на высоте $h_0$ (тело покоится, $v_0 = 0$):

$E_0 = E_{p0} + E_{k0} = mgh_0 + 0 = mgh_0$

Полная механическая энергия тела в верхней точке петли (на высоте $h = 2R$):

$E_{top} = E_{p,top} + E_{k,top} = mg(2R) + \frac{mv_{min}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии $E_0 = E_{top}$:

$mgh_0 = mg(2R) + \frac{mv_{min}^2}{2}$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $v_{min}^2 = gR$:

$mgh_0 = 2mgR + \frac{m(gR)}{2} = 2.5mgR$

Данное уравнение связывает начальную высоту $h_0$ (а значит, и начальную потенциальную энергию $E_{p0} = mgh_0$) с параметрами петли.

Какой потенциальной энергией должно обладать тело в начальный момент, чтобы описать полную окружность?

Начальная потенциальная энергия тела равна его полной механической энергии в начальный момент, $E_{p0} = mgh_0$. Из закона сохранения энергии мы получили:

$E_{p0} = 2.5mgR$

Подставим числовые значения из условия:

$E_{p0} = 2.5 \cdot 2 \, кг \cdot 9.8 \, м/с^2 \cdot 1 \, м = 5 \cdot 9.8 \, Дж = 49 \, Дж$

Ответ: 49 Дж.

С какой высоты $h_0$ оно должно соскальзывать?

Для нахождения высоты $h_0$ воспользуемся уравнением $mgh_0 = 2.5mgR$. Сократив $mg$ в обеих частях, получим:

$h_0 = 2.5R$

Подставим значение радиуса $R$:

$h_0 = 2.5 \cdot 1 \, м = 2.5 \, м$

Ответ: 2.5 м.

34.41* [н] Тело малых размеров соскальзывает без трения с горки высотой $H$ по склону, заканчивающемуся горизонтальным трамплином высотой $h$ над поверхностью земли. Докажите, что дальность полёта тела максимальна, если высота трамплина равна половине высоты горки. Чему равна дальность полёта при этом условии?

Дано:

$H$ – высота горки
$h$ – высота трамплина
Трение отсутствует.

Найти:

1. Доказать, что дальность полета $L$ максимальна при $h = \frac{H}{2}$.
2. $L_{max}$ – максимальная дальность полета.

Решение:

Сначала найдем общую зависимость дальности полета $L$ от высоты трамплина $h$.

По закону сохранения энергии для тела, соскальзывающего с высоты $H$ на высоту $h$, его начальная потенциальная энергия $mgH$ (относительно уровня земли) переходит в потенциальную энергию $mgh$ и кинетическую энергию $\frac{mv^2}{2}$ на трамплине:
$mgH = mgh + \frac{mv^2}{2}$
Отсюда находим скорость $v$ тела в момент отрыва от трамплина:
$g(H-h) = \frac{v^2}{2} \implies v = \sqrt{2g(H-h)}$

После отрыва от трамплина тело совершает горизонтальный полет с высоты $h$. Движение тела можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали со скоростью $v$ и равноускоренного падения по вертикали без начальной скорости.
Время полета $t$ определяется высотой $h$:
$h = \frac{gt^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Дальность полета $L$ равна произведению горизонтальной скорости на время полета:
$L = v \cdot t = \sqrt{2g(H-h)} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{4h(H-h)}$
Итак, дальность полета как функция от высоты трамплина имеет вид:
$L(h) = 2\sqrt{Hh - h^2}$

Докажите, что дальность полета тела максимальна, если высота трамплина равна половине высоты горки.

Для нахождения максимального значения функции $L(h)$ нужно найти ее экстремум. Функция $L(h)$ достигает максимума в той же точке, что и подкоренное выражение $f(h) = Hh - h^2$, поскольку квадратный корень является монотонно возрастающей функцией.
Найдем производную функции $f(h)$ по переменной $h$ и приравняем ее к нулю:
$f'(h) = \frac{d}{dh}(Hh - h^2) = H - 2h$
$f'(h) = 0 \implies H - 2h = 0 \implies h = \frac{H}{2}$
Для проверки того, что это точка максимума, найдем вторую производную:
$f''(h) = -2$
Так как $f''(h) < 0$, то при $h = \frac{H}{2}$ функция $f(h)$, а следовательно и дальность полета $L(h)$, достигает своего максимального значения.

Ответ: Максимум функции дальности полета $L(h) = 2\sqrt{Hh - h^2}$ достигается при выполнении условия $h = \frac{H}{2}$, что и требовалось доказать.

