Номер 34.40, страница 128 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.40, страница 128.

34.40* [839*] Тело массой 2 кг соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в петлю радиусом 1 м (рис. IV-58). Какой потенциальной энергией должно обладать тело в начальный момент, чтобы описать полную окружность? С какой высоты $h_0$ оно должно соскальзывать? (Трение считайте ничтожно малым.)

Рис. IV-58

Дано:

$m = 2$ кг
$R = 1$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, м/с^2$.

Найти:

$E_{p0}$ - начальная потенциальная энергия
$h_0$ - начальная высота

Решение:

Чтобы тело смогло описать полную окружность, оно не должно отрываться от поверхности в верхней точке петли. Это означает, что сила реакции опоры $N$ в верхней точке должна быть больше или равна нулю ($N \ge 0$). Минимальная начальная энергия, необходимая для прохождения петли, соответствует минимально возможной скорости $v$ в верхней точке, при которой тело еще не отрывается от опоры. Это предельное условие достигается, когда сила реакции опоры становится равной нулю ($N = 0$).

Запишем второй закон Ньютона для тела в верхней точке петли, направив ось Y вертикально вниз. На тело действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $N$, обе направлены вниз. Их сумма создает центростремительное ускорение:

$mg + N = \frac{mv^2}{R}$

При минимальной скорости $v_{min}$ в верхней точке, $N = 0$, следовательно:

$mg = \frac{mv_{min}^2}{R}$

Отсюда можем найти квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$v_{min}^2 = gR$

Поскольку по условию задачи трением можно пренебречь, для системы будет выполняться закон сохранения полной механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнюю точку петли (горизонтальную поверхность).

Полная механическая энергия тела в начальный момент на высоте $h_0$ (тело покоится, $v_0 = 0$):

$E_0 = E_{p0} + E_{k0} = mgh_0 + 0 = mgh_0$

Полная механическая энергия тела в верхней точке петли (на высоте $h = 2R$):

$E_{top} = E_{p,top} + E_{k,top} = mg(2R) + \frac{mv_{min}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии $E_0 = E_{top}$:

$mgh_0 = mg(2R) + \frac{mv_{min}^2}{2}$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $v_{min}^2 = gR$:

$mgh_0 = 2mgR + \frac{m(gR)}{2} = 2.5mgR$

Данное уравнение связывает начальную высоту $h_0$ (а значит, и начальную потенциальную энергию $E_{p0} = mgh_0$) с параметрами петли.

Какой потенциальной энергией должно обладать тело в начальный момент, чтобы описать полную окружность?

Начальная потенциальная энергия тела равна его полной механической энергии в начальный момент, $E_{p0} = mgh_0$. Из закона сохранения энергии мы получили:

$E_{p0} = 2.5mgR$

Подставим числовые значения из условия:

$E_{p0} = 2.5 \cdot 2 \, кг \cdot 9.8 \, м/с^2 \cdot 1 \, м = 5 \cdot 9.8 \, Дж = 49 \, Дж$

Ответ: 49 Дж.

С какой высоты $h_0$ оно должно соскальзывать?

Для нахождения высоты $h_0$ воспользуемся уравнением $mgh_0 = 2.5mgR$. Сократив $mg$ в обеих частях, получим:

$h_0 = 2.5R$

Подставим значение радиуса $R$:

$h_0 = 2.5 \cdot 1 \, м = 2.5 \, м$

Ответ: 2.5 м.