Чему равна дальность полёта при этом условии?

Для нахождения максимальной дальности полета $L_{max}$ подставим найденное значение $h = \frac{H}{2}$ в выражение для $L(h)$:
$L_{max} = L\left(\frac{H}{2}\right) = 2\sqrt{H\left(\frac{H}{2}\right) - \left(\frac{H}{2}\right)^2} = 2\sqrt{\frac{H^2}{2} - \frac{H^2}{4}} = 2\sqrt{\frac{H^2}{4}}$
$L_{max} = 2 \cdot \frac{H}{2} = H$

Ответ: $L_{max} = H$.

34.42 [840] Мяч массой 200 г бросили вертикально вверх с высоты 1,5 м над поверхностью земли с такой скоростью, что кинетическая энергия мяча превосходила его потенциальную энергию в 4 раза. Не учитывая трение, определите механическую энергию и скорость мяча в конце полёта. Изменятся ли результаты вычислений, если бросок будет произведён в горизонтальном направлении?

Дано:

Масса мяча: $m = 200 \text{ г}$
Начальная высота: $h_1 = 1.5 \text{ м}$
Соотношение энергий: $E_{k1} = 4 E_{p1}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$E - ?$ (полная механическая энергия)
$v_2 - ?$ (скорость в конце полёта)
Изменятся ли результаты при горизонтальном броске?

Решение:

определите механическую энергию и скорость мяча в конце полёта

1. Вычислим начальную потенциальную энергию мяча ($E_{p1}$) на высоте $h_1$ относительно поверхности земли, которую примем за нулевой уровень потенциальной энергии.

$E_{p1} = m g h_1 = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1.5 \text{ м} = 2.94 \text{ Дж}$

2. Согласно условию задачи, начальная кинетическая энергия ($E_{k1}$) в 4 раза превосходит начальную потенциальную:

$E_{k1} = 4 \cdot E_{p1} = 4 \cdot 2.94 \text{ Дж} = 11.76 \text{ Дж}$

3. Полная механическая энергия ($E$) является суммой кинетической и потенциальной энергий. Поскольку трением можно пренебречь, для системы "мяч-Земля" выполняется закон сохранения механической энергии, то есть полная энергия остается постоянной на протяжении всего полета.

$E = E_{p1} + E_{k1} = 2.94 \text{ Дж} + 11.76 \text{ Дж} = 14.7 \text{ Дж}$

4. В конце полета, в момент перед ударом о землю, высота мяча $h_2 = 0$, следовательно, его потенциальная энергия $E_{p2} = 0$. По закону сохранения энергии, вся механическая энергия перейдет в кинетическую:

$E = E_{k2} + E_{p2} \implies E = E_{k2} = 14.7 \text{ Дж}$

5. Зная конечную кинетическую энергию, найдем скорость мяча ($v_2$) в конце полета из формулы для кинетической энергии:

$E_{k2} = \frac{m v_2^2}{2} \implies v_2 = \sqrt{\frac{2 E_{k2}}{m}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 14.7 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг}}} = \sqrt{147} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{49 \cdot 3} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 7\sqrt{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 12.12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Полная механическая энергия мяча равна $14.7 \text{ Дж}$, а его скорость в конце полёта составляет $7\sqrt{3} \text{ м/с}$ (приблизительно $12.12 \text{ м/с}$).

Изменятся ли результаты вычислений, если бросок будет произведён в горизонтальном направлении?

Закон сохранения механической энергии связывает состояния системы в разные моменты времени. Величины, входящие в формулу энергии (масса, высота, квадрат скорости), являются скалярными, то есть не зависят от направления движения.

1. Начальная энергия: Начальная потенциальная энергия ($E_{p1} = m g h_1$) определяется только начальной высотой. Начальная кинетическая энергия ($E_{k1} = \frac{m v_1^2}{2}$) определяется величиной начальной скорости, но не её направлением. Условие $E_{k1} = 4 E_{p1}$ задает величину начальной кинетической энергии. Таким образом, неважно, брошен мяч вертикально, горизонтально или под любым другим углом — если начальная высота и величина начальной скорости (а значит, и $E_{k1}$) те же, то и полная начальная механическая энергия $E = E_{p1} + E_{k1}$ будет одинаковой.

2. Конечная энергия: Конечное состояние — это момент перед ударом о землю, где высота $h_2 = 0$. В этом состоянии вся механическая энергия переходит в кинетическую: $E = E_{k2} = \frac{m v_2^2}{2}$.

Поскольку полная механическая энергия $E$ и масса $m$ в случае горизонтального броска будут такими же, как и при вертикальном, то и величина конечной скорости $v_2$ также не изменится.

Ответ: Нет, результаты вычислений не изменятся. Полная механическая энергия и скорость мяча в конце полета останутся прежними, так как они не зависят от направления начального броска, а только от начальной высоты и величины начальной скорости.

34.43 [д. 36] Скатившись на санках с гладкой ледяной горки высотой $h = 3,2$ м, мальчик проехал по заснеженной горизонтальной поверхности путь $s = 16$ м. Зная, что его масса вместе с санками равна 50 кг, он определил среднюю силу торможения на горизонтальном участке пути без учёта потерь скорости при спуске. На самом деле у основания горы скорость санок была равна 80 % от расчётной. Какой результат получил мальчик и на сколько он ошибся в расчётах?

Дано:

$h = 3,2 \text{ м}$

$s = 16 \text{ м}$

$m = 50 \text{ кг}$

$v_{реальн} = 0,8 \cdot v_{расч}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$F_{расч} - ?$

$\Delta F - ?$

Решение:

Какой результат получил мальчик

Мальчик производил расчёт, предполагая, что спуск с ледяной горки происходит без потерь механической энергии, то есть горка идеально гладкая и сопротивление воздуха отсутствует. В этом случае по закону сохранения энергии вся начальная потенциальная энергия $E_p$ санок на вершине горки полностью переходит в кинетическую энергию $E_k$ у её основания.

$E_p = E_k$

$mgh = \frac{1}{2}mv_{расч}^2$

где $m$ – масса мальчика с санками, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота горки, а $v_{расч}$ – расчётная скорость у основания горки.

На горизонтальном заснеженном участке вся кинетическая энергия, которой обладали санки у основания горки, расходуется на совершение работы $A_{торм}$ против силы торможения $F_{расч}$ до полной остановки. Согласно теореме о кинетической энергии, работа всех сил равна изменению кинетической энергии:

$A_{торм} = \Delta E_k = E_{k, конечная} - E_{k, начальная} = 0 - E_k = -E_k$

Работа силы торможения, направленной против движения, равна $A_{торм} = -F_{расч} \cdot s$.

Приравнивая выражения для работы, получаем:

$-F_{расч} \cdot s = -E_k$

Так как $E_k = mgh$, то:

$F_{расч} \cdot s = mgh$

Отсюда выразим расчётную силу торможения, которую определил мальчик:

$F_{расч} = \frac{mgh}{s}$

Подставим числовые значения:

$F_{расч} = \frac{50 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 3,2 \text{ м}}{16 \text{ м}} = \frac{1600}{16} \text{ Н} = 100 \text{ Н}$

Ответ: мальчик получил результат 100 Н.

На сколько он ошибся в расчётах

Чтобы определить ошибку, необходимо найти реальную силу торможения $F_{реальн}$, действующую на горизонтальном участке. Для этого сначала найдём реальную кинетическую энергию санок у основания горки $E_{k, реальн}$.

По условию, реальная скорость $v_{реальн}$ у основания горы составила 80% от расчётной $v_{расч}$:

$v_{реальн} = 0,8 \cdot v_{расч}$

Следовательно, реальная кинетическая энергия у основания горы $E_{k, реальн}$ была меньше расчётной:

$E_{k, реальн} = \frac{1}{2}mv_{реальн}^2 = \frac{1}{2}m(0,8 \cdot v_{расч})^2 = 0,8^2 \cdot \left(\frac{1}{2}mv_{расч}^2\right) = 0,64 \cdot E_k$

Из расчётов мальчика мы знаем, что $E_k = mgh$. Тогда:

$E_{k, реальн} = 0,64 \cdot mgh$

Работа реальной силы торможения $F_{реальн}$ на пути $s$ также равна этой кинетической энергии:

$F_{реальн} \cdot s = E_{k, реальн} = 0,64 \cdot mgh$

Выразим реальную силу торможения:

$F_{реальн} = \frac{0,64 \cdot mgh}{s} = 0,64 \cdot \left(\frac{mgh}{s}\right) = 0,64 \cdot F_{расч}$

Подставим ранее найденное значение $F_{расч}$:

$F_{реальн} = 0,64 \cdot 100 \text{ Н} = 64 \text{ Н}$

Ошибка в расчётах мальчика (абсолютная погрешность) равна разности между рассчитанной им силой и реальной силой:

$\Delta F = F_{расч} - F_{реальн} = 100 \text{ Н} - 64 \text{ Н} = 36 \text{ Н}$

Ответ: он ошибся на 36 Н (завысил результат